Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Топ:
Оценка эффективности инструментов коммуникационной политики: Внешние коммуникации - обмен информацией между организацией и её внешней средой...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Особенности труда и отдыха в условиях низких температур: К работам при низких температурах на открытом воздухе и в не отапливаемых помещениях допускаются лица не моложе 18 лет, прошедшие...
Интересное:
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Дисциплины:
2017-06-13 | 517 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Определение. Множество называется областью сходимости, если для каждой точки соответствующий числовой ряд сходится.
Если ряды из комплексных функций, то это область в плоскости, например круг, а если действительные функции, то какой-либо интервал или объединение интервалов на действительной прямой.
Метод нахождения области сходимости. применять те же самые признаки (Даламбера, Коши) но только для «произвольного» .
То есть, в пределе так до конца и остаётся переменная. а затем решить неравентво.
Пример. Найти область сходимости ряда .
= = < 1.
Если раньше, в теме «числовые ряды» мы просто получали в пределе какое-то число и могли сказать, что оно больше либо меньше 1, то теперь получили функцию от , т.е. при одних значениях больше 1, а при других меньше. Надо решить неравенство и найти, где это выражение меньше 1.
это интервал, где есть абсолютная сходимость.
Там, где , то есть ряд расходится.
При признак Даламбера не даёт ответа, надо проводить исследование поведения ряда в граничных точках в ручном режиме.
Подставим . Получим ряд он расходится.
Подставим . Получим ряд он тоже расходится, не выполнен необходимый признак, т.е. слагаемые не уменьшаются к 0. Итак, граничные точки не добавятся к области сходимости, и ответ остаётся таким: .
Пример. Найти область сходимости ряда .
= = = .
Теперь решим неравенство . Это означает - вот область абсолютной сходимости.
Исследуем граничные точки.
При : ряд , он расходится (гармонический ряд, изучали ранее). При : ряд , знакочередующийся, сходится по признаку Лейбница, но условно, так как это и есть ряд из его модулей а он расходится. итак, ответ: область сходимости .
|
Пример. Найти область сходимости .
Решение. Извлечём корень n порядка из модуля. Получим .
Решим неравенство , т.е. , что равносильно , то есть . Решением неравенства будет множество . Подставляя граничные точки, получаем расходимость:
При :
слагаемые не стремятся к 0, не выполнен необходимый признак, ряд расходится.
При : по той же причине ряд расходится.
Ответ. область сходимости .
Степенные ряды.
Общий вид степенного ряда: , где числовые коэффициенты. В этом ряде только положительные степени одного и того же выражения и константа (что получается при нулевой степени). Возможно, что часть коэффициентов равна 0, то есть некоторые степени пропущены.
Теорема 1 (Абеля). 1) Если ряд сходится в точке , то он сходится в любой точке , для которой , причём абсолютно.
2) Если ряд расходится в точке то он расходится в любой точке, для которой .
Доказательство. Сходимость в точке ряда означает, что . Если этот ряд сходится, то согласно необходимому признаку, слагаемые стремятся к 0. Тогда среди них есть максимальное по модулю, и таким образом, они ограничены в совокупности, некоторой константой , т.е. .
Теперь рассмотрим ряд в произвольной точке , которая ближе к началу координат на комплексной плоскости.
Итак, взяли точку, для которой . Тогда .
Для доказательства абсолютной сходимости, рассмотрим ряд, состоящий из модулей: = (домножили и поделили). При этом . Тогда = = = то есть меньше или равно некоторой сходящейся геометрической прогрессии.
Итак, , то есть ряд сходится, то есть сходится абсолютно.
Пункт 2. Нужно доказать, что если ряд расходится в точке , то он расходится в любой точке, которая дальше от начала координат. Допустим, что в расходимость, но есть сходимость в какой-то более далёкой точке . Но тогда это противоречило бы уже доказанному пункту 1, так как из сходимости в следовала бы сходимость в более близкой к началу координат точке .
Следствие. Область сходимости степенного ряда есть круг.
|
(в R интервал)
Действительно, по теореме 1, во всех более близких к центру точках - сходимость, а если нашлась точка, где ряд расходится, то сразу же во всех, более далёких от центра - тоже расходимость. Тогда область есть круг.
Примечание. Центр круга сходимости это точка . Мы доказали теорему Абеля для центра в точке 0 для простоты и ясности обозначений, но полностью аналогичные выкладки верны и для центра в любой другой точке.
Но на самом деле, выше был рассмотрен случай в комплексной плоскости. А для рядов из действительных степенных функций , пересечение круга с действительной прямой порождает симметричный интервал с центром в точке . Таким образом, область сходимости это интервал .
Теорема 2. Формулы радиуса сходимости степенного ряда:
и .
Заметим, что в этих формулах обозначает не просто n-е слагаемое, а лишь его часть, сам числовой коэффициент без степенной функции, а дроби обратные по сравнению с теми, как в признаках Даламбера или Коши. Рассмотрим доказательство, чтобы понять, почему так происходит.
Доказательство.
Применим к степенному ряду признак Даламбера.
= , из чего следует , т.е. .
Вот и получилось условие, задающее круг в комплексной плоскости. Это можно считать также вторым, независимым доказательством того следствия из теоремы Абеля, где говорилось, что область сходимости есть круг.
Докажем вторую формулу.
Применим к степенному ряду признак Коши.
= , т.е. , т.е.
.
Пример. Найти радиус сходимости ряда .
Отбросим степенную часть и извлечём коэффициент.
, тогда . Тогда = .
Можно считать и по второй формуле: = .
Итак, центр в точке 1, а радиус 2, то есть область сходимости - интервал . Примечание. Чуть раньше мы решали этот же пример другим способом, просто по признаку Даламбера, а здесь по формулам радиуса R.
Пример. Найти радиус и область сх. ряда .
= . R=5, интервал сходимости .
|
|
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!