Схема исследования графика функции.

1) Найти область определения функции.

2) Найти точки пересечения графика функции с осями координат.

3) Найти асимптоты.

4) Найти точки возможного экстремума.

5) Найти критические точки.

6) С помощью вспомогательного чертежа исследовать знак первой и второй производной, Определить участки возрастания и убывания функции.

найти направления выпуклости графика, точки экстремума и точки перегиба.

7) Построить график, учитывая исследования, проведённые в пунктах 1-6.

 

Формула Тейлора.

Теорема.

Пусть функция f(x) имеет в точке А и некоторой её окрестности производные порядка n+1, пусть х - некоторое значение аргумента из указанной окрестности х не равно А, тогда между точками х и А найдётся точка δ, такая, что справедлива следующая формула:

Формула R_n+1(x) =  Называется формулой Тейлора, а выражение R_n+1(x) – остаточным членом в форме Лагранжа. Его можно переписать в другом виде т. к. точка δ принадлежащая (а,х), по найдётся такое число θ (тетта), 0< θ<1, что δ= а+ θ (х-а), и остаточный член примет вид: R_n+1(x) =

Другая запись формулы Тейлора и остаточного члена.

Часто формулу Тейлора 1 записывают в ином виде, положим в (1) а=х₀

х-а=∆х;

х=х₀+∆х, тогда *(∆х)n-1; (5)

0<θ<1

При n=0 из (5) получается формула Лагранжа.

Покажем, что если функция f⁽ⁿ⁺¹⁾ ограничена в окрестности точки (а), то остаточный член

R_n+1(x) является бесконечно малой более высокого порядка, чем(х-а)ⁿ, x→a.

lim_{x→a ;}

Таким образом R_n+1(x)=0[(x-a)ⁿ] при x→а (6)

формула (6) называется остаточным членом в форме Пеано.

 

Формула Маклорена.

Формулой Маклорена называют формулу Тейлора (1), при а=0

; Остаточный член имеет вид:

1. В форме Логранжа.

2. В форме Пиано.

С помощью формулы Маклорена функцию можно с определённой степенью точности заменять многочленами, являющимися наиболее простыми элементарными функциями.

 

Первообразные и неопределённый интеграл.

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на некотором промежутке Х, если для всех значений х из этого промежутка выполняется равенство F’(x)=f(x).

Если F(x) первообразная для f(x) то функция F(x)+с, где с – произвольная постоянная, также является первообразной для f(x).

Лемма. Функция производная которой на некотором промежутке Х =0 постоянна на этом промежутке.

Теорема. Если F(x) первообразная для функции f(x) на некотором промежутке х, то любая другая первообразная для f(x) на этом промежутке может быть представлена в виде F(x)+с, где с – произвольная постоянная.

 

Неопределённый интеграл.

Если F(x) первообразная для функции f(x) на некотором промежутке Х, то множество функций F(x)+с, где с – произвольная постоянная, называется неопределённым интегралом от функции f(x) на этом промежутке и обозначается ∫f(x)dx=F(x)+c, где f(x) – под интегральная функция, f(x)dx – под интегральное выражение, х – переменная интегрирования.