Определение абсолютного ускорения точки.

 

Теорема сложения ускорений (метод полюса)	Графическое нахождение из векторного уравнения	Аналитическое нахождение из векторного уравнения
Абсолютное ускорение любой точки B тела равно векторной сумме ускорения полюса A и ускорения точки B в относительном движении точки вокруг полюса A: , или . (1) Вектор (нормальное ускорение точки B в движении вокруг полюса A) направлен от точки B к полюсу A. Модуль . Вектор (касательное ускорение точки B в движении вокруг полюса A) AB. Модуль .	Находим (если это возможно) векторы, содержащиеся в правой части (1). Выбираем масштаб и в соответствии с уравнением (1) строим векторный многоугольник. Вектор, проведенный из начала первого в конец последнего вектора, дает абсолютное ускорение точки.	Выбираем оси координат и проектируем уравнение (1) на эти оси: (2) (3) Решая (2), (3) и учитывая, что точка B, кроме звена AB, принадлежит еще ползуну или кривошипу, находим и . Тогда .

Пример К4. Механизм (рис. К4a) состоит из стержней 1, 2, 3, 4 и ползуна В, соединенных друг с другом и с неподвижными опорами О ₁ и О ₂ шарнирами.

Дано: , , , , , AD=DB, , , , , (направления и – против хода часовой стрелки).

Определить: V_B, V_E, w₂, a_B, e₃.

 

Рис. K4a Рис. K4б

Решение. 1. Строим положение механизма в соответствии с задан­ными углами и длинами стержней (рис. К4б; на этом рисунке в процессе решения задачи изображаем все векторы скоростей).

2. Определяем V_B. Точка B принадлежит стержню 3, совершающему плоскопараллельное движение. Чтобы найти , нужно знать направление и скорость другой точки звена 3. Такой точкой является точка A, принадлежащая еще звену 1 (звено вращается, см. задачу К2).

V_A = w₁ l ₁ = 0,8 м/c; . (1)

Направление найдем, учитывая, что точка B принадлежит одно­временно ползуну, движущемуся вдоль направляющих поступательно. Теперь, зная и направление , воспользуемся теоремой о проекциях скоростей двух точек тела (стержня 3) на прямую, соединяющую эти точки (прямая AB). Сначала по этой теореме устанавливаем, в какую сторону направлен вектор (проекции скоростей должны иметь одинаковые знаки). Затем, вычисляя эти проекции, находим

и V_B = 0,46 м/c. (2)

3. Определяем . Точка Е принадлежит стержню 2, совершающему плоскопараллельное движение. Следова­тельно, по аналогии с предыдущим, чтобы определить , надо сначала найти скорость точки D, принадлежащей одновременно стержню 3. Для этого, зная и , строим мгновенный центр скоростей (МЦС) стержня АВ; это точка C ₃, лежащая на пересечении перпендикуляров к и , восставленных из точек A и B. По направлению вектора определяем направление мгновенного поворота стержня 3 вокруг МЦС C ₃. Вектор перпендикулярен отрезку C ₃ D, соединяющему точки D и C ₃, и направлен в сторону мгновенного поворота тела. Величину V_D найдем из пропорции

. (3)

Чтобы вычислить C ₃ D и С ₃ B, заметим, что D AC ₃ B – прямоуголь­ный, так как острые углы в нем равны 30° и 60°, и что . Тогда D BC ₃ D является равносторонним и C ₃ B = С ₃ D. В результате равенство (3) дает

V_D = V_B = 0,46 м/c; . (4)

Так как точка Е принадлежит одновременно стержню 4, вращающемуся вокруг O ₂, то . В точках Е и D построим перпендикуляры к скоростям и , получим точку С ₂ – МЦС стержня 2. По направлению вектора определяем направление мгновенного поворота стерж­ня 2 вокруг центра С ₂. Вектор направлен в сторону поворота этого стержня. Из рис. К4б видно, что , откуда С ₂ E=C ₂ D. Составив теперь пропорцию, найдем, что

, V_E = V_D = 0,46 м/c. (5)

4. Определяем w₂. Так как МЦС стержня 2 известен (точка С ₂) и , то

. (6)

5. Определяем (рис. К4в, на котором изображаем все векторы ускорений). Точка B принадлежит стержню 3. Чтобы найти , надо знать траекторию точки B и ускорение какой-нибудь дру­гой точки стержня 3. Такой точкой является точка A, принадлежащая еще звену 1. Следовательно, , где чис­ленно

; . (7)

Вектор направлен вдоль AO 1, а – перпендикулярно AO 1; изображаем эти векторы на чертеже (см. рис. К4в). Так как точка В одновременно принадлежит ползуну, то вектор параллелен направ­ляющим ползуна. Изображаем вектор на чертеже, полагая, что он направлен в ту же сторону, что и . Для определения воспользуемся равенством (A – полюс): . (8) Изображаем на чертеже в точке B векторы: , (переносное ускоре-ние точки B), (вдоль ВА от В к А)

Рис. K4в

и (в любую сторону перпендикулярно ВА); численно . Найдя w₃ с помощью построенного МЦС C ₃ стержня 3, получим

и . (9)

Таким образом, у величин, входящих в равенство (8), неизвестны только числовые значения a_B и ; их можно найти, спроектировав обе части равенства (8) на какие-нибудь две оси.

Чтобы определить a_B, спроектируем обе части равенства (8) на направление ВА (ось х), перпендикулярное неизвестному вектору . Тогда получим

. (10)

Подставив в равенство (10) числовые значения всех величин из (7) и (9), найдем, что

. (11)

Так как a_B >0, то вектор направлен, как показано на рис. К4в.

6. Определяем e₃. Чтобы найти e₃, сначала определим . Для этого обе части равенства (8) спроектируем на направление, перпендикулярное АВ (ось у). Тогда получим

. (12)

Подставив в равенство (12) числовые значения всех величин из (11) и (7), найдем, что . Знак указывает, что направ­ление противоположно направлению, показанному на рис. К4в.

Из равенства получим .

Ответ: V_B =0,46 м/c; V_E =0,46 м/c; w₂= 0,67 c^-1; ; e₃= 2,56 c^-2.

Примечание. Если точка В, ускорение которой определяется, движется не прямолинейно (например, как на рис. К4.0-К4.4, где В принадлежит вращающемуся звену 4 и движется по окружности радиуса O ₂ B), то направление заранее неизвестно. В этом случае также следует представить двумя составляющими () и исходное уравнение (8) примет вид

. (13)

При этом вектор (см., например, рис. К4.0) будет направлен вдоль BO ₂, а вектор – перпендикулярно BO ₂ в любую сторону. Числовые значения , и определяются так же, как в рассмотренном приме­ре (в частности, по условиям задачи может быть или , если точка А движется прямолинейно).

Значение также вычисляется по формуле , где l – радиус окружности O ₂ B, а V_B определяется так же, как ско­рость любой другой точки механизма.

После этого в равенстве (13) остаются неизвестными только значения и и они, как и в рассмотренном примере, находятся проектированием обеих частей равенства (13) на две оси.

Найдя , можем вычислить искомое ускорение . Величина служит для нахождения e _AB (как в рассмотренном примере).

 

Вопросы для самоконтроля по кинематике

 

1. Векторный способ задания движения точки. Определение скорости при векторном способе задания движения точки.

2. Векторный способ задания движения точки. Определение ускорения точки.

3. Координатный способ задания движения точки. Определение траектории и скорости точки (величины и направления).

4. Координатный способ задания движения точки. Определение ускорения точки (величины и направления).

5. Естественный способ задания движения точки. Определение скорости точки.

6. Естественный способ задания движения точки. Касательное, нормальное, полное ускорения (физический смысл, величина, направление).

7. Поступательное движение твердого тела (определение). Теорема о траекториях, скоростях и ускорениях точек твердого тела. Задание движения тела.

8. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси (определение). Уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси. Угловая скорость и угловое ускорение тела. Определение характера вращения тела.

9. Скорость и ускорение точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.

10.Угловая скорость тела как вектор.

11.Составное движение точки. Переносное, относительное, абсолютное движения точки (определения).

12.Составное движение точки. Переносная, относительная, абсолютная скорости точки (определения). Теорема сложения скоростей.

13.Составное движение точки. Переносное, относительное, абсолютное ускорения точки (определения). Теорема сложения ускорений в общем случае (теорема Кориолиса).

14.Определение величины и направления ускорения Кориолиса. Случаи равенства нулю ускорения Кориолиса.

15.Плоскопараллельное (плоское) движение тела (определение). Уравнения движения тела. Разложение движения на простые. Независимость угловых параметров от выбора полюса.

16.Определение абсолютной скорости точки тела методом полюса при плоском движении тела. Теорема о проекциях скоростей точек тела на прямую, проходящую через эти точки.

17.Мгновенный центр скоростей тела, совершающего плоское движение (определение). Нахождение мгновенного центра скоростей тела.

18.Мгновенный центр скоростей тела; определение абсолютной скорости любой точки тела; определение угловой скорости тела при плоском движении тела.

19.Частные случаи нахождения мгновенного центра скоростей тела при плоском движении тела.

20.Определение абсолютного ускорения точки тела методом полюса при плоском движении тела.

 

ДИНАМИКА

 

Динамика изучает движение материальных точек и механических систем с учетом сил, которые влияют на это движение.