Потенциальная энергия. Закон сохранения

Полной механической энергии

§  1. Консервативные и неконсервативные силы

Консервативные (от латинского conservativus                          – охранительный) – это т                а-

кие силы, Р АБОТА которых не зависит от траектории, а определяется только

начал ьным и конечным положением материальной точки.

Силы, не обладающие только что названным свойством, называют неко н-

сервативными .

Для того чтобы узнать, консервативна сила либо нет, надо выч ислить ее

работу.

Консервативность силы тяжести

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 6.1

Вычислим работу (5.4) силы тяжести    (4.7) при движении материал ь-

ной точки массой m из положения 1 в положение 2 по произвольной траект о-

рии, изображенной на рис. 6.1                                                                      стрелочками. На рисунке дан вид сбоку. При в                                                                  ы-

QQQQQQQQQQ. с лении работы по формуле (5.4) воспользуемся тем, что сила тяжести

Это позволяет вынести ее за знак интеграла. Оставшийся интеграл

от вектора  дает, очевидно (ри                        с. 6.1), вектор    . Затем, расписав ск                   алярное

произведение    =            , выразим          через разность высот      .

Изложенная програ                                                 мма реализована следующим обра                           зом. 

 

 

 

 

 

 

51

 

 

 

.

Ясно, что при любой траектории ответ будет таким же . Значит, сила

тяжести консервативна, так как ее работа не зависит от выбора траектории, а

оп ределяется лишь начальным и конечным положением материальн ой точки:

 

 

(6.1)

 

 

Неконсервативность силы трения

Вычислим теперь работу (5.4) силы трения (4.9) при движении материал ь-

ной точки m из положения 1 в положение 2 по произвольной траектории, из о-

бражен ной на рис. 6.2.

На этом рисунке изображен вид сверху.

Сила трения всегда направлена против скорости, следовательно, при в ы-

числении работы можно во                                                         спользоваться тем, что косинус угла                   между силой

трения    и всегда будет равен минус единице.

 

 

 

Известно, что               – 

пройде нный путь.

Модуль силы трения п о-

стоянен. Это позволяет вынести

за знак интеграла. Т еперь

под интегралом, в отличие от

Рис. 6.2                                    предыдуще го случая (вывод

формулы (6.1)), остается ск а-

лярная величина                       ds. Интеграл от     скаляра        ds дает путь s12, который, оч евидно,

зависит от траектории. Реализуем эту пр ограмму:

 

 

 

 

.

 

 

 

Ответ зависит от выбора траектории                                , значит, сила трения        неко                                          нсерв                       а-

тивна.

 

 

 

 

 

 

 

 

52

§   2. Потенциальная энергия

Потенциальная энергия может быть введена только для поля консерв а-

тивных сил.

Так как их работа не зависит от траектории, а зависит только от начальн о-

го и конечного положений материальной точки, то эту работу можн о записать в

виде разности двух чисел: одно   – W                                                                                              П1 – будет зависеть от начального полож е-

ния тела, второе – W П2 – от конечного положения тела.

 

 

,                                   (6.2) 

где W П1 – потенциальная энергия тела в положении 1;

WП2 – потенциальная энергия в положении 2.

Работа в потенциальном поле сил равна убыли потенциальной энергии.

Некоторые конкретные выражения для потенциальной энергии W n(r)

Для нахождения конкретного вида зависимости W П (r) необходимо вычислить

 

 

работу                          В частности, для однородного поля тяжести, где

,  используя (6.1), получим:

.                                             (6.3)

 

 

Если                   – гравитационная сила, то

 

 

 

 

(6.4)

 

 

 

Если               – кулоновская сила то

 

 

 

.                                         (6.5)

 

 

Если                – сила упругости (4.8), то

 

 

 

.                              (6.6)

 

 

 

 

 

 

§  3. Закон сохранения механической энергии

Сначала получим закон сохранения механической энергии для одной мат е-

риальной точки, движущейся в поле консервативных сил . Работа этих сил, с

 

 

 

53

 одной стороны (5.10), равна                                            приращению кинетической энергии материальной точки:

A            W

12 = W k2 –        k1. 

С  другой стороны (6.2),                               та же работа равна убыли потенциальной эне     р-

гии м атериальной точки:

 

 

 

 

Исключая  из записанных выше выражений, получим:

 

 

 

 

или 

(6.7)

Полученное равенство означает, что в                                                  поле консервативных сил сумма к            и-

нетической и потенциальной энергии матер                                              иальной точки остается пост                                 о-

янной, т.е. сохраняется.

Сумма кинетической и потенциальной энергии материальной точки наз ы-

вается ее полной механической энергией W:

 

 

(6.8)

Полная механическая энергия материальной точки в поле консервативных

сил сохраняется.