Тема №1 -окончание. Введение в эконометрику и её и математические основы

Вопросы для изучения. Этапы и проблемы эконометрического моделирования.Функции распределения случайных величин. Точечные и интервальные оценки параметров. Проверка статистических гипотез. Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости.

    3 .1 Определения, формулы, справки

    А) Этапы эконометрического моделирования:

Таблица 3.1 – Этапы эконометрического моделирования

Этап	Результаты этапа
1 Постановочный	Сформированные цели исследования, наборы переменных Х и Y
2 Априорный	Объяснённая сущность объекта, формализованная априорная информация
3 Моделирование	Сформулированная в качестве модели наилучшая –компромиссная - функция Y=f(X)
4 Информационный	Собрана статистическая информация о переменных Х и Y
5 Идентификационный	Определены значения параметров модели: b0, b1,…, bp
6 Верификационный	Определены достоверность модели, её соответствие цели исследования

 

    Б) Законы распределения, которые использованы в дисциплине

Таблица 3.2 – Законы распределения и СВ, их характеристика

Закон, СВ	Формульное выражение	Параметры
равномерный	j(х)=	a, b. Примечание: С=1/(b-a)
нормальный	jN(х) =	а,
c2 (хи-квадрат)	СВ	СВ Zi распределены по стандартному НЗР N(0, 1)
Стьюдента (t-распределение)	СВ	. Z - СВ с НЗР N(0, 1)
Фишера-Снедекора (F-распределение)	СВ	k1 иk2 - степени свободы

 

В) точечные и интервальные оценки. Точечной оценкой параметра Q называют всякую функцию от выборки СВ Х длиной n:

· Оценка _n несмещенная, если её МО равно самому параметру:

М( n) = Q.

(3.1)

· Оценка _n состоятельная, если она сходится по вероятности к параметру Q:

lim P(ê - Qê£e) = 1 при n®¥.

(3.2)

· Оценка _n эффективная, если она несмещенная и имеет наименьшую дисперсию. Этот критерий оценивания – решающий.

Интервальной оценкой параметра Q называется доверительный интервал (, ), который с заданной доверительной вероятностью g накрывает неизвестное значение параметра Q. Обычно g=0.95.

Г) Проверка статистических гипотез. Как правило, гипотезу сводят к проверке равенства параметра или выражения нулю – нулевая гипотеза Н₀, её отрицание – конкурирующая гипотеза Н₁.

Таблица 3.3 - Четыре исхода для нулевой гипотезы Н₀

Гипотеза Н0истинна?	Наше решение: Н0 принять	Наше решение: Н0 отвергнуть
да	Правильное решение!	Ошибка 1-го рода, её вероятность a - уровень значимости критерия
нет	Ошибка 2-го рода, b - вероятность ошибки	Правильное решение! Вероятность его принятия (1-b) есть мощностью критерия

        

Д) Три типа зависимостей между переменными

Функциональная: здесь каждому значению переменной Х соответствует определённое одно или несколько значений другой переменной Y.

Статистическая: здесь каждому значению переменной X(случайной или неслучайной) соответствует случайное значение другой переменной Y– одно или несколько.

Регрессионная (синоним – корреляционная): здесь каждому значению переменной X(случайной или неслучайной) соответствует определённое значение другой переменной«a», которое вычисляется из выражения: а=МО(Х).

 

    3.2 Работа с тестами

1 Два результата 1-го этапа моделирования - постановочного:

А выделение объясняемой и объясняющих переменных

Б наилучшая функция зависимости Y от факторов X

В формулирование цели и задач исследования

Г оценки неизвестных параметров модели

 

2 Основной результат 6-го этапа моделирования – оценки качества модели:

А оценка значимости уравнения регрессии

Б оценки неизвестных параметров модели

В аппроксимация математической функцией выявленных связей

Г интерпретация результатов моделирования

 

3 Две основные проблемы эконометрического моделирования:

А сохранение баланса модели: рентабельность – статистическая значимость

Б значительные затраты труда на выполнение расчётов

В высокая математическая сложность методов эконометрики

Г выборки - короткие и неоднородные

 

4 Плотность распределения равномерного ЗР СВ Х имеет форму:

А треугольника

Б колокола

В прямоугольника

Г прямоугольной трапеции

 

5 Плотность распределения нормального ЗР СВ Х имеет форму:

А треугольника

Б колокола

В прямоугольника

Г прямоугольной трапеции

 

 

6 Площадь между отрезком аb на оси Х и плотностью распределения равна

А вероятности попадания СВ Х на этот отрезок

Б вероятности непопадания СВ Х на этот отрезок

В вероятности попадания СВ Х на интервал (- , а)

Г вероятности попадания СВ Х на интервал (- , b)

 

7Одномерный нормальный ЗР СВ Х задаётся параметрами:

А одним: МО(Х)=а

Б двумя: МО(Х)=а и СКО

В двумя: МО(Х)=а и коэффициент корреляции

Г тремя: МО(Х)=а, СКО  и коэффициент корреляции

 

8 Четыре термина-синонима для обозначения разности = -у:

А фактор

Б ошибка

В остаток

Г возмущение

Д отклонение

 

9 Явление гомо- гетероскедастичности учитывается при анализе:

А зависимости ошибки  от фактора Х

Б зависимости Y от фактора Х

В зависимости МО() от фактора Х

Г зависимости МО() от переменной Y

 

10 Доверительный интервал для групповой средней – СВ (х):

А

Б

В

Г

 

3.3 Решение задач и контрольные вопросы

 

Задача 1. Этап 3 – моделирование, см таблицу 3.1. На рисунке 3.1 прямая линия регрессиипересекает ось Y в точке b₀ 0, что противоречит смыслу: при нулевой площади и выручка должны быть нулевой: b₀=0. Вопрос: не следует ли с самого начала решать задачу идентификации при условии b₀=0 в виде функции = b₁x. Приведите доводы за и против.

Задача 2. Этап 3 – моделирование. Продолжение задачи 1. Для некоторых вариантов имеем b₀ 0, а для некоторых b₀ 0. Как это можно объяснить. Подсказка: для ответа используйте в том числе идею нелинейной функции.

    Задача 3. Пусть j(х) – плотность равномерного закона распределения СВ Х. Какова вероятность попадания СВ на интервал (а, b)?

    Задача 4. Определить значение максимальной ординаты плотности вероятностей НЗР.

Задача 5. На графике дана линия плотности вероятностей НЗР. Найдите значение параметров закона: МО «а» и СКО .

    Задача 6. Дана генеральная совокупность значений СВ Х: 2, 4, 6, 3, 1. Вычислите генеральную среднюю арифметическую _г, а также все выборочные средние  для n=3, сопоставьте их, сделайте выводы.

    Задача 7. Дана генеральная совокупность значений СВ Х: 2, 4, 6, 3, 1. Вычислите генеральную среднюю арифметическую _г, постройте последовательность выборочных средних арифметическихдля n=2, 3, 4. Сделать выводы, см (3.2).

Задача 8. Дана выборка значений СВ Х - прибыли предприятия за 5 лет (млн.руб): 2, 3, 3, 4, 3. Определить доверительный интервал для генеральной средней прибыли _г. Выполнить анализ алгоритма решения задачи:

1) Введём обозначения:  - выборочная средняя, s – выборочное СКО СВ х,  – СКО выборочной средней,  – доверительная вероятность,

2) Вычисляем как среднее арифметическое, s как выборочное СКО,

3) По таблице находим критическое значение t_ɤ,n-1 – статистики Стьюдента,

4) Вычисляем полуинтервал = t_ɤ,n-1 ,

5) Находим искомые границы доверительного интервала для прибыли _г.

Контрольные вопросы:

1) В чём смысл фразы: наилучшая – компромиссная – функция Y=f(X)

2) Что является результатом 6-го этапа эконометрического моделирования

3) Назовите критерии точечной оценки параметра модели

4) Что есть интервальная оценка параметра модели

5) В чём суть нулевой статистической гипотезы