Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Топ:
Оценка эффективности инструментов коммуникационной политики: Внешние коммуникации - обмен информацией между организацией и её внешней средой...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного...
Интересное:
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Дисциплины:
2017-10-01 | 299 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
С помощью принципа максимума можно вывести необходимые условия существования экстремума в задачах вариационного исчисления. Рассмотрим динамическую управляемую систему с функционалом
.
Пусть , т.е. управляющие параметры есть скорости изменения фазовых координат. Применим принцип максимума.
Составим гамильтониан: . Используем необходимое условие максимума гамильтониана:
, .
Продифференцируем выражение для по времени:
Согласно канонического уравнения для сопряженных переменных
.
Сопоставляя два последних выражения, получим уравнение Эйлера
.
Условие второго порядка для существования максимума функции Гамильтона определяется как условие отрицательной определенности матрицы вторых частных производных гамильтониана, т.е. матрицы . Из этого условия следует условие положительной определенности матрицы , или , т.е. условие Лежандра.
Согласно принципу максимума, если является оптимальным управлением, то при любом другом управлении
.
Учитывая выражение для гамильтониана, получаем неравенство:
, или
,
которое есть условие Вейерштрасса.
Таким образом, с помощью принципа максимума получены необходимые условия экстремума в задачах классического вариационного исчисления.
ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
Принцип оптимальности Беллмана.
Уравнение Беллмана
В основе метода динамического программирования лежит принцип оптимальности, сформулированный Р.Беллманом: оптимальный процесс обладает тем свойством, что каким бы ни было начальное управление последующее управление должно быть оптимальным по отношению к состоянию, происходящему от начального управления.
|
Предположим, что - оптимальная траектория, приводящая систему из начального состояния в конечное , промежуточное состояние соответствует моменту времени (рис.4.1). Согласно принципу оптимальности Беллмана участок траектории представляет собой оптимальную траекторию по отношению к начальному состоянию , т.е. оптимальное управление на участке не зависит от того, каким образом система приведена в состояние .
Рис.4.1. Оптимальная траектория
Другими словами, каждый участок оптимальной траектории является оптимальной траекторией относительно своей начальной точки, оптимальное управление не зависит от предыстории движения системы и для будущих моментов времени определяется только состоянием в данный момент. Таким образом, всю траекторию движения системы можно разбить на части, двигаясь от ее конца к началу, и оптимизировать движение по частям.
Рассмотрим задачу оптимального управления динамической системой:
, , , , , ,
.
Требуется синтезировать закон оптимального управления .
Пусть поставленная задача решена. Введем обозначение: - минимальное значение функционала для участка траектории , тогда - есть минимальное значение функционала для измененного относительно состояния и времени. Очевидно, что . Тогда в общем случае независимых изменений состояния и времени получим в соответствии с принципом оптимальности Беллмана
.
Введем допущения о том, что функция непрерывна и непрерывно дифференцируема (во многих задачах эти условия не выполняются). Разложим в ряд Тейлора, отбросив малые величины, получим
.
Подставив в предыдущее выражение, получим
.
Разделив на , при получим
.
Полученное нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных относительно функции называется уравнением Беллмана. При решении конкретных задач аналитическое решение можно получить лишь в некоторых частных случаях. В общем случае уравнение Беллмана решается численно.
|
Функция есть функция текущего состояния системы, ее принято называть функцией будущих потерь или функцией Беллмана. Она является мерой стоимости перехода из точки с координатами в точку с координатами . В задаче Больца функция будущих потерь в конечный момент времени равна терминальному члену, т.е. , в задаче Лагранжа , следовательно, . Эти выражения задают граничные условия для уравнения Беллмана.
|
|
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!