Дифференциальные теоремы о среднем.

Дифференциальные теоремы о среднем.

Если для всех точек x принадлежащих X выполняется неравенство f(x)<=f(x₀) или f(x)=>f(x₀), то говорят что функция f принимает в точке x₀ наибольшее (наименьшее) значение на множестве X.

Теорема Ферма. Если функция определена в некоторой окрестности точки, принимает в этой точке наибольшее (наименьшее) значение и имеет конечную или определённого знака бесконечную производную, то эта производная равна 0.

Теорема Ролля, Лагранджа и Коши о средних значениях.

Теорема Ролля. Если функция f:

1) непрерывна на (a,b);

2) имеет в каждой точке интервала [a,b] конечного или определённого знака бесконечную производную;

3) принимает равные значения на концах (a,b) f(a)=f(b), то существует по крайней мере одна точка S принадлежащая [a,b] такая что f’(S)=0.

Теорема Лагранджа. Если функция f:

1) непрерывна на (a,b);

2) имеет в каждой точке интервала [a,b] конечного или определённого знака бесконечную производную;

3) то существует такая точка S принадлежащая [a,b] такая что f(b)-f(a)= f’(S)*(b-a) – формула приращений Лагранджа.

Следствие 1: Если функция непрерывна и имеет производную равную 0 во всех точках некоторого промежутка, то она на ней постоянна.

Следствие 2: Если функция непрерывна в некоторой окрестности точки и дифференцируема в проколотой окрестности этой же точки и существует конечный или бесконечный предел.

Теорема Коши. Если функция f и g:

1) непрерывна на (a,b);

2) дифференцируема в каждой точке интервала [a,b];

3) g’(x)<>0 для любого х принадлежащего (a,b), то существует такая точка S принадлежащая [a,b] такая, что (f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f’(S)/g’(S).

Раскрытие неопределённости по правилу Лопиталя.

1. Неопределённость вида 0/0:

1) если функции f и g определы в окрестности x₀, f(x₀)=g(x₀)=0 существуют конечные производные f’(x₀)<>0 и g’(x₀)<>0, то существует lim при x→x₀ f(x)/g(x)= f’(x₀)/g’(x₀);

2) если:

а) функции f и g дифференцируемы на (a,b);

b) g’(x)<>0 для любого х принадлежащего (a,b);

с) lim при х→a f(x)=lim при х→a g(x)=0;

d) существует конечный или бесконечный предел lim при x→x₀ (x₀)/g’(x₀), то существует предел lim при x→x₀ f(x)/g(x), причём эти пределы равны.

2. Неопределённость вида ∞/∞:

а) функции f и g дифференцируемы на (a,b);

b) g’(x)<>0 для любого х принадлежащего (a,b);

с) lim при х→a f(x)=lim при х→a g(x)=∞;

d) существует конечный или бесконечный предел lim при x→x₀ (x₀)/g’(x₀), то существует предел lim при x→x₀ f(x)/g(x), причём эти пределы равны.

 

Признак монотонности функции.

Теорема. Если функция f(x) дифференцируема на (a,b) и f’(x)=>0 (f’(x)<=0) на (a,b), то функция не возрастает (не убывает) на (a,b).

Замечание. f’(x)>0 (f’(x)<0) на (a,b), то функция возрастает (убывает) на (a,b).

 

Отыскание точек локального экстремума.

Точка x₀ называется точкой локального максимума (минимума) функции f(x), если для всех х из окрестности ∂ точки x₀ выполняется неравенство f(x)<f(x₀) (f(x)>f(x₀)) при x<>x₀.

Теорема (Необходимое условие локального экстремума). Если функция f(x) имеет в точке x₀ локальный экстремум и дифференцируема в этой точке то f’(x₀)=0.

Теорема (Достаточное условие локального экстремума). Если функция f(x) при переходе через точку x₀ меняет свой знак с – на + то точка x₀ – локальный минимум, а если с + на – то точка x₀ – локальный максимум.

 

Направление выпуклости и точки перегиба графика.

Будем говорить что график функции y=f(x) имеет на (a,b) выпуклость направленную вниз (вверх), если он расположен, не ниже (не выше) любой касательной к графику функции на (a,b).

Теорема. Если функция y=f(x) имеет на (a,b) вторую производную и f’(x)=>0 (f(x)<=0), то во всех точках (a,b) график функции y=f(x) имеет выпуклость направленную вниз (вверх).

Точка M (x₀,f(x₀)) называется точкой перегиба графика функции y=f(x) если в точке M график имеет касательную и существует такая окрестность в точке x₀ в пределах которой график функции y=f(x) слева и справа от точки x₀ имеет разное направление выпуклости.

Теорема (Необходимое условие точки перегиба). Пусть график функции y=f(x) имеет перегиб в точке M (x₀,f(x₀)) и пусть функция y=f(x) имеет в точке x₀ непрерывную вторую производную f’’(x) в точке x₀ обращается в 0.

Теорема (Достаточное условие точки перегиба). Пусть функция y=f(x) имеет вторую производную в некоторой окрестности точки x₀, тогда если в пределах указанной окрестности f’’(x) имеет разные знаки слева и справа точки x₀, то график y=f(x) имеет перегиб в точке M (x₀,f(x₀)).

 

Асимптоты графика функций.

При исследовании поведения функции на бесконечности т.е. при х→+∞ и х→-∞ или в близи точек разрыва второго рода часто оказывается, что график функции сколь угодно близко приближается к той или иной прямой, такие прямые называются асимптотами.

Существует 3-и вида асимптот: вертикальные, горизонтальные и наклонные

Опр.

Прямая х=х₀ называется вертикальной асимптотой графика функции y=f(x), если хотя бы одно из предельных значений lim_х→х0+ f(x) lim_х→х0- f(x), равно +∞ или -∞.

Опр.

Прямая у=А называется горизонтальной асимптотой графика функции y=f(x), при х→+∞ или х→-∞, если lim_х→+∞ f(x) или lim_х→-∞ f(x) равняется А.

Опр.

Прямая у=kx+b (k неравно 0) называется наклонной асимптотой графика функции y=f(x), при х= +∞(-∞), если функцию f(x) можно представить в виде f=kx+в+α(x), α(x) →0, при х→+∞(х→-∞).

 

Формула Тейлора.

Теорема.

Пусть функция f(x) имеет в точке А и некоторой её окрестности производные порядка n+1, пусть х - некоторое значение аргумента из указанной окрестности х не равно А, тогда между точками х и А найдётся точка δ, такая, что справедлива следующая формула:

Формула R_n+1(x) =  Называется формулой Тейлора, а выражение R_n+1(x) – остаточным членом в форме Лагранжа. Его можно переписать в другом виде т. к. точка δ принадлежащая (а,х), по найдётся такое число θ (тетта), 0< θ<1, что δ= а+ θ (х-а), и остаточный член примет вид: R_n+1(x) =

Формула Маклорена.

Формулой Маклорена называют формулу Тейлора (1), при а=0

; Остаточный член имеет вид:

1. В форме Логранжа.

2. В форме Пиано.

С помощью формулы Маклорена функцию можно с определённой степенью точности заменять многочленами, являющимися наиболее простыми элементарными функциями.

 

Неопределённый интеграл.

Если F(x) первообразная для функции f(x) на некотором промежутке Х, то множество функций F(x)+с, где с – произвольная постоянная, называется неопределённым интегралом от функции f(x) на этом промежутке и обозначается ∫f(x)dx=F(x)+c, где f(x) – под интегральная функция, f(x)dx – под интегральное выражение, х – переменная интегрирования.

Таблица основных интегралов.

1) ∫х^аdx=(x^a+1/a+1)+c;

2) ∫dx/x=ln(x)+c;

3) ∫dx/1+x²=arctg(x)+c;

4) ∫dx/√(1+x²)=arsin(x)+c;

5) ∫adx=a^x/ln(a)+c;

6) ∫e^xdx=e^x+c;

7) ∫sin(x)dx=-cos(x)+c;

8) ∫cos(х)dx=sin(x)+c;

9) ∫dx/cos(х)=tg(x)+c;

10) ∫dx/sin(x)=-ctg(x)+c;

11) ∫dx/(х²-a²)=1/2a*ln((x-a)/(x+a))+c;

12) ∫dx/√(х²-a²)=ln(x+√(x²+a))+c;

13) ∫dx/(х²+a²)=1/a*arctg(x/a)+c;

14) ∫dx/√(х²-a²)=arsin(x/a)+c;

 

Суммы Дарбу.

Пусть функция f(x) ограничена на отрезке. Разобьем ее на отрезки. Через M и m означим точную нижнюю грань и точную верхнюю грань. Суммы Mi∆xi и mi∆xi. Эти суммы называются соответственно нижней и верхней суммами. Сумма Дарбу имеет один геометрически смысл. Рассмотрим неотрицательную непрерывную функцию на отрезке и криволинейную трапецию, т е график функции ограниченными прямыми с координатами концов отрезка.

Формула Ньютона Лейбница.

Вычислять определенный интеграл как предел интегральной суммы очень трудно. Поэтому существует более удобный способ. Установлен, что функция непрерывна на отрезке интегрирования. Получаем формулу: Определенный интеграл равен разности интеграла от верхней грани и интеграла от нижней грани.

Замечание: Формула Ньютона Лейбница справедлива и для некоторых непрерывных функции.

Длина дуги кривой.

Пусть кривая задана уравнением y=f(x) и функция непрерывна на отрезке дифференцирования. Разобьем кривую на отрезки. Соединив соседние точки хордами получим ломанную длиной Р. Получаем формулу длины ломаной L=∫√1+f’f’dx

Ряд Маклорена.

f(x) = f(0)+ (f’(0)/1’)x + (f’’(0)/2’)x² +(f’’’(0)/3’)x³ + (fⁿ(0)/n’)xⁿ

Данный ряд называется рядом Маклорена.

Следует отметить, что не все функции могут быть разложены в ряд маклорена, может оказаться, что ряд Маклорена, составленный формально для Функции f(x) является расходящимся либо сходящимся. Так же как и для числовых рядов сумму f(x) ряда Маклорена можно представить в виде: f(x)=S_n(x)+r_n(x), где S_n n-ная частичная сумма рядов r_n(x), n-ный остаток ряда, тогда на основании свойства сходящихся элементов можно сформулировать теорему:

Для того, что бы ряд Маклорена сходился к функции f(x) необходимо и достаточно что бы при n→∞ остатор ряда →0

lim_n→∞ r_n(x)=0 для всех значений х из интервала сходимости ряда.

Замечание.

Ряд Маклорена является частным случаем ряда Тейлора.

 

Функции нескольких переменных. (Основные понятия).

Опр.

Пусть имеется n-переменных величин, и (х₁,х₂,…х_n) из некоторого множества Х соответствует одно вполне определенное значение переменной величины z, тогда говорят, что задана функция нескольких переменных z=f(x₁,x₂,…x_n) называется функцией нескольких переменных, а переменные x₁,x₂,…x_n – независимыми переменными или аргументами z- зависимая переменная. Множество Х наз-ся областью определения функции.

Дифференциальные теоремы о среднем.

Если для всех точек x принадлежащих X выполняется неравенство f(x)<=f(x₀) или f(x)=>f(x₀), то говорят что функция f принимает в точке x₀ наибольшее (наименьшее) значение на множестве X.

Теорема Ферма. Если функция определена в некоторой окрестности точки, принимает в этой точке наибольшее (наименьшее) значение и имеет конечную или определённого знака бесконечную производную, то эта производная равна 0.