Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Топ:
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Интересное:
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Дисциплины:
2022-12-30 | 32 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
1) производная неопределённого интеграла равна под интегральной функции;
2) дифференциал от неопределённого интеграла равен интегральному выражению.
3) неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной;
4) постоянный множитель можно выносить из под знака ∫;
5) неопределённый интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме от этих чисел в отдельности.
Таблица основных интегралов.
1) ∫хаdx=(xa+1/a+1)+c;
2) ∫dx/x=ln(x)+c;
3) ∫dx/1+x2=arctg(x)+c;
4) ∫dx/√(1+x2)=arsin(x)+c;
5) ∫adx=ax/ln(a)+c;
6) ∫exdx=ex+c;
7) ∫sin(x)dx=-cos(x)+c;
8) ∫cos(х)dx=sin(x)+c;
9) ∫dx/cos(х)=tg(x)+c;
10) ∫dx/sin(x)=-ctg(x)+c;
11) ∫dx/(х2-a2)=1/2a*ln((x-a)/(x+a))+c;
12) ∫dx/√(х2-a2)=ln(x+√(x2+a))+c;
13) ∫dx/(х2+a2)=1/a*arctg(x/a)+c;
14) ∫dx/√(х2-a2)=arsin(x/a)+c;
Основные методы интегрирования.
1) Непосредственное интегрирование. Интегрирование используя таблицу интегралов и привил интегрирования.
2) Метод подстановки. Во многих случаях этот способ позволяет свести нахождение интеграла к обычному интегрированию. Такой метод еще называется методом замены переменной. Вывод такого способа интегрирования идет из теоремы. Теорема: Пусть функция x=g(t) определена и дифференцируема на промежутке Т, и пусть Х множество значений функции на котором определена функция f(x), тогда множество Х, функция имеет первообразную, то на множестве Т справедлива формула: ∫f(x)dx=∫f(g(t)*g’(t)dt
3) Метод интегрирования по частям. Теорема: Пусть функция U(x) и V(x) определены и дифференцируемы на отрезке Х. И пусть функция U’(x)V(x) имеет первообразную на этом промежутке, тогда на промежутке X, функция U(x)V’(x) так же имеет первообразную, и справедлива формула: ∫U(x)V’(x)dx=U(x)V(x)- ∫V(x)U’(x)dx
|
Интегрирование рациональных функций.
Важный класс функции, интегралы от которых всегда выражаются через элемент функции, следовательно элементарные функции, т е функции можно представить в виде p(x)/q(x), где p(x) и q(x) – многочлены. Если степень многочлена в числители равна или больше степени многочлена в знаменателе, то выполнимо деление по очереди.p(x)/q(x)=w(x)+r(x)/q(x), w(x)- многочлен, R(x) многочлен, степень которого меньше чем степень q(x).
Интегрирование иррациональных и трансцендентных функций.
Предварительно введем обозначение рациональной функции от двух переменных u и v, т е функции, из двух переменных над которыми проводятся операции сложения и умножения. R(u,v). Если переменные в свою очередь являются функциями, то функция называется рациональной функцией от многочленов относительно одной переменной. Рассмотрим теперь интегралы от некоторых простейших иррациональных и трансцендентных функции и покажем, что в ряде случаев они сводятся к интегралам от рациональной функции.
19) интегралы вида ∫ R (x,√ axx + bx + c)
∫R(x,√axx+bx+c): Если трехчлен √axx+bx+c имеет два корня и а>0, то получаем функцию вида: R(x, √axx+bx+c)=R(x,│x-x1│ √a(x-x2)/(x-x1). Если корни равны то, √axx+bx+c= √a│x-x1│.
Определение определённого интеграла.
Опр: Если существует конечный предел I интегральной суммы, при λ→0, то этот предел называется определенным интегралом функции f(x) по отрезку а,b и обозначается
В этом случае f(x) называется интегрируемой функцией, а а и b это пределы интегрирования.
Опр: Число I называется определенным интегралом от функции f(x) по отрезку a,b если для любого E>0 существует d>0 такое, что при λ<d, независимо выполняется неравенство: f(x)-I<E
Условие сущ-я определённого интеграла.
Ограниченность интегрируемой функции.
Теорема: Если функция интегрируема на отрезке, то она ограничена на этом отрезке.
Предположим обратное, т е допустим, что функция не ограничена на отрезке. Покажем, что в этом случае интегрируемую сумму можно сделать сколь угодно большой. Зададим определенное число М>0, получаем что интегральная сумма по величине больше любого заданного числа, поэтому интегральная сумма не имеет предела, это значит что определенный интеграл от неограниченной функции не существует.
|
Это условие не является достаточным. Достаточным является другие условия.
Суммы Дарбу.
Пусть функция f(x) ограничена на отрезке. Разобьем ее на отрезки. Через M и m означим точную нижнюю грань и точную верхнюю грань. Суммы Mi∆xi и mi∆xi. Эти суммы называются соответственно нижней и верхней суммами. Сумма Дарбу имеет один геометрически смысл. Рассмотрим неотрицательную непрерывную функцию на отрезке и криволинейную трапецию, т е график функции ограниченными прямыми с координатами концов отрезка.
Формула Ньютона Лейбница.
Вычислять определенный интеграл как предел интегральной суммы очень трудно. Поэтому существует более удобный способ. Установлен, что функция непрерывна на отрезке интегрирования. Получаем формулу: Определенный интеграл равен разности интеграла от верхней грани и интеграла от нижней грани.
Замечание: Формула Ньютона Лейбница справедлива и для некоторых непрерывных функции.
|
|
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!