Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Топ:
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов...
Проблема типологии научных революций: Глобальные научные революции и типы научной рациональности...
Основы обеспечения единства измерений: Обеспечение единства измерений - деятельность метрологических служб, направленная на достижение...
Интересное:
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Дисциплины:
2022-10-29 | 33 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Вопросы для изучения. Оценка значимости уравнения регрессии. Коэффициент ранговой корреляции Спирмена. Частная корреляция. Функции и коэффициенты эластичности.
Определения, формулы, справки
Оценить значимость регрессии - значит подтвердить или опровергнуть суждение о том, что, что наша модель соответствует наблюденным данным, а набор переменных достаточен.
А) Оценка значимости регрессии по критерию Фишера-Снедекора. Используем формулу:
Q = QR + Qe, | (5.1) |
где: | Q = å (yi - )2 | - общая сумма квадратов отклонений yi от ; |
QR = å ( - )2 | - сумма квадратов отклонений от , обусловленная регрессией | |
Qe = å (yi - )2 | - остаточная сумма квадратов ошибок - отклонений yi от ; обусловлена влиянием неучтенных факторов. |
Уравнение регрессии значимо на уровне вероятности a (a - вероятность ошибки 1-го рода: отвергнуть Н0, хотя она и верна), если выполняется неравенство:
, | (5.2) |
где Fa,k1,k2 - табличное (критическое) значение F-критерия Фишера-Снедекора для уровня значимости a и степеней свободы k1 = m-1, k2 = n-m.
Статистика F показывает, во сколько раз объясненная регрессией дисперсия больше остаточной (необъясненной) дисперсии s2. Чем больше это отношение, тем более значима регрессия.
Для парной регрессии m=2 и критерий имеет вид:
уравнение значимо, если . | (5.3) |
Б) Оценка значимости парной регрессии по критерию Стьюдента. Значимость парной регрессии можно равносильно оценить по b1. Соответствующая нулевая гипотеза Но: b1 незначимо отличается от 0. Если она верна, то прямая регрессии параллельна оси ОХ: регрессия имеет вид =b0, фактор Х ничего не объясняет. Обратная гипотеза Н1: b1 значимо отличается от 0; если это так, то уравнение регрессии значимо.
|
Критерий на основе статистики Стьюдента и гипотезы Н1:
Но: b1=0 отвергается, если t = ç ç> t1-a,n-2. | (5.4) |
В) Оценка значимости регрессии по коэффициенту детерминации R2:
R2 = QR/Q = 1 - Qe/Q. | (5.5) |
Известно, что 0£QR£Q. Отсюда диапазон изменения коэффициента детерминации: 0 £ R2 £ 1. R2 показывает долю вариации регрессионной переменной по отношению к общей вариации объясняемой переменной. Чем ближе R2 к 1, тем регрессионная модель более значима. Недостаток R2 – он растёт с ростом числа переменных р. Поэтому применяется скорректированный коэффициент детерминации :
= . | (5.6) |
где р – число объясняющих переменных, с его ростом убывает.
Г) Коэффициент ранговой корреляции Спирмена. Оценивает связь между атрибутивными переменными: качество жилищных условий, уровень образования, тестовые баллы, экзаменационные оценки. Для оценки объекты упорядочивают (ранжируют) по степени выраженности признаков переменных. Коэффициент ранговой корреляции Спирмена:
=1- 6 /(n3-n) | (5.7) | ||
где | ri и si - | ранги i-го объекта по переменным Х и Y, | |
n - | число пар наблюдений. | ||
Если невозможно найти существенные различия между объектами, то им приписывают одинаковые средние ранги.
Д) Частные коэффициенты корреляцииоценивают связь между двумя переменными при исключении влияния остальных р-2 переменных:
ri-j,1,2,...,p = ,i j, | (5.8) |
где qii иqjj - алгебраические дополнения элементов rii и rjj матрицы коэффициентов корреляции.
Частный коэффициент корреляции принимает значения от -1 до +1. Для случая р=3 (матрицы симметричные):
. | (5.9) |
Смысл частного коэффициента. Пусть имеется регрессия х1=bо+b1х2+b2х3+e. Оценим корреляцию между Х1 и Х2 при исключении влияния Х3. Найдем два уравнения регрессии: =bо+b1х3и = + х3. Коэффициент корреляции между ошибками и отражает тесноту частной корреляции между факторами Х1 и Х2.
Е) Функции эластичности означает: на сколько процентов изменился при изменении переменной хi ровно на 1%. Частная функция эластичности Еxi() множественной регрессии =f(x1,..., xр):
|
Еxi() = | (5.10) |
Функция эластичности для парной регрессииy =bo + b1x+ e (см (1.2)):
E= b1x/(bo +b1x) | (5.11) |
5.2 Работа с тестами
1 Значение «m» в критерии Фишера-Снедекора для регрессии с р=2:
А 1, Б 2, В 3,Г 4
2 В двух случаях коэффициент детерминации тем больше, чем
А больше QR
Б больше Qe
В меньше Q
Г большеå (yi - )2
3 Критерий Стьюдента применим только для парной регрессии, поскольку:
А значимость b1 определяет значимость всей регрессии
Б коэффициент b1 стоит первым по порядку в регрессии
В коэффициент b1 имеет наибольшее значение в регрессии
Г коэффициенты b2, b3.. не влияют на значимость регрессии
4 Доля вариации переменной по отношению к общей вариации Y есть:
А статистика Фишера F
Б статистика Стьюдента t
В дисперсия зависимой переменной Y
Г коэффициент детерминации R2
5 Значение переменных заменяют их рангами, поскольку:
А переменные являются количественными
Б переменные являются атрибутивными (качественными)
В сравнение рангов предпочтительнее сравнения количественных значений
Г зачастую точность измерения переменныхнедостаточна
6 Уравнение асимптоты для функции эластичности E= b1x/(bo +b1x)
А Е=bo; Б Е=b1; В Е=1; Г Е=2
7E= b1x/(bo +b1x)– это функция эластичности для парной регрессии вида:
А квадратичная
Б гипербола
В линейная
Г парабола
5.3 Решение задач и контрольные вопросы
Задача1. Проверить уравнение регрессии на значимость по критерию Фишера-Снедекора (5.2). Исходные данные: QR=17, Qe=6, m=3, n=10, α=0,05, k1=m-1, k2=n-m.
Задача 2. Проверить парное уравнение регрессии на значимость по критериюСтьюдента (5.4). Исходные данные: b1=2,50, s=1,5, X=4, 6, 7, 2; α=0,05.
Задача 3. Построить график зависимости скорректированного коэффициента детерминации = от числа переменных в регрессии при n=7, R2 =0,85 и р=1, 2, 3, 4. Сделать вывод.
Задача 4. Кадровая служба изучает связь между эффективностью работника (шкала от 1 до 5) и образованием. Составлена таблица, проставлены ранги (выделены жирно):
ФИО | Образование | Эффективность | Разность рангов | Квадрат разности | ||
Признак | Ранг | Признак | Ранг | |||
А | Магистр | (1+2)/2=1.5 | 5 | 1 | -0.5 | 0.25 |
Б | Спец-ст | (5+6)/2=5.5 | 2 | 5 | -0.5 | 0.25 |
В | Спец-ст | 3 | 4 | 2 | -1 | 1 |
Г | Магистр | (1+2)/2=1.5 | 3 | (3+4)/2=3.5 | 2 | 4 |
Д | Спец-ст | (5+6)/2=5.5 | 1 | 6 | 1.5 | 2.25 |
Е | Бакалавр | 4 | 3 | (3+4)/2=3.5 | -0.5 | 0.25 |
|
1).Объяснить содержание таблицы, 2) Вычислить коэффициент ранговой корреляции Спирмена, 3) Сделать вывод.
Задача 5. Записать выражение (5.8) для случая трех факторных переменных (р=3) и частного коэффициента корреляции r1-2,3 и вычислить его значение на основе корреляционной матрицы (5.9). Выполнить анализ решения задачи:
Решение. Построим алгебраические дополнения на основе матрицы (5.9), а затем и само это выражение (i=1, j=2, k=3):
q11=+(1- )=0,75 | q22=+(1- )=0,64 | q12= -(r12- r13 r23)=-0,40
| |||
. | (5.12) | ||||
Ответ: частный коэффициент корреляция между х1 и х2 при исключении влияния х3: r1-2,3=0,58, т.е. достаточно существенен.
Задача 6. Для условий задачи 5 и значений: r12=0,6; r13= r23=0,8 вычислить частный коэффициент корреляции r1-2,3.
Ответ: r1-2,.3=-0,11.
Задача 7. Дано: линейное уравнение регрессии =5+6x1-2x2, выборочные средние: =10, =20, =25. Найти частную функцию эластичности по переменной х2. Выполнить анализ алгоритма решения задачи:
1) По формуле (5.10) искомая функция: Еx2() = (¶ /¶x2)(x2/ )= -2x2/(5+6x1--2x2).
2) Положим =10 и получим частную функцию эластичности Е(x2)= -2x2/(65-2x2).
3) Для =20 получим средний частный коэффициент эластичности по x2: = = -1,60.
Вывод: в окрестности выборочных средних увеличение x2 на 1% приводит к уменьшению на 1,60%.
Задача 8. Дано парное уравнение регрессии со степенной функцией: =5×х1/2. Найти функцию и средний коэффициент эластичности. Выполнить анализ решения задачи.
Решение. На основе (5.10):
Еx()= = = 0,5.
Ответ: функция эластичности для степенной функции есть константа.
Контрольные вопросы:
1) Как оценивается значимость регрессии по критерию Фишера-Снедекора
2) То же - по критерию Стьюдента
3) То же - по коэффициенту детерминации
4) Чем скорректированный коэффициент детерминации лучше, чем простой
5) Почему экономистов привлекает коэффициент эластичности
5.4 Решение сквозной задачи №1: Построение и исследование модели магазина - линейной парной регрессии (п.п. 12-17)
12) Найдём 95%-й доверительный интервал для среднего прогнозного значения объема продаж, т.е для Мх=11(Y). Ранее мы нашли точечную оценкудля МО Мх=11(Y), она равна 17,37.
|
Рассчитаем дисперсию и СКО ошибок ei(см. таблицу3.5 графы 1, 6, 8):
Искомая дисперсия и СКО СВ х=11:
Для расчёта интервала используем СВ t, , которая имеет закон распределена Стьюдента. Соответствующее число степеней свободы распределения k = n–2 = 7–2=5. По таблице В.1 (см приложение В) находим критическое значение статистики Стьюдента: t0,95;5=2,57. Искомый 95%-й (α=5%) доверительный интервал для среднего прогнозного значения объема продаж магазина "Рыба-8" в общем виде:
х-D£М(Y)х£ х+D,
где D= =2,57×1,48=3,80 (при х=11).
Нижнее значение интервала: D= 17,37-3,80=13,57.
Верхнее значение интервала: D= 17,37+3,80=21,17.
Окончательно, интервал имеет вид:13,57£М(Y)х=11 £ 21,17.
Вывод: прогнозный доверительный интервал велик (21.17-13.57=7.60), поэтому и риски открытия нового магазина велики.
13) Найдём с доверительной вероятностью 0,95 (α=0,05) интервальные оценки для неизвестного нам коэффициента регрессии b1. Формула для расчета интервала:b1-D£b1£b1+D,
где
Нижнее значение интервала: 1,54-0,48=1,06.
Верхнее значение интервала: 1,54+0,48=2,02.
Окончательно, интервал имеет вид:1,06 £b1£ 2,02.
14) Качество уравнения можно определить по остаточной дисперсии (дисперсии остатков или - ошибок). Для этого рассчитаем с доверительной вероятностью 0,95 её интервальные оценки. Найдем по таблице Г.1 (см приложение Г) критические значения статистик хи-квадрат:
Формула для доверительного интервала и расчёт по ней:
15) Оценим с доверительной вероятностью 0,95 значимость уравнения регрессии по критерию Фишера. Для этого вычислим три суммы квадратов и значение СВ F:
Общая сумма: | Q=å(yi- )2=13,77+7,35+2,93+0,51+0,51+1,67+68,73= 95,47 |
Регрессионная сумма: | QR=å( i- )2=13,99+13,99+4,84+0,44+0,78+8,56+49,56= =89,44 |
Остаточная сумма | Qe=å( i-у)2=6,67 (см. таблицу 2.2). |
Значение статистики Фишера: |
Уравнение регрессии значимо, если СВ F>Fa,k1,k2, где степени свободы k1=m-1=2-1=1, k2=n-m=7-2=5. По таблице Д.1 (см приложение Д) находим критическое значение статистики F0,05;1;5=6,61. Так как 67,63> 6,61, то делаем вывод: уравнение значимо, коэффициент регрессии b1=1,54 значимо отличается от нуля (отвергаем нулевую гипотезу).
16) Оценим на уровне a=0,05 значимость уравнения регрессии по критерию Стьюдента: уравнение регрессии значимо, еслиt>tкрит. Значение статистики Стьюдента в нашем случае:
По таблице В.1 находим tкрит.=t0,95;7-2=5=2,57. Так как 8,22 > 2,57, то нулевую гипотезу Но(Но : β1=0) отвергаем и принимаем противоположную гипотезу Н1: уравнение значимо.
17) Последнее исследование нашего уравнения. Оно также связано с оценкой его значимости –через коэффициент детерминации R2(детерминировать – делать предопределённым, снижать неопределённость). Используем формулу (см п.15): R2= QR/Q = 89,44/ 95,47 = 0,94. Это очень высокое значение, поскольку 0 R2 1. Смысл коэффициента детерминации: R2 показывает, какая доля вариации зависимой переменной Yобусловлена вариацией фактора X. Ответ: эта доля составляет 94%.
|
(Конец решения сквозной задачи №1).
|
|
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!