Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Топ:
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Определение места расположения распределительного центра: Фирма реализует продукцию на рынках сбыта и имеет постоянных поставщиков в разных регионах. Увеличение объема продаж...
Установка замедленного коксования: Чем выше температура и ниже давление, тем место разрыва углеродной цепи всё больше смещается к её концу и значительно возрастает...
Интересное:
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Дисциплины:
2017-06-04 | 319 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
I способ. Через меню символьных операций Symbolics:
Для того, чтобы найти производную или неопределенный интеграл с помощью меню, введите в рабочий документ выражение, которое необходимо продифференцировать или проинтегрировать и выделите аргумент в любом месте выражения. Далее щелкните по строке Differentiate ( дифференцирование) или Integrate ( интегрирование) в пункте Variabe (переменная ) меню Symbolics.
II способ. С помощью пиктограммы Calculus (матанализ):
1. В панели Матанализ нужновыбрать операцию, которую вы хотите выполнить.
2. При нажатии на соответствующий значок появляется шаблон с незаполненными полями (в виде черных квадратов).
3. Заполните пустые поля и нажмите c пиктограммы Symbolics.
Пример 1. Продифференцировать и проинтегрировать функцию . ►
◄.
Пример 2: Найти значение производной функции в точке х:=0.37.
· Сначала введите точку, в которой будете находить производную, наберите х=0.37
· Щелкните ниже, затем нужно выбрать в панели Матанализ значок
· В появившемся шаблоне щелкните в нижнем черном квадрате и наберите х, щелкните в поле справа и наберите выражение, которое нужно дифференцировать.
· Нажмите знак =, чтобы увидеть результат.
Для нахождения производных высших порядков используется символ и дополнительно заполняются два черных квадрата, где указывается порядок производной.
Пример 3. Найти производную для функции .►
◄
Пример 4. Вычислить определенный интеграл
►Выберите в панели Матанализ значок определенного интеграла . Появится шаблон интеграла с четырьмя полями для заполнения.
Заполните соответствующие поля и нажмите =.
◄
Пример 5. Вычислить координаты центра масс треугольника, задаваемого неравенствами 0<x<1 и 0<y<x, плотность которого пропорционально расстоянию от начала координат. ►
|
· Вводим функцию .
· Обозначим массу , вводим имя массы. Нажимаем два раза на значок определенного интеграла, появится шаблон для заполнения.
· Заполняем шаблон и нажав = получим ,
(для и −действия аналогичные).
◄
Пример 6. Закон движения точки M в плоскости xy задан уравнениями
(где x, y — в сантиметрах, t — в секундах).
Определить уравнение траектории точки; для момента времени , найти скорость и ускорение точки, а также ее касательное ускорение, нормальное ускорение и радиус кривизны в соответствующей точке траектории.
►Уравнение траектории точки будем искать в виде зависимости между координатами точки. Для исключения из уравнения движения времени t, которое входит в аргумент тригонометрических функций, используем формулу
или, считая , . (12)
Из уравнений движения находим выражения тригонометрических функций
и подставляем их в равенство (12), получим
. (13)
Таким образом, траекторией является эллипс, центр С которого имеет координаты (-1,2), а размеры полуосей, параллельных осям x и y, соответственно равны 4 см и 3 см.
Скорость точки найдем по ее проекциям на координатные оси:
При
; | ||
При
Теперь найдем ускорение точки:
При
. |
При
Так как движение точки задано координатным способом, то величины скорости и ускорения были определены по проекциям этих величин на координатные оси.
Теперь определим касательное и нормальное ускорения точки, то есть проекции вектора на оси естественного трехгранника:
Величина является проекцией ускорения на направление вектора . . Знак минус указывает на то, что вектор противоположен вектору .
Нормальное ускорение точки при известных значениях величин и вычисляется по формуле
|
Радиус кривизны траектории определим по формуле
О т в е т: , , , , .
Ниже приведен документ решения данной задачи в системе Mathcad
План выполнения работы
1. Выполните примеры 1 – 6, приведенные выше.
2. Найдите производную функции и результат проверить интегрированием.
3. Проинтегрируйте функцию и результат проверить дифференцированием.
4. Вычислите интегралы:
а) ;
б) ;
в) ;
г)
д) ;
е) .
Контрольные вопросы
1. Как выполняется дифференцирование и интегрирование с помощью символьной переменной?
2. Каков порядок вычисления производных и интегралов?
Лабораторная работа №5
«Решение дифференциальных уравнений в Mathcad»
Цель работы: Познакомиться с методами решения дифференциальных уравнений.
I способ − аналитический
Можно решать уравнения с разделяющимися переменными интегрированием. Решение находится в виде функции.
Пример 1. Найти решение уравнения с разделенными переменными ydy=ex/(ex+1)dx, удовлетворяющее начальному условию y(0)=1 (задача Коши). Изобразите график решения (интегральную кривую, проходящую через точку (0,1)).
► 1) Установите режим автоматических вычислений.
2) Установите режим отображения результатов символьных вычислений по горизонтали, установив метку Horizontaly в окне диалога строки Evaluation Style меню Symbolics.
3) Введите начальные условия y(x0)=y0:
4) Если уравнение имеет вид Y(y)dy=X(x)dx, определите подынтегральные функции Y(y) и X(x):
5) Вычислите с символьной переменной интегралы с переменными верхними пределами и нижними пределами, равными начальным условиям x0 и y0:
6) Запишите уравнение, задающее неявно y(x) как функцию x, и решите его относительно переменной y.
7) Выбираете решение, удовлетворяющее условию y(0)=1, и определите как функцию переменной x:
8) Постройте график найденного решения:
◄
II способ − численный
Аналитическое выражение для решений дифференциальных уравнений удается получить достаточно редко. Поэтому используются численные методы. Численное решение задачи Коши состоит в построении таблицы приближенных значений функции y(x), которая является решение, в узловых точках. Одним из численных методов решения задачи Коши является метод Рунге-Кутты. В системе Mathcad программа решения уравнений по методу Рунге-Кутты имеет имя rkfixed. Обращение к ней осуществляется через операцию присваивания какой-либо переменной имени программы с помощью встроенной функции
|
Z=rkfixed(y,x1,x2,n,f), где
y − вектор-столбец, задающий начальные условия;
x1 − левый конец отрезка интегрирования;
x2 − правый конец отрезка интегрирования;
n − число узлов на отрезке интегрирования;
f − имя вектора-функции f(x,y), содержащей правую часть уравнения.
В результате будет получена матрица Z значений решения уравнения в узловых точках, по которым можно построить график функции, которая является решением уравнения.
Ниже приведен фрагмент документа решения примера 1 методом Рунге-Кутты
Пример 2. Решить задачу Коши , методом Рунге-Кутты на промежутке из 100 и 500 узлов.
►
◄
Пример 3. Решите на отрезке [0,3] задачу Коши у"=ехр(-ху), у(0)=1, у'(0)=1 методом Рунге-Кутты с постоянным шагом на сетке из 100 равноотстоящих узлов.
► Сведем решение уравнения к решению системы. Обозначим у0=у(х) и у1=у'(х). Поскольку у"=(у')'=(y1)', то получим
(у0)'=y1, y0(0)=1.
(y1)'=exp(-xy0), y1(0)=1, то начальные условия будут заданы в виде столбца .
Уравнение будет эквивалентно системе
Правая часть уравнения вводится элементами вектора-столбца
Ниже приведен фрагмент решение уравнения в Mathcad
Пример 4. Решить систему уравнений состояния при
► Обозначим и система примет вид
Ниже приведен фрагмент решение системы уравнений в Mathcad на промежутке
Пример 5. Решить задачу Коши: , , на отрезке [0,0.5].
►Это уравнение можно представить в виде системы:
- матрица-вектор начальных условий
- функция правых частей системы уравнений в виде матрицы-вектора относительно первых производных неизвестных функций.
◄
Порядок выполнения работы
1. Выполните примеры 1 −5 из описания работы.
2. Решите уравнение при начальных условиях y(1)=0 в промежутке [1;2]с шагом h=0.2.
3. Решить уравнение y``+N y`+17y=x+N.
|
Контрольные вопросы
1.Опишите, в чем заключается метод Рунге-Кутта.
2.Какие функции применяются при решении дифференциальных уравнений в MathCAD?
Лабораторная работа №6
«Важнейшие математические преобразования в Mathcad»
Цель работы: научиться находить математические преобразования.
Преобразование Лапласа
Преобразование Лапласа в Mathcad выполняется в символьной форме, поэтому все выражения являются функциями: в области оригинала от времени t, в области изображения от комплексной переменной s.
Пример 1. Найти изображение функции f(t)= и выполнить проверку.
►Отмечаем мышью переменную t (она будет окружена рамкой) в любом месте выражения. Затем, переходим в пункт меню Символы->Преобразование->Лапласа. Можно пользоваться пиктограммой Symbolics. Для того чтобы найти изображение функции, нужно щелкнуть по слову laplase в панели Symbolics, заполнить черный квадратик переменной t и щелкнуть вне рамки.
◄
Чтобы получить обратное преобразование Лапласа нужно проделать то же самое, что и в первом случае, только функция должна зависеть от комплексной переменной s. Соответствующий пункт меню находится ниже предыдущего Лапласа Обратное, а на пиктограмме Symbolics нужно использовать слово invlaplase.
Пример 2. Найти оригинал по изображению f(s)= и выполнить проверку.
►
Последнее выражение упрощаем, для этого в меню Symbolics выбираем процедуру Упростить и получаем исходную функцию
◄
|
|
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!