Двумерные случайные величины

Совокупность случайных величин Х ₁, Х ₂,..., Х_п, определенных на вероятностном пространстве () образует п- мерную случайную величину (Х ₁, Х ₂,..., Х_п). Если экономический процесс описывается при помощи двух случайных величин Х ₁и Х ₂, тоопределяется двумерная случайная величина (Х ₁, Х ₂)или(X, Y).

Функцией распределения системы двух случайных величин (Х, Y), рассматриваемой как функция переменных называется вероятность появления события :

Значения функции распределения удовлетворяют неравенству

С геометрической точки зрения функция распределения F (x, y) определяет вероятность того, что случайная точка (х, Y) попадет в бесконечный квадрант с вершиной в точке (х, у), так как точка (х, Y)будет ниже и левее указанной вершины (рис.9.1).

Рис.9.1

 

Вероятность попадания случайной точки (х, Y) в полуполосу (рис.9.2) или в полуполосу (рис.9.3) выражается формулами:

,

соответственно. Вероятность попадания значений двумерной случайной величины (х, Y) в прямоугольник (рис.9.4) можно найти по формуле:

Рис.9.2 Рис.9.3 Рис.9.4

 

Дискретной называют двухмерную величину, составляющие которой дискретны.

Законом распределения двумерной дискретной случайной величины (X, Y) называется множество всевозможных значений (x_i, y_j), , дискретных случайных величин Х и Y и соответствующих им вероятностей , характеризующих вероятность того, что составляющая Х примет значение x_i и одновременно с этим составляющая Y примет значение y_j, причем

Закон распределениядвумерной дискретной случайной величины (X, Y) задают в виде табл. 9.1.

Таблица 9.1

Ω Х Ω Y	x 1	x 2	…	xi	…
y 1	p (x 1, y 1)	p (x 2, y 1)	…	p(xi, y 1)	…
y 2	p (x 1, y 2)	p (x 2, y 2)	…	p(xi, y 2)	…
…	…	…	…	…	…
yi	p (x 1, yi)	p (x 2, yi)	…	p(xi, yi)	…
…	…	…	…	…	…

Непрерывной называют двумерную случайную величину, составляющие которой непрерывны. Функция р (х, у), равная пределу отношения вероятности попадания двумерной случайной величины (X, Y)в прямоугольник со сторонами и к площади этого прямоугольника, когда обе стороны прямоугольника стремятся к нулю, называется плотностью распределения вероятностей:

Зная плотность распределения, можно найти функцию распределения по формуле:

Во всех точках, где существует смешанная производная второго порядка функции распределения , плотность распределения вероятностей можно найти по формуле:

Вероятность попадания случайной точки (х, у) в область D определяется равенством:

Вероятность того, что случайная величина X приняла значение X<х при условии, что случайная величина Y приняла фиксированное значение Y = y, вычисляется по формуле:

Аналогично,

Формулы для вычисления условных плотностей распределения вероятностей составляющих X и Y:

Совокупность условных вероятностей p (x ₁| y_i), p (x ₂| y_i), …, p (x_i|y_i), … отвечающих условию Y=y_i, называется условным распределением составляющей Х при Y=y_i дискретной двумерной случайной величины (X, Y), где

Аналогично условное распределение составляющей Y при Х=х_i дискретной двумерной случайной величины (х, Y) – это совокупность условных вероятностей отвечающих условию X=x_i, где

Начальным моментом порядка k+s двумерной случайной величины (X, Y)называется математическое ожидание произведений и , т.е. .

Если X и Y – дискретные случайные величины, то

Если X и Y – непрерывные случайные величины, то

Центральным моментом порядка k+s двумерной случайной величины (X, Y)называется математическое ожидание произведений и ,т.е.

Если составляющие величины являются дискретными, то

Если составляющие величины являются непрерывными, то

где р (х, y) – плотность распределения двумерной случайной величины (X, Y).

Условным математическим ожиданием Y (X)при X=х (при Y=у) называется выражение вида:

– для дискретной случайной величины Y (X);

– для непрерывной случайной величины Y (X).

Математические ожидания составляющих X и Y двумерной случайной величины вычисляются по формулам:

или

или

Корреляционным моментом независимых случайных величин X и Y,входящих в двумерную случайную величину (X, Y), называют математическое ожидание произведений отклонений этих величин:

.

Корреляционный момент двух независимых случайных величин X и Y, входящих в двумерную случайную величину (X,Y), равен нулю.

Коэффициентом корреляции случайных величин X и Y, входящих в двумерную случайную величину (X, Y), называют отношение корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений этих величин:

Коэффициент корреляции характеризуют степень (тесноту) линейной корреляционной зависимости между X и Y. Случайные величины, для которых , называются некоррелированными.

Коэффициент корреляции удовлетворяет свойствам:

1. Коэффициент корреляциине зависит от единиц измерения случайных величин.

2. Абсолютная величина коэффициента корреляции не превышает единицу:

3. Если то между составляющими X и Y случайной величины (X, Y) существует линейная функциональная зависимость:

4. Если то составляющие X и Y двумерной случайной величины некоррелированы.

5. Если то составляющие X и Y двумерной случайной величины зависимы.

Уравнения M (X|Y=у)=φ(у)и M (Y|X=х)=ψ(x)называют уравнениями регрессии, а линии, определяемые ими, – линиями регрессии.

Задачи

9.1. Двумерная дискретная случайная величина (X, Y) задана законом распределения:

Таблица 9.2

Ωх Ωy
	0,2	0,15	0,08	0,05
	0,1	0,05	0,05	0,1
	0,05	0,07	0,08	0,02

 

Найти: а) законы распределения составляющих X и Y;

б) условный закон распределения величины Y при X =1;

в) функцию распределения.

Выяснить, являются ли независимыми величины X и Y. Вычислить вероятность и основные числовые характеристики М (Х), М (Y), D (X), D (Y), R (X, Y), .

Решение. а)Случайные величины X и Y определены на множестве , состоящем из элементарных исходов, которое имеет вид:

Событию { X= 1} соответствует множество таких исходов, у которых первая компонента равна 1: (1;0), (1;1), (1;2). Эти исходы несовместимы. Вероятность того, что Х примет значение х_i, согласно аксиоме 3 Колмогорова, равна:

Аналогично

Следовательно, маргинальное распределение составляющей Х, может быть задано в виде табл. 9.3.

Таблица 9.3

xi
P (X=xi)	0,35	0,27	0,21	0,17

 

Чтобы найти вероятность P (Y=y_i), необходимо сложить вероятности строки y_i в табл. 9.2:

Тогда маргинальное распределение составляющей Y, двумерной случайной величины, имеет вид:

Таблица 9.4

yj
P (Y=yi)	0,48	0,30	0,22

 

б) Совокупность условных вероятностей р (1;0), р (1;1), р (1;2) отвечающих условию X =1, называется условным распределением составляющей Y при X =1. Вероятность значений величины Y при Х =1 найдём при помощи формулы:

Поскольку , то, подставив значения соответствующих вероятностей, получаем

Итак, условное распределение составляющей Y при Х =1 имеет вид:

Таблица 9.5

yj
	0,48	0,30	0,22

 

Так как условный и безусловный законы распределения не совпадают (см. табл. 9.4 и 9.5), то величины X и Y зависимы. Этот вывод подтверждается тем, что не выполняется равенство

для любой пары возможных значений X и Y.

Например,

в) Функция распределения F (x, y) двумерной случайной величины (X,Y) имеет вид:

где суммирование выполняется по всем точкам (), для которых одновременно выполняются неравенства x_i<x и y_j<y. Тогда для заданного закона распределения, получим:

Результат удобнее представлять в виде табл.9.6.

Таблица 9.6

х y
		0,20	0,35	0,43	0,48
		0,30	0,5	0,63	0,78
		0,35	0,62	0,83

 

Воспользуемся формулами для начальных моментов и результатами таблиц 9.3 и 9.4 и вычислим математические ожидания составляющих X и Y:

Дисперсии вычислим через второй начальный момент и результаты табл. 9.3 и 9.4:

Для вычисления ковариации К (X,Y) используем аналогичную формулу через начальный момент:

Коэффициент корреляции определяется по формуле:

Искомая вероятность определяется как вероятность попадания в область на плоскости, определяемую соответствующим неравенством:

где

9.2. Кораблем передается сообщение «SOS», которое может быть принято двумя радиостанциями. Этот сигнал может быть принят одной радиостанцией независимо от другой. Вероятность того, что сигнал принят первой радиостанцией, составляет 0,95; вероятность того, что сигнал принят второй радиостанцией, равна 0,85. Найти закон распределения двумерной случайной величины, характеризующей прием сигнала двумя радиостанциями. Написать функцию распределения.

Решение: Пусть X – событие, состоящее в том, что сигнал принимает первая радиостанция. Y – событие состоит в том, что сигнал принимает вторая радиостанция.

Множество значений .

Х =1 – сигнал принят первой радиостанцией;

Х =0 – сигнал не принят первой радиостанцией.

Множество значений .

Y =l – сигнал принят второй радиостанцией,

Y =0 – сигнал не принят второй радиостанцией.

Вероятность того, что сигнал не принят ни первой, ни второй радиостанциями равна:

.

Вероятность принятия сигнала первой радиостанцией:

.

Вероятность того, что сигнал принят второй радиостанцией:

.

Вероятность того, что сигнал принят и первой и второй радиостанциями, равна: .

Тогда закон распределения двумерной случайной величины равен:

 

y x
	0,007	0,142
	0,042	0,807

 

При каждом фиксированном значении точки с координатами (х, y) значение F (х, y)равно сумме вероятностей тех возможных значений случайной величины (X, Y), которые попадают внутрь указанного прямоугольника.

Тогда функция распределения будет иметь вид:

9.3. Две фирмы выпускают одинаковую продукцию. Каждая независимо от другой может принять решение о модернизации производства. Вероятность того, что первая фирма приняла такое решение, равна 0,6. Вероятность принятия такого решения второй фирмой равна 0,65. Написать закон распределения двумерной случайной величины, характеризующей принятие решения о модернизации производства двух фирм. Написать функцию распределения.

Ответ: Закон распределения:

 

	0,14	0,21
	0,26	0,39

 

При каждом фиксированном значении точки с координатами (x, y) значение равно сумме вероятностей тех возможных значений , которые попадают внутрь указанного прямоугольника .

9.4. На токарном станке-автомате изготавливаются поршневые кольца для двигателей автомобиля. Измеряются толщина кольца (случайная величина X)и диаметр отверстия (случайная величина Y). Известно, что около 5% всех поршневых колец бракованные. Причем, 3% брака обусловлены нестандартными диаметрами отверстий, 1% – нестандартной толщиной и 1 % – бракуют по обоим признакам. Найти: совместное распределение двумерной случайной величины (X, Y); одномерные распределения составляющих Х и Y;математические ожидания составляющих X и Y; корреляционный момент и коэффициент корреляции между составляющими X и Y двумерной случайной величины (Х, Y).

Ответ: Закон распределения:

 

	0,01	0,03
	0,01	0,95

 

; ; ; ; ; .

 

 

9.5. В продукции завода брак вследствие дефекта А составляет 4%, а вследствие дефекта В – 3,5%. Стандартная продукция составляет 96%. Определить какой процент всей продукции обладает дефектами обоих типов.

9.6. Случайная величина (X, Y)распределена с постоянной плотностью внутри квадрата R, вершины которого имеют координаты (–2;0), (0;2), (2;0), (0;–2). Определить плотность распределения случайной величины (X, Y)и условные плотности распределения р (х \ у), р (у \ х).

Решение. Построим на плоскости x 0 y заданный квадрат (рис.9.5) и определим уравнения сторон квадрата ABCD, воспользовавшись уравнением прямой, проходящей через две заданные точки: Подставив координаты вершин А и В получим последовательно уравнение стороны АВ: или .

Рис.9.5

 

Аналогично находим уравнение стороны ВС: ;стороны CD: и стороны DA: .

Согласно условия задачи, плотность распределения вероятностей двумерной случайной величины имеет вид:

Константу С находим, воспользовавшись свойством плотности распределения:

Так как область интегрирования является симметричной относительно начала координат, то интеграл, стоящий в левой части равенства, будет равен:

Тогда 8 С =1, следовательно, и плотность распределения вероятностей запишется в виде:

Условные плотности вычислим по формулам:

и , предварительно вычислив и :

 

 

и

Тогда

Ответ:

При

При

9.7. Плотность распределения двумерной случайной величины (X, Y) имеет вид:

Определить константу С и вычислить математические ожидания составляющих X и Y, коэффициент корреляции.

Решение. Константу С найдем воспользовавшись свойством плотности распределения вероятности:

или .

Область интегрирования ограничена прямыми: х =0, х =2 и y =0, Y =2. Поэтому, переходя к повторному интегралу, получим: .

Вычислим интеграл в левой части равенства:

Тогда , откуда находим . Плотность распределения двумерной случайной величины примет вид:

Математические ожидания составляющих вычислим по формулам:

; .

Подставив значения плотности и учитывая область интегрирования, получим:

Для выполнения коэффициента корреляции, вычислим в начале дисперсии D (X), D (Y) и корреляционный момент К (X, Y):

,

поскольку подынтегральные выражения и пределы интегрирования такие же, как и при вычислении D (X).

Тогда коэффициент корреляции равен:

9.8. Двумерная случайная величина (X, Y)распределена с постоянной плотностью внутри квадрата R, вершины которого имеют координаты (0;0), (0;2), (2;0), (2;2). Найти плотность вероятностей р (х, у)и функцию распределения F (x, y).

Ответ:

9.9. Поверхность распределения системы случайных величин (X, Y) представляет собой полушар с центром в начале координат радиуса R. Найти плотность распределения вероятностей.

Ответ:

9.10. Задана дискретная двумерная случайная величина:

 

	0,25	0,10
	0,15	0,05
	0,32	0,13

 

Найти: а) условный закон распределения X, при условии, что у= 10;

б) условный закон распределения Y, при условии, что x =10;

в) математическое ожидание, дисперсию, коэффициент корреляции.

9.11. Непрерывная двумерная случайная величина (X, Y)равномерно распределена внутри прямоугольного треугольника с вершинами О (0;0), А (0;8), В (8,0).

Найти: а) плотность распределения вероятностей;

б) плотность распределения вероятностей составляющих.

Ответ: а) ; при ; при ; б) при ; при , вне указанных интервалов функции равны нулю.

9.12. В продукции завода брак вследствие дефекта М составляет З%, а вследствие дефекта К – 4,5%. Годная продукция составляет 95%. Определить, какой процент всей продукции обладает дефектами обоих типов. Вычислить коэффициент корреляции дефектов М и К.

Ответ: 2,5%; .