Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Топ:
Методика измерений сопротивления растеканию тока анодного заземления: Анодный заземлитель (анод) – проводник, погруженный в электролитическую среду (грунт, раствор электролита) и подключенный к положительному...
Устройство и оснащение процедурного кабинета: Решающая роль в обеспечении правильного лечения пациентов отводится процедурной медсестре...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Интересное:
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Дисциплины:
2017-06-13 | 828 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Пример. правая полуплоскость.
Пример. верхняя полуплоскость.
Пример. - окружность радиуса R вокруг начала координат.
Пример. - круг радиуса R вокруг начала координат.
Пример. это круг радиуса 1 вокруг точки . Это неравенство задаёт следующее условние: удаление числа от фиксированного числа не превышает 1. Можно непосредственно преобразовать в уравнение круга в плоскости: а это уравнение круга, центр которого в точке (0,1), то есть как раз в точке . Чертёж:
Пример. это круг радиуса 2 с центром в точке , то есть точке (1,1) в плоскости.
Пример. Множество это кольцо вокруг точки .
ГЛАВА 3. РЯДЫ.
Числовые ряды.
Пусть дана последовательность . Бесконечная сумма: называется рядом.
Если суммировать до какого-то номера n, то получается «частичная сумма» . Часть, которая следует после слагаемого с номером n при этом называется остатком ряда. .
Если сумма ряда обозначена , то: = .
Для каждого ряда существует последовательность частичных сумм:
ведь мы можем произвести конечное суммирование от 1-го до 1-го, затем от 1-го до 2-го, от 1-го до 3-го и так далее, и так для каждого n.
Определение 1. Если сходится последовательность частичных сумм ряда, то и соответствующий ряд называется сходящимся.
Лемма. Сходимость ряда эквивалентна сходимости любого из его остатков.
Доказательство. = . Частичная сумма содержит конечное количество слагаемых, она точно является конечным числом. Обозначим остаток через . Тогда . Если конечно, то сумма двух конечных чисел тоже конечна. А если сумма ряда, то есть , есть конечное число, то разность двух конечных чисел, а значит тже конечное число. Таким образом, имеет место и необходимость, и достаточность.
|
Более подробное определение сходимости с помощью :
Определение 2. Ряд называется сходящимся, если для всякого существует такой номер , что .
Определения 1 и 2 эквивалентны: если, начиная с некоторого номера, сумма оставшихся элементов меньше любой заранее заданной погрешности, это и означает, что частичные суммы стабилизируются при , то есть существует предел .
Пример. Рассмотрим убывающую геометрическую прогрессию - кстати, прогрессия это один из важных частных случаев ряда.
Геометрическая интерпретация: возьмём квадрат
Если закрасить половину, затем четверть квадрата, и каждый раз половину того, что осталось до целого, то мы никогда не превысим площадь квадрата, а закрашенная площадь будет приближаться к 1.
Известна формула суммы бесконечной убывающей геометрической прогрессии: . В данном случае .
Для погрешности найдём такой элемент, что частичная сумма отклоняется от суммы прогрессии менее чем на , то есть остаток меньше .
После 4-го элемента,
то есть для остатка, который тоже есть геометрическая прогрессия,
.
Таким образом, после 4-го элемента, частичные суммы отклоняются от суммы менее чем на .
Теорема 1. Необходимый признак сходимости.
Если ряд сходится, то .
Доказательство. Так как остаток ряда стремится к нулю, то есть сумма = по модулю меньше чем , то одно первое слагаемое из остатка - тем более, меньше чем . Получается, что при росте номера , а значит и общий член ряда уменьшается к нулю, .
Замечание. Это необходимый, а не достаточный признак! Т.е. если , это ещё не всегда означает, что ряд сходящийся, а вот если общий член ряда не стремится к нулю, то ряд расходится, то есть такие ряды даже не надо исследовать, про них сразу же известно, что сходимости нет. Сейчас мы увидим пример, где слагаемые стремятся к 0, а сходимости всё же нет.
Гармонический ряд
Доказательство его расходимости. Возьмём сумму от элемента номер n+1 до 2n. Докажем, что она больше 1/2, то есть для произвольного , невозможно сделать её меньше, чем .
|
Если была бы сходимость, то для любого остаток, начиная с какого-то номера, меньше чем . Запишем для n даже не весь остаток ряда, а его часть, а именно, последующие n элементов.
Наименьший элемент здесь . Если мы заменим все слагаемые на него, то сумма лишь уменьшится, т.е.
> = .
Итак, часть частичной суммы от номера n+1 до 2n больше, чем , то есть не может быть меньше . Определение сходимости не выполнено, ряд расходится. Здесь слагаемые уменьшаются к 0, но слишком медленно, недостаточно для сходимости.
Замечание. Тема «ряды» связана с темой «несобственные интегралы», там тоже рассматриваются только функции, стремящиеся к 0, и для них может быть либо сходимость, либо расходимость несобственного интеграла 1-го рода. Но там непрерывные, а здесь дискретные величины. Вспомним, что там тоже интеграл от был расходящимся, аналогичное мы сейчас увидели для ряда
Суммы рядов в некоторых случаях можно найти, используя формулу Тейлора. Вспомним, например, если здесь положим , то получается , то есть сумма .
Вспомним разложение функции , тогда при получается .
Если все слагаемые здесь были бы со знаком «+» то это был бы гармонический ряд, расходимость которого доказали ранее.
Получается, что если знаки чередуются, то сходимость может быть из-за частичной компенсации слагаемых, а если взять по модулю, то сходимости может и не быть. В связи с этим возникают такие понятия:
|
|
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!