Информационные характеристики

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

УСТРОЙСТВ И СИСТЕМ СВЯЗИ, ИЗМЕРЕНИЙ, АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ И КОНТРОЛЯ.

 

 

Основные соотношения и теоремы теории информации (§ 6-10, 6-11) дают возможность оценить некоторые информационные характеристики и показатели отдельных устройств и систем связи, измерений, автоматического управления и контроля. Далее приводятся соотношения, позволяющие определить пропускную способность определенного класса линейных систем и дискретных вычислительных устройств, информационные характеристики переходных процессов, показатели эффективности программирования и алгоритмов поиска неисправности, информационные показатели измерительных устройств. Часть из этих характеристик и показателей (такие как пропускная способность) используются для сопоставления реально достигнутых значений с теоретическим пределом. Тем самым оценивается эффективность тех или иных устройств и систем. Другие показатели служат для информационной оценки отдельных устройств или систем, а также для определения требований к таким устройствам при решении тех или иных информационных задач или задач по управлению.

Всякая задача по управлению включает и некоторую информационную задачу, ибо управляющее воздействие вырабатывается на основе получения и обработки той или иной информации. Заметим, также, что вопросы приложения теории информации к задачам управления, измерения и обработки информации в настоящее время еще не полностью разрешены и находятся в стадии исследований.

 

Пример.

В прямой цепи системы автоматического управления (рис. 6-66) включен усилитель, коэффициент усиления которого флуктуирует относительно среднего значения к ₀ со спектральной плотностью флуктуаций S_v. На входе усилителя действует случайный сигнал со спектральной плотностью , ограниченный полосой частот F. Требуется определить пропускную способность усилителя без обратной связи и с отрицательной обратной связью через фильтр с передаточной функцией

 

 

(используя исходные данные в табл. 6-17).

Таблица 6-17

Исходные данные к примеру

 

Параметр	к 0	ко.с	β, 1/c	T, c	Sv, c	F, Гц
Значение	10	1	2	0,5	0,1	14

 

1. Определяем дисперсию входного сигнала

 

 

или

 

 

(коэффициент 2 учитывает, что спектральная плотность есть четная функция частоты f).

Подстановка числовых данных даст D_X = 4 arctg 7 = 5,7.

2. По (6-324) определяем пропускную способность усилителя без обратной связи:

 

 

Для отыскания значения интеграла вначале найдем значения функции

 

 

для различных значений частоты f, а затем построим график функции log L_a и подсчитаем площадь, ограниченную этим графиком. Данные вычислений сведем в табл. 6-18.

Таблица 6-18

Данные вычислений L_a, log ₂ L_a

 

f	0	1	2	3	4	5	6	7	8	14
La	161	129	81	50,6	33	23,4	17	13	10,6	4,2
log2 La	7,46	7,14	6,38	5,78	5,17	4,67	4,21	3,82	3,52	2,17

 

На рис. 6-67 приведен график log₂ L_a. Подсчет площади дает следующее значение пропускной способности: С_ф.ш = 60 дв.ед./с.

 

Рис. 6-67. Графики функций log L_a и log L _б.

 

 

3. По (6-326) определяем дисперсию сигнала рассогласования ε на входе усилителя, охваченного обратной связью. Будем иметь:

 

 

Дальнейшие преобразования следующие:

 

,

 

где Т ₁ = Т / (1 + к ₀ к_о.с);

 

 

Так как βТ = 1, числитель подынтегрального выражения будет равен единице, и мы получим:

 

,

 

где вместо Т ₁ подставлено его значение. Подстановка числовых данных даст D_ε = 0,206.

Сравнение значений D_X и D_ε показывает, что при охвате усилителя отрицательной обратной связью дисперсия сигнала на его входе уменьшилась примерно в 28 раз.

4. По (6-325) определяем пропускную способность усилителя с обратной связью. Предварительно преобразуем подынтегральное выражение

 

 

Так как βТ = 1, получим:

 

 

Вычисленные данные сведем в табл. 6-19.

Таблица 6-19

Значения функций L_δ, log ₂ L_δ

 

f	0	1	2	3	4	5	6	7	8	14
Lδ	41,2	41,2	40,8	40,5	40,0	39,3	38,5	37,5	36,6	30
log2 Lδ	5,37	5,37	5,35	5,34	5,32	5,30	5,27	5,23	5,20	4,91

 

На рис. 6-67 приведен график функции log₂ L_δ. Подсчет площади, ограниченной графиком, дает следующее значение пропускной способности: С = 73,5 дв.ед./с.

Таким образом, применение отрицательной обратной связи через фильтр нижних частот позволило повысить пропускную способность усилителя примерно на 20 %.

 

Автоматического управления

 

1. Определим пропускную способность дискретного вычислительного устройства [13] следующим образом:

 

,                   (6-327)

 

где Н_{в 0} - прирост энтропии системы за тактовый период; τ_в - тактовый период работы вычислительного устройства, определяемый интервалом времени между поступлением входных данных и выдачей результата вычислений. Далее он будет называться также и тактом управления.

Поскольку в процессе управления тем или иным объектом энтропия его выходного сигнала должна уменьшаться из-за работы регулятора, а при его отключении, наоборот, увеличиваться, можно определить прирост энтропии объекта за тактовый период

 

,

 

где Н_ν, Н_ε - энтропия объекта в начале и конце такта.

Если выходной сигнал имеет нормальное распределение, то на основе (6-246) и (6-256) можно записать:

 

              (6-328)

 

В результате получим:

 

,

 

где D_ε, D_ν - дисперсия сигнала в начале и конце такта.

Полагая изменение (прирост) дисперсии за тактовый период линейным с угловым коэффициентом D ₀ β, будем иметь:

 

 

Подставив это выражение в (6-327), окончательно получим:

 

,         (6-329)

 

где D ₀ - дисперсия неуправляемого объекта в установившемся режиме; D_ε - дисперсия на выходе объекта с системой управления в конце такта управления; Т ₀ = 2/ β - постоянная времени объекта (при приближенном представлении в виде инерционного звена).

Следствием (6-329) является соотношение для нижнего допустимого значения тактового периода:

 

                          (6-330)

 

2. Определим информационный переходный процесс управления, как процесс изменения энтропии системы от момента включения регулятора до момента наступления установившегося режима, когда прирост энтропии становится постоянной величиной. Для выходного сигнала системы с нормальным распределением можем записать:

 

;                   (6-331а)

 

,                  (6-331б)

 

где Н ₀ - энтропия в начале процесса управления; Н _j - энтропия к концу j -го такта управления; D_j - дисперсия выходной величины объекта к концу j -го такта управления; Δ x - шаг квантования сигнала управления по уровню.

За каждый такт вычислительное устройство, имеющее пропускную способность С _ВУ, может внести количество информации, равное Н_{в 0}. За период такта j прирост энтропии в общем случае будет Н_{в j}. Тогда энтропия Н _j к концу j -го такта будет равна:

 

 

Подставив в это соотношение значения Н ₀ и Н _j из (6-331-а) и (6-331б), после преобразования получим:

 

,                 (6-332)

 

где Н_{в 0} - прирост энтропии объекта в установившемся режиме за время такта работы вычислительного устройства; Н_{в k} - прирост энтропии объекта в переходном процессе за время k - го такта.

Приращение энтропии на (j + 1)-м такте найдем следующим образом. Полагая, как и ранее, изменение дисперсии за тактовый период линейным с угловым коэффициентом (D ₀ - D_j) β, будем иметь:

 

,

 

откуда

 

 

Так как прирост энтропии

 

,

 

то с учетом полученных соотношений будем иметь (Т ₀ = 2/ β):

 

   (6-333)

 

Методика вычислений информационного переходного процесса заключается в следующем. Имеем исходные данные Н_{в 0}, τ_в, Т ₀, D ₀, D_ε. По (6-332) определяем дисперсию в конце 1-го такта

 

 

Далее, по (6-333) находим приращение энтропии в конце 2-го такта работы вычислительного устройства

 

 

Используя опять (6-332) и найденное значение Н_{в 2}, находим дисперсию в конце 2-го такта:

 

 

Затем по (6-332) определяем следующее значение приращения энтропии Н_{в 3} и т.д. Вычисления проводятся до тех пор, пока значение прироста энтропии Н_{в ( j +1)} не достигнет значения Н_{в 0} - это будет означать окончание переходного процесса.

Общее количество информации, внесенное в систему на участке переходного процесса, определится:

 

, дв.ед.    (6-334)

 

Анализ информационного переходного процесса позволяет сформулировать соответствующие требования к вычислительной машине.

Пример.

Для стабилизации самолета в одной плоскости (по углу тангажа) предполагается использовать автопилот с цифровой вычислительной машиной. Требуется определить необходимую пропускную способность вычислительной машины и характеристики информационного переходного процесса.

Исходные данные: среднее квадратическое значение угла тангажа при отсутствии автопилота σ ₀ = 5 угл.град; средняя квадратическая ошибка стабилизации σ_ε = 20 угл.мин; постоянная времени самолета Т ₀ = 1 с; время накопления информации измерительным элементом, обусловленное постоянной времени измерителя, τ _изм = 0,008 с.

1. Произведем оценку максимально допустимого тактового интервала при одноканальной работе вычислительной машины. По (6-330) имеем:

 

 с.

 

Такой тактовый интервал не удовлетворяет условиям работы измерительного элемента, т.к. имеет значительно меньшую величину, чем необходимо для накопления информации. Это означает, что скорость увеличения дисперсии в данном случае настолько велика, что при отключении автопилота на время τ _изм = 0,008 с средняя квадратическая ошибка стабилизации в конце такта превысит заданное значение (σ_ε = 20 угл.мин).

Поэтому система управления должна иметь два канала: грубой стабилизации и точной стабилизации. С технической точки зрения это сводится к усложнению алгоритмов вычислений.

2. Определим точностные границы работы каналов грубой и точной стабилизации, исходя из условия одинаковой пропускной способности вычислительных устройств обоих каналов. Последнее целесообразно из соображений однотипности этих каналов. Согласно (6-329) для этого необходимо иметь одно и то же отношение граничных дисперсий в том и другом канале. Это условие будет соблюдено, если при заданной дисперсии угла тангажа в момент включения канала грубой стабилизации D ₀ = 25 град², дисперсия угла тангажа в момент включения канала точной стабилизации будет D _0т = 1,67 град². При таком подборе значения D _0т отношение дисперсий будет равно D _0т / D ₀ = 1/15; D _ε / D _0т = 1/15.

3. Находим тактовый интервал грубого и точного каналов. Граничное значение согласно (6-330) будет равно:

 

  с.

 

Выбираем значение τ_в, равное 0,02 с. Это значение удовлетворяет условиям работы измерительного элемента.

4. По (6-329) определяем пропускную способность вычислительного устройства. Будем иметь:

 

 дв.ед./с.

 

Согласно (6-328)

 

 дв.ед.

 

5. Вычисление характеристик информационного процесса для канала точной стабилизации произведем по формуле (6-332) и (6-333), а результаты расчетов сведем в табл. 6-20.

 

Таблица 6-20

Программирования

 

Информационный критерий эффективности программирования в цифровых вычислительных машинах автоматических систем может характеризовать степень совершенства структуры и программы ЦВМ с точки зрения использования машинного времени [13]. Критерий определяется формулой

 

                   (6-335)

 

Величина η_Н характеризует затрату операций на решение задачи управления и степень использования емкости памяти машины; I - количество информации, выдаваемое вычислительным устройством; S - число операций за тактовый период; M ₀ - общее число всех возможных выходов (состояний) устройства за одну операцию.

Пример.

Рассмотрим сумматор, осуществляющий сложение Q n -разрядных двоичных чисел обычным способом. При этом M ₀ будет равна M ₀ = 2 ^Qn, а общее количество различных (альтернативных) выходов (состояний) сумматора будет .

При этом количество информации, выдаваемое сумматором, определяется величиной

 

 

При S = 1 критерий η_Н примет вид

 

 

Для различных n и Q имеем следующие значения этого критерия (табл. 6-21).

Таблица 6-21

Значения критерия η_Н для различных n

 

Q	n
	2	3	4	5	6	8	10	12	14
2	0,70	0,65	0,62	0,60	0,58	0,56	0,55	0,54	0,54
3	0,50	0,48	0,46	0,44	0,42	0,40	0,39	0,38	0,37
4	0,43	0,40	0,37	0,35	0,33	0,31	0,30	0,29	0,25
10	0,24	0,20	0,18	0,17	0,16	0,14	0,13	0,13	0,12

 

Таким образом, если бы сумматор не повторял операции сложения чисел, дающих один и тот же результат, а выдавал их, например, из памяти машины, выигрыш в скорости работы был бы восьмикратным (при n = 14, Q = 10).

 

Таблица неисправностей

 

Контроли-руемые параметры	Неисправности и их вероятности
	n 1	n 2	n 3	n 4	n 5	…	nj	…	nN -1	nN
	p 1	p 2	p 3	p 4	p 5	…	pj	…	pN -1	pN
x 1	1	0	1	1	1	…	0	…	1	0
x 2	1	1	1	0	0	…	0	…	1	1
x 3	0	0	0	0	1	…	0	…	1	1
x 4	1	1	0	0	1	…	1	…	1	0
x 5	1	0	1	0	0	…	0	…	0	1
.	.	.	.	.	.	…	.	…	.	.
.	.	.	.	.	.	…	.	…	.	.
.	.	.	.	.	.	…	.	…	.	.
xj	1	1	1	0	1	…	1	…	1	0
.	.	.	.	.	.	…	.	…	.	.
.	.	.	.	.	.	…	.	…	.	.
.	.	.	.	.	.	…	.	…	.	.
xm	0	0	1	1	1	…	1	…	1	1

 

Поскольку при проверке параметров возможны два исхода проверки (1 или 0), то наличие той или иной неисправности можно предсказать только с некоторой вероятностью. Так, вероятность исхода проверки, при которой x_i примет значение 1, будет равна:

 

                           (6-336)

 

Аналогично вероятность исхода проверки, при которой x_i примет значение 0, будет равна:

 

              (6-337)

 

Символы j →1 и j →0 обозначают суммирование только тех вероятностей таблицы неисправностей p_i, которые по параметру x_i дают значение 1 или 0 соответственно. Для выявления любого из возможных неисправных элементов достаточно в любой последовательности произвести проверку m параметров x_i фиксируя каждый раз их значения. Если каждому из параметров x_i будут в точности соответствовать приведенные в какой-либо из колонок n_j табл. 6-22 исходы, то это будет означать наличие неисправности, соответствующей данной колонке. Однако такой способ проверки неэкономичен, т.к. не обязательно для обнаружения неисправности проверять каждый раз все параметры. Скорость отыскания неисправности (при одинаковом времени проверки любого из параметров x_i) будет тем выше, чем меньше параметров будет проверено до момента обнаружения неисправности.

Каждая проверка доставляет определенную информацию о состоянии объекта, и, таким образом, уменьшает энтропию рассматриваемой ситуации. Чем значительней прирост информации за каждый шаг проверки, тем меньше таких шагов будет до обнаружения неисправности.

При проверке параметра x_i неопределенность исхода проверки определяется энтропией

 

,        (6-338)

 

где вероятности p_{i 1} и p_{i 0} определяются по (6-336) и (6-337).

Максимальное значение энтропии H_i будет при равенстве вероятностей p_{i 1} и p_{i 0}, следовательно, для получения максимальной информации на первом шаге проверку надо начинать с того параметра, у которого вероятности p_{i 1} и p_{i 0} наиболее близки. Процедура построения алгоритма поиска неисправностей следующая.

Первый шаг заключается в составлении таблицы вероятностей p_{i 1} и p_{i 0} и их разностей для всех параметров по (6-336) и (6-337) - табл. 6-23.

 

 

Таблица 6-23

Значения вероятностей

 

Веро-ятности	Параметры
	x 1	x 2	x 3	…..	xm
pi 0	p 10	p 20	p 30	…..	pm 0
pi 1	p 11	p 21	p 31	…..	pm 1
Δ pi	Δ p 1	Δ p 2	Δ p 3	…..	Δ pm

 

Параметр, имеющий минимальное значение Δ p_i, выбирается первым для проверки. Пусть, например, это будет параметр x ₄ (табл. 6-22). Так как этот параметр может при проверке дать значение либо 1 либо 0, дальнейшая цепочка проверок разветвляется. Приняв значение первого проверяемого параметра (для нашего примера x ₄) равным 1, находим суммы вероятностей для каждого из оставшихся m - 1 параметров отдельно для исходов 1 и 0. При этом суммируются вероятности только тех колонок, которые соответствуют исходам 1 первого проверяемого параметра (x ₄). Приняв затем значение первого проверяемого параметра (x ₄), равным 0, проделываем совершенно аналогичную процедуру. Описанную операцию для рассмотренного примера иллюстрирует табл. 6-24.

Таблица 6-24

Схема проверок

 

Параметры	Исходы	x 4 = 1	x 4 = 0
x 1	1	p 1 + p 5 + pN -1	p 3 + p 4
	0	p 2 + pj	pN
x 2	1	p 1 + p 2 + pN -1	p 3 + pN
	0	p 5 + pj	p 4
x 3	1	p 5 + pN -1	pN
	0	p 1 + p 2 + pj	p 3 + p 4
…	…	…….	……

 

Обозначим найденные суммарные вероятности p_{i 1} (x ₄ = 1), p_{i 0} (x ₄ = 1), p_{i 1} (x ₄ = 0) и p_{i 0} (x ₄ = 0), где индекс i указывает, к какому параметру относится значение вероятности. По полученным значениям вероятностей определяются их разности Δ p_i (x ₄ = 1) и Δ p_i (x ₄ = 0) для всех оставшихся параметров, и из каждой группы выбирается минимальная разность. Тем самым будут определены два параметра, наиболее выгодные для последующего контроля системы. Если это будут, например, параметры x ₁ и x ₃, они в свою очередь могут дать при проверке значения либо 1, либо 0. Таким образом, каждая из наметившихся двух цепочек проверок разветвляется. Примерная схема построения оптимального алгоритма приведена на рис. 6-68.

 

Рис. 6-68. Схема построения оптимального алгоритма

поиска неисправностей.

 

 

Рассмотренная методика построения оптимального алгоритма поиска неисправностей, опирающаяся на информационные представления, используется на практике для составления карт проверок и при выборе порядка (алгоритма) проверок в системе автоматизированного контроля. Эта методика может быть распространена и на другие аналогичные задачи.

 

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ