Теорема Ролля, Лагранджа и Коши о средних значениях.

Теорема Ролля. Если функция f:

1) непрерывна на (a,b);

2) имеет в каждой точке интервала [a,b] конечного или определённого знака бесконечную производную;

3) принимает равные значения на концах (a,b) f(a)=f(b), то существует по крайней мере одна точка S принадлежащая [a,b] такая что f’(S)=0.

Теорема Лагранджа. Если функция f:

1) непрерывна на (a,b);

2) имеет в каждой точке интервала [a,b] конечного или определённого знака бесконечную производную;

3) то существует такая точка S принадлежащая [a,b] такая что f(b)-f(a)= f’(S)*(b-a) – формула приращений Лагранджа.

Следствие 1: Если функция непрерывна и имеет производную равную 0 во всех точках некоторого промежутка, то она на ней постоянна.

Следствие 2: Если функция непрерывна в некоторой окрестности точки и дифференцируема в проколотой окрестности этой же точки и существует конечный или бесконечный предел.

Теорема Коши. Если функция f и g:

1) непрерывна на (a,b);

2) дифференцируема в каждой точке интервала [a,b];

3) g’(x)<>0 для любого х принадлежащего (a,b), то существует такая точка S принадлежащая [a,b] такая, что (f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f’(S)/g’(S).

Раскрытие неопределённости по правилу Лопиталя.

1. Неопределённость вида 0/0:

1) если функции f и g определы в окрестности x₀, f(x₀)=g(x₀)=0 существуют конечные производные f’(x₀)<>0 и g’(x₀)<>0, то существует lim при x→x₀ f(x)/g(x)= f’(x₀)/g’(x₀);

2) если:

а) функции f и g дифференцируемы на (a,b);

b) g’(x)<>0 для любого х принадлежащего (a,b);

с) lim при х→a f(x)=lim при х→a g(x)=0;

d) существует конечный или бесконечный предел lim при x→x₀ (x₀)/g’(x₀), то существует предел lim при x→x₀ f(x)/g(x), причём эти пределы равны.

2. Неопределённость вида ∞/∞:

а) функции f и g дифференцируемы на (a,b);

b) g’(x)<>0 для любого х принадлежащего (a,b);

с) lim при х→a f(x)=lim при х→a g(x)=∞;

d) существует конечный или бесконечный предел lim при x→x₀ (x₀)/g’(x₀), то существует предел lim при x→x₀ f(x)/g(x), причём эти пределы равны.

 

Признак монотонности функции.

Теорема. Если функция f(x) дифференцируема на (a,b) и f’(x)=>0 (f’(x)<=0) на (a,b), то функция не возрастает (не убывает) на (a,b).

Замечание. f’(x)>0 (f’(x)<0) на (a,b), то функция возрастает (убывает) на (a,b).

 

Отыскание точек локального экстремума.

Точка x₀ называется точкой локального максимума (минимума) функции f(x), если для всех х из окрестности ∂ точки x₀ выполняется неравенство f(x)<f(x₀) (f(x)>f(x₀)) при x<>x₀.

Теорема (Необходимое условие локального экстремума). Если функция f(x) имеет в точке x₀ локальный экстремум и дифференцируема в этой точке то f’(x₀)=0.

Теорема (Достаточное условие локального экстремума). Если функция f(x) при переходе через точку x₀ меняет свой знак с – на + то точка x₀ – локальный минимум, а если с + на – то точка x₀ – локальный максимум.

 

Направление выпуклости и точки перегиба графика.

Будем говорить что график функции y=f(x) имеет на (a,b) выпуклость направленную вниз (вверх), если он расположен, не ниже (не выше) любой касательной к графику функции на (a,b).

Теорема. Если функция y=f(x) имеет на (a,b) вторую производную и f’(x)=>0 (f(x)<=0), то во всех точках (a,b) график функции y=f(x) имеет выпуклость направленную вниз (вверх).

Точка M (x₀,f(x₀)) называется точкой перегиба графика функции y=f(x) если в точке M график имеет касательную и существует такая окрестность в точке x₀ в пределах которой график функции y=f(x) слева и справа от точки x₀ имеет разное направление выпуклости.

Теорема (Необходимое условие точки перегиба). Пусть график функции y=f(x) имеет перегиб в точке M (x₀,f(x₀)) и пусть функция y=f(x) имеет в точке x₀ непрерывную вторую производную f’’(x) в точке x₀ обращается в 0.

Теорема (Достаточное условие точки перегиба). Пусть функция y=f(x) имеет вторую производную в некоторой окрестности точки x₀, тогда если в пределах указанной окрестности f’’(x) имеет разные знаки слева и справа точки x₀, то график y=f(x) имеет перегиб в точке M (x₀,f(x₀)).

 

Асимптоты графика функций.

При исследовании поведения функции на бесконечности т.е. при х→+∞ и х→-∞ или в близи точек разрыва второго рода часто оказывается, что график функции сколь угодно близко приближается к той или иной прямой, такие прямые называются асимптотами.

Существует 3-и вида асимптот: вертикальные, горизонтальные и наклонные

Опр.

Прямая х=х₀ называется вертикальной асимптотой графика функции y=f(x), если хотя бы одно из предельных значений lim_х→х0+ f(x) lim_х→х0- f(x), равно +∞ или -∞.

Опр.

Прямая у=А называется горизонтальной асимптотой графика функции y=f(x), при х→+∞ или х→-∞, если lim_х→+∞ f(x) или lim_х→-∞ f(x) равняется А.

Опр.

Прямая у=kx+b (k неравно 0) называется наклонной асимптотой графика функции y=f(x), при х= +∞(-∞), если функцию f(x) можно представить в виде f=kx+в+α(x), α(x) →0, при х→+∞(х→-∞).