История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Топ:
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного хозяйства...
Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного...
История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...
Интересное:
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Дисциплины:
2023-01-16 | 30 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
§ 1. Нормальное и тангенциальное ускорение
Пусть материальная точка движется по произвольной криволинейной тр а-
ектории (рис. 3.1) с переменной по модулю скоростью.
В этом случае за счет криволинейности траектории скорость будет изм е-
няться по направлению , кроме того, у скорости изменяется ее модуль. Для х а-
рактеристики такого движения полное ускорение удобно представить в виде
суммы двух составляющих: нормального ускорения , направленного перпенд и-
кулярно скорости, и тангенциального ускорения , направленного вдоль вектора
скорости.
Введем единичный вект ор , направленный вдоль вектора скорости:
Рис. 3.1
Тогда для ускорения из определения (2.7) и рис. 3.1 следует:
(3.1)
(по правилу нахождения производной от произведени я).
Первый член, нормальное ускорение ,
(3.2)
показывает быстроту изменения направления скорости.
Второй член, тангенциальное ускорение ,
(3.3)
направлен вдоль скорости и показывает быстроту изменения ее модуля .
26
Модуль тангенциального ускорения равен, как следует из (3.3):
. (3.3а)
Направление и величину нормал ьного ускорения найдем для частного сл у-
|
чая равномерного движения материальной точки по окружности (рис. 3.2а,
3.2б, 3.2в):
Рис. 3.2б
Рис. 3.2а Рис. 3.2в
Пусть точка за время переместилась из начального положения
в конечное. При этом радиус R повернется на угол . По определению рад и-
анной меры угла измеряется отношением длины дуги к радиусу:
.
При равномерном движении по окружности ск орость меняется по напра в-
лению, но не меняется по величине. Следовательно, тангенциальное ускорение
равно нулю. Чтобы найти нормальное ускорение, воспользуемся формулой
(3.2), которую запишем, применив определение производной, в следующем в и-
де:
. (3.2а)
На рис. 3.2б вектор показывает изменение направления вектора ск о-
рости за промежуток времени t.
27
Рисунки 3.2б и 3.2в показывают, как изменяется направление вектора
при совершении предельного перехода ( ).
Направлен , при по вектору , перпендикулярному вектору
: ( значит угол между стремится к ). Модуль вектора
, как следует из рис. 3.2в, равен в пределе .
Следовательно, при t 0 для вектора , можно записать следующее
выражение:
здесь - единичный вектор нормали к скорости, .
Теперь подставим полученное выражение для в формулу 3.2а, при
этом запишем как отношение S/R:
(3.4)
Нормальное ускорение направлено по нормали к скорости, его модуль р авен :
|
. (3.4а)
Для движения по произвольной кривой радиус кривизны траектории R
не будет величиной постоянной. На рис. 3.3 и зображены векторы скорости,
нормального, тангенциального и полного ускорения для этого случая. Вектор
направлен, как и вектор , к локальному центру кривизны траектории.
Тангенциальное ускорение направлено так же, как скорость, и по модулю, как
следует из (3.3), равно производной от модуля скорости по времени: .
Модуль полного ускорения вычисляется по теореме Пифагора:
.
Рис. 3.3
28
§ 2. Прямолинейное равнопеременное движение
При прямолинейном движении траектория – прямая линия. Выберем си с-
тему координат так, чтобы траектория материальной точки совпадала с осью х.
Тогда положение тела в пространстве можно задать одной координатой – x(t).
Зависимо сть x(t) можно получить, проинтегрировав первую из формул (2.2),
зап и санную в виде:
Возьмем определенный интеграл от нуля до t от обеих частей этого раве н-
ства:
Интеграл в левой части равенства берется так же, как и при интегриров а-
нии формулы (2.11). В резул ьтате интегрирования получим:
(3.5)
Для того, чтобы взять интеграл в правой части равенства (3.5), нам нео б-
ходимо знать зависимость . Ее мы найдем, применив к нашему случаю
определение ускорения (2.7). Так как наше движение одномерное, то из (2.7) и
(2.9) следует, что
или
Проинтегрируем последнее равенство:
.
Так как (движение равнопеременное), то ускорение а х можно
вынести за знак интеграла. Оставшиеся интегралы мы уже научились брать
(см. (2.10) и (3.5)), после интегрирования имеем:
откуда для следует:
29
(3.6)
Теперь из (3.5) и (3.6) для x(t) получим:
|
Оставшийся интеграл табличный, он равен:
С учетом этого, окончательная формула для зависимости координаты тела
х от времени t для равнопеременного движения приобретает следующий вид:
. (3.7)
Здесь мы, как это обычно дела ют, опустили индексы y скорости и ускор е-
ния.
Если за время движения знак скорости v(t) в формуле (3.6) не меняется
(т.е. не меняется направление движения), то из (3.7) можно найти пройденный
путь . Действительно, при движении в одном направлении путь:
выражая из (3.7) для пройденного пути s, при выполнении отмече н-
ного выше условия, получим:
(3.8)
Если направление движения меняется, для нахожден ия пройденного пути
все время движения и весь путь нужно разбить на промежутки, в течение кот о-
рых знак скорости постоянен. Затем по формуле (3.8) найти отрезки пройде н-
ного пути, после чего их сложить.
30
§ 3. Как решается основная задача механики
|
|
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!