Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Топ:
Марксистская теория происхождения государства: По мнению Маркса и Энгельса, в основе развития общества, происходящих в нем изменений лежит...
Оценка эффективности инструментов коммуникационной политики: Внешние коммуникации - обмен информацией между организацией и её внешней средой...
Методика измерений сопротивления растеканию тока анодного заземления: Анодный заземлитель (анод) – проводник, погруженный в электролитическую среду (грунт, раствор электролита) и подключенный к положительному...
Интересное:
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Дисциплины:
2017-06-13 | 298 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Общий вид: .
Если уравнение сведено к виду то оно называется разрешённым относительно старшей (высшей) производной.
Примеры дифференциальных уравнений 2 порядка из физики:
Уравнение колебаний . Здесь чем больше координата, тем больше действует сила (ускорение) в противоположную сторону. Если координата отрицательна, то сила действует в положительную сторону.
Методы понижения порядка.
Случай 1. Если в уравнении отсутствуют младшие порядки производных. Так, в уравнении отсутствуют все производные до порядка k-1, в том числе 0-го порядка, а именно сама функция , и начинаются с порядка . В этом случае можно сдедать замену , то есть в качестве новой функции взять производную самого младшего порядка, которая есть в уравнении. Докажем, что в этом случае понизится на порядков и станет .
и т.д.
Пример. Решить уравнение 2 порядка .
Замена: , тогда .
Уравнение сводится к виду . Для уравнение 1 порядка и решается обычными методами, изученными ранее.
.
Вспомним о том, что , то есть теперь, чтобы сделать обраную замену и восстановить , надо 1 раз проинтегрировать.
= . В общем решении здесь не одна, а две константы, вторая появляется из-за того, что интегрировали для обратной замены. А если уравнение 3 порядка, то будет 3 константы в общем решении.
Пример. Решить уравнение 3 порядка .
Решение. Уравнение сводится к но только в этом случае - заменой , ведь самая младшая из производных, существующих в этом уравнении - вторая.
Уравнение 1 порядка решается аналогично, и получаем .
Теперь надо два раза вычислить первообразную:
, тогда , а тогда .
Случай 2. Если в уравнении содержится и все порядки производных, но при этом нет переменной . Тип уравнения такой: .
|
Например, - уравнение колебательного процесса в физике.
В этом случае замена , то есть будет выступать в роли переменной, а - в роли функции от .
Естественно возникает вопрос: а существуют ли в принципе такие преобразования, не содержат ли они противоречия? Всегда ли можно выразить как функцию от ? Изучим этот вопрос подробнее. Оказывается, надо лишь найти обратную функцию и подставить её в производную . Примеры:
Пример 1. , . Выразим , и подставим в производную, тогда верно, что .
Пример 2. , . Тогда , и в итоге .
Как видите, может быть записано не только как функция от , но и как функция от .
Итак, замена . В данном случае, не , потому что фактически здесь была композиция: , и следующую производную от неё надо вычислять именно как для композиции.
Получается .
=
вычисляем производную произдведения двух сомножителей, причём в каждом из них ещё и композиция:
учитывая, что , получится .
1-я производная от выражается через 0-ю производную от ,
2-я производная от выражается максимум через 1-ю производную от , 3-я производная от выражается через 2-ю, 1-ю и 0-ю производную от :
.
Таким образом, доказали, что порядок при таком преобразовании обязательно понизится на 1 единицу.
Пример: (уравнение колебаний).
После замены, уравнение преобразуется к виду: .
Сначала 1-й шаг: ищем неизвестную функцию .
.При этом , иначе справа всё выражение было бы отрицательно и не могло бы быть равно . Если , то эту константу можно представить в виде . Итак,
, то есть . Итак, мы нашли неизвестную функцию , то есть выполнели действия после замены. Теперь нужно сделать обратную замену, фактически для этого выполнить такой же по объёму 2-й шаг, решить новое дифференциальное уравнение. Ведь , то есть теперь надо решить уравнение:
.
2 шаг. Обратная замена.
. Здесь называется амплитудой колебаний, - фазой. Впрочем, при получается не синус, косинус, а именно, по формуле приведения . Поэтому в решении есть и косинусы. Более того, мы могли при решении знак плюс-минус также перенести, , тогда бы слева сразу получалось 2 варианта: или арксинус, или арккосинус.
|
Ещё решение этого уравнения можно записать в виде: .
На этом примере увидели, что уравнение действительно является уравнением колебаний, то есть в его решении периодические функции.
Здесь показаны лишь две основные наиболее известные замены.
Существуют и другие замены и преобразования, применяемые в разных частных случаях, например, иногда удобно поделить всё уравнение на или на , чтобы оно упростилось.
|
|
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!