Предельная вер-ть состояния. С-ма линейн. алгебраическ. ур-ний для предельн. вер-тей.

======================================================

Билет 5.

1.Аксиоматическое опред-е вер-ти. Далее приведем аксиомы, опред-щие в-ть: 1) кажд. соб-ю А поставлено в соотв-е неотриц-ное действит-е число Р(А). Это число наз-ся вер-тью соб-я А. 2) в-ть достоверн. соб-я равна 1. 3) в-ть наступл-я хотя бы одного из попарно несовместных соб-й равна сумме в-тей этих соб-й. Исходя из этих аксиом, св-во в-тей и завис-ти между ними выводят в кач-ве теорем.

2.Процесы гибели и размножения. Ф-ла для нахождения предел. в-тей. В теории массового обслуж-я распространен спец. класс случ. процессов, к-рые наз-ся гибелью и размножением.

 

 

Рассм-м упорядоченное мн-во состояния системы от S₀,S₁....S_k.

Переходы могут осущ-ся из любого сост-я только в сост-е с соседними номерами, т.е. из сост-я S_k-1 в сост-е S_k и т.д Получим λ₀₁ P₀=λ₁₀ P₁

Для состояния S₁: (λ₁₂ +λ₁₀)P₁= λ₀₁ P₀+ λ₂₁ P₂

======================================================

Билет№3

(1) Понятие геом. вер-ти. Относит. частота. Чтобы преодолеть недо-статок классич. опред-я вер-ти, состоящий в том, что оно неприменимо к испыт-ям с бесконечн. числом исходов, вводят геом. вер-ти – вер-ти попадания точки в обл-ть (отрезок, часть пл-ти). Пусть отрезок l сос-тавляет часть отрезка L. На отрезок L наудачу поставлена точка. Это означает выполнение след. предположений: поставленная точка может оказаться в любой точке отрезка L, вер-ть попадания точки на отрезок l пропорциональна длине эт. отрезка и не зависит от его расположения отн-но отрезка L. В этих предположениях вер-ть попадания точки на отрезок l опред-ся рав-вом: Р=Длина l/Длина L. Пусть плоская фигура g составляет часть плоской фигуры G. На фигуру G наудачу брошена точка. Это означает выполнение след. предположений: брошенная точка может оказаться в люб. точке фигуры G, в-ть попад-я брошенной точки на фигуру g пропорц-на площади эт. фигуры и не зависит ни  от ее располож-я отн-но G, ни от формы g. В этих предположениях в-ть попад-я точки в фигуру g опред-ся рав-вом: Р= Площадь g/Площадь G. Относит. частота наряду с в-тью принадлежит к осн. понятиям ТВ Относит. частотой соб-я наз. отн-е числа исп-й, в к-рых соб-е поя-вилось к общему числу факт-ки произведенных исп-ий. Т.о., отн. частота соб-я А опред-ся ф-лой W(A)=m/n, где т— число появлений соб-я, п— общее число исп-й.

Сопоставляя опред-я в-ти и отн-ной частоты, заключаем: опред-е в-ти не требует, чтобы исп-я производились в действит-ти; опред-е же отн. частоты предпола­гает, что исп-я были произведены факт-ки. Др. словами, вер-ть вычисляют до опыта, а отн. частоту—после опыта. Пример 1. По цели произвели 24 выстрела, причем было зареги­стрировано 19 попаданий. Отн.  частота поражения цели W(А) = 19/24. Длительн. наблюд-я показали, что если в одина­к. усл-ях произ-водят опыты, в кажд. из к-рых число исп-й достаточно велико, то отн. частота обнаруживает св-во устойч-ти. Это св-во сост. в том, что в различн. опытах отн. частота изменяется мало (тем меньше, чем больше произведено исп-й), колеблясь около некот. по­стоян. числа. Оказалось, что это постоян. число есть в-ть появл-я соб-я. Т.о., если опытным путем установлена от­н. частота, то полученное число можно принять за приближен. знач-е в-ти. Подробнее и точнее связь между отн. часто­той и в-ью будет изложена далее. Теперь же проиллюстри-руем св-во устойч-ти на примерах. Пример 2. По данным шведской статистики, отн. час­тота рождения девочек за 1935 г. по месяцам хар-ся сле­д. числами (числа расположены в порядке следования меся­цев, начиная с января): 0,486; 0,489; 0,490; 0.471; 0,478; 0,482;0,462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473. Отн. частота колеблется около числа 0,482, ко-рое можно принять за приближ. знач-е в-ти рождения девочек. Заметим, что статистич. данные разл. стран дают при­мерно то же знач-е отн. частоты.

2 Марковские случ. процессы. Размеченный гр-к состояний Процесс работы системы массового обслуж-я СМО представл. собой случ. процесс. Процесс наз. процессом с дискр. составляющими, если переход из сост-я в сост-е происх. мгновенно (скачком). Процесс работы СМО представл. собой случ. процесс с дискр. сост-ниями и непрерывным временем. Это означает, что состо-е СМО меняется скачком в случ. моменты появл-я нов. соб-й. Мат. анализ работы СМО существенно упрощается, если процесс этой работы – Марков-ский. Случ. процесс наз. Марковским без последствия, если для любого момента времени t₀, вероятностные хар-ки процесса зависят только от его сост-я в дан. момент t₀  и не зависят от того, когда и как система пришла в это сост-е. Пример Марк. процесса – система счетчика в такси. Сост-е системы в момент t хар-ется числом пройденный км. Пусть в этот момент S₀ вер-ть, то t>t₀, счетчика покажет: число км. S₁ зависит от S₀, но не зависит от того, в какие моменты времени изменились показания счетчика.

=====================================================

Билет№7

(1) Условн. вер-ть. Теорема умн-я в-тей. Произв- ем двух соб-й А и В наз. соб-е АВ, состоящее в совместном появл-и этих соб-й (А-деталь годная, В-деталь окрашенная, АВ- годная и окрашенная). Произ-ем неск.соб-й наз. соб-е сост-ее в совместном появл-и всех этих соб-й. Во введении случ. соб-е определено как соб-е, к-рое при осущ-нии совок-ти усл- й S может произойти или не произойти. Если при вы­числении в-ти соб-я никаких др. ограничений, кроме усл-й S, не нала-гается, то такую в-ть наз. безусловной; если же налагаются и др. доп. усл-я, то в-ть соб-я наз. условной. Напр, часто вычисляют в-ть соб-я В при доп. усл-и, что произошло со­б-е А. Заметим, что и безусл. в-ть, строго говоря, явл. условной, поскольку предполагается осущ-ние усл-й S. Усл. вер-тью Ра(В) наз. в-ть соб-я В, вычисленную в Предположении, что соб-е А наступило: Ра(в)=Р(АВ)/Р(А) (Р(А)>0). Рассм-м два соб-я А и В, пусть в-ти Р(А) и Ра(В) известны. Как найти совмещение этих соб-й,т.е. в-ть того что появится и соб-е А и соб-е В. Ответ на этот вопр. дает теорема умн-я: вер-ть совместн. появл-я двух соб-й равна произв-ю в-ти одного из них на усл. вер-ть другого, вычис-ленную в предположении, что перв. соб-е уже наступило Р(АВ)= Р(А)*Ра(В). Д-во: по опред-ю усл. вер-ти Ра(В)=Р(АВ)/Р(А), отсюда Р(АВ)=Р(А)*Ра(В). Следствие: вер-ть совместн. появл-я неск. соб-й равна произв-ю в-ти одного из них на усл. в-ти всех остальных, причем вер-ть каждого послед. соб-я вычисляется в предположении, что все предыдущие соб-я уже появились

 

 

Где______________________ вер-ть соб-я ______. Вычисленная в предположении, что соб-я ___________________ наступили. В частности, для трех соб-й___________________________________ (порядок может быть выбран любой, безразлично какое соб-е считать перв., вторым).

======================================================

Билет№9

(1) Ф-ла Бейеса

Пусть соб-е А мож. наступить при усл. появл-я одного из несовм. соб-й В1, В2,… Вn, обр-щих полн. группу. Поскольку заранее не известно, какое из этих соб-й наступит, их наз-т г-зами. Вер-ть появл-я соб-я А опред-ся по ф-ле полн. вер-ти:

 

Допустим, что произведено испыт-е, в рез. к-рого появилось соб-е А. Поставим своей задачей опред-ть, как изменились (в связи с тем, что соб-е А уже наступило) вер-ти гипотез. Др. словами, будем искать усл. вер-ти.

 

 

Найдем сначала усл. вер-ть Ра(В1). По теореме умнож-я имеем

 

 

Отсюда

 

Заменив здесь Р(А) по ф-ле (*), получим

 

Аналогично выводятся ф-лы, опред-щие усл. вер-ти остальных гипотез, т.е. усл. вер-ть любой г-зы ______________ м.б. вычис-лена по ф-ле

 

Полученные ф-лы наз. ф-лами Бейеса (по имени англ. Математика, к-рый их вывел в 1764г). Эти фор-лы позвол. переоценить в-ти гипотез после того, как становится известным рез-т испыт-я, в итоге к-рого появилось соб-е А.

======================================================

Билет 6.

1. Теорема слож-я в-тей.

Суммой А+В двух соб-й А и В наз. соб-е, сост-ее в появлении соб-я А, или соб-я В, или обоих этих соб-й. Суммой неск. соб-й наз. соб-е, к-рое сост. в появл-и хотя бы одного из этих соб-й.

Теорема. В-ть появл-я одного из двух несовм. соб-й, безразл. какого, равна сумме в-тей этих соб-й: Р(А+В)=Р(А)+Р(В)   

Док-во:n-общ. число возм. элем. исходов испыт-я, m₁ –число исходов, благопр. соб-ю А, m₂- число исходов, благопр. соб-ю В. Число элем. исходов, благопр. наступл-ю либо соб-я А, либо соб-я В, равно m₁+m₂. =>, Р(А+В)= (m₁+m₂)/n=m₁/n+m₂/n. Приняв во внимание, что m₁/n=Р(А) и m₂/n = Р(В), окончательно получим Р(А+В)= Р(А)+Р(В).

Следствие. В-ть появл-я одного из неск. попарно несовместных соб-й, безразл.какого, равна сумме в-тей этих соб-й: Р(А₁ + А₂+ …+А_п)=Р(А₁) +Р(А₂)+ …Р(А_п).

Д-во: Рассм-м 3 соб-я: А, В, С. Т.к. рассм-мые соб-я попарно несов-местны, то появл-е одного из трех соб-й, А, В и С, равносильно на-ступл-ю одного из двух соб-й, А+В и С, поэтому в силу указ-ой теоре-мы Р(А+В+С)=Р((А+В)+С)=Р(А+В)+Р(С)=Р(А)+Р(В)+Р(С)     

Полная группа соб-й.

Теорема: Сумма в-тей соб-й А₁, А₂,…,А_п, обр-щих полн.группу равна 1.

Д-во: так как появл-е одного из соб-й полной группы достоверно, в-ть достоверного соб-я равна 1, то Р(А₁+А₂+ …+А_п)=1                                         (1)

Любые два соб-я полн. группы несовместны, поэтому можно применить теорему слож-я: Р(А₁+А₂+…+А_п) =Р(А₁) +Р(А₂)+ …+Р(А_п)                                                                                              (2)

Сравнивая (1) и (2), получим Р(А₁) +Р(А₂)+ …+ Р(А_п)=1        

Противоположные соб-я.

Против-ными наз. два единственно возм. соб-я, обр-щих полн. группу.

Теорема: сумма в-тей противоп. соб-й равна 1: Р(А)+Р(А)=1

Д-во: Противоп. соб-я обр-ют полн. группу, а сумма в-тей соб-й, обр-щих полн. группу равна 1.

2.Система дифференциальных ур-ний Колмогорова для в-тей соб-й. Переходы системы из S_i в S_g происходит под воздействием простейшего потока с интенсивностью λ_ig. Граф состояния системы с проставленными у стрелок интенсивностями будем называть размеченным

 

 

Очевидно, что для любого момента t: Σ³_i=10 P_i(t)=1

Рассм-м с-му в момент t и задав малый промежуток ∆t, найдем в-ть: P₀(t+∆t) того, что с-ма в момент t+∆t будет находиться в сост-и S₀. Это достигается разн. способами:1.с-ма в момент t находилась в сост-и S₀, а за время ∆t не вышло из него. Вывести с-му можно суммарным прос-тейш. потоком с интенсив-ю (λ₀₁ + λ₀₂), т.е. с в-тью (λ₀₁ + λ₀₂)∆t. 2.с-ма в момент t с в-тями P₁ или P₂ находятся в сост-и S₁ и S₂ и за время ∆t перешла в S₀. Потоком λ₁₀ с-ма перех-т в сост-е S₀. Применяя подобные изм-я, получим P₀(t+∆t)=P₁(t) λ₁₀ ∆t +P₂(t) λ₂₀∆t +P₀(t) [1-(λ₀₁ + λ₀₂)∆t]

При переходе можно получить:

1.P’₀= λ₁₀P₁ + λ₂₀P₂ – (λ₀₁ - λ₀₂)P₀

2.P’₁= λ₀₁ P₀ + λ₃₁P₃ – (λ₀₁+λ₁₃)P₁

3.P’₂=λ₀₂P₀ + λ₃₂P₃ – (λ₂₀ + λ₂₃)P₂

4.P’₃ = λ₁₃P₀ + λ₂₃P₂ – (λ₂₀ +λ₂₃)P₃

===================================================

Билет 8.

(1) Ф-ла полн. в.ти

Пусть люб. соб-е А мож. наступить при усл.появл-я одного из несовм. соб-й В1, В2, В3, Вn, к-рые обр-ют полн. группу. Пусть известны в-ти этих соб-й и усл. в-ти ______________________ соб-я А. Как найти в-ть соб-я А? Ответ дает теорема пол. вер-ти: вер-ть соб-я А, к-рое может наступить лишь при усл. появл-я одного из несовм.соб-й В1, В2.. Вn, обр-щих полн. группу, равна сумме произв-й в-тей кажд. из этих соб-й на соотв-щую усл. в-ть соб-я А:

 

 

Д-во: по усл., соб-е А мож. наступить, если наступит одно из несовм. соб-й В1, В2… Вn. Др. словами, появл-е соб-я А означает осущ-ние одного, безразл. какого, из несовм. соб-й В1А, В2А,…. ВnА. Пользуясь для вычисления вер-ти соб-я А теоремой слож-я получим:

 

 

Остается вычислить каждое из слагаемых. По теореме умнож-я вер-тей зависимых соб-й имеем:

 

 

Подставив правые части этих равенств в соотн-ниее (*), получим ф-лу полной вер-ти

 

 

2.Предмет мат.статистики. Генер. совок-ть и выборка.

Перв. задача мат.статистики – указать способы сбора и группировки стат. сведений, полученных в рез. наблюдений или в рез.спец-но по-ставленных экспериментов. Втор. задача – разработать методы анализа стат. данных в завис-ти от целей исслед-я.

Совр. мат.стат. разрабатывает способы опред-я числа необх. испыт-й до начала исследования (планирование эксперимента), в ходе исслед-я (последовательный анализ) и решает многие др. задачи. ЕЕ опред-ют как науку о принятии решений в усл. неопред.сти.

Выборка – это совок-ть случ-но отобранных объектов. Генеральн. со-вок-ть – это совок-ть объектов, из к-рых производится выборка.

Выборка: повторная – при к-рой отобранный объект (перед отбором следующего) возвращается в генерал. сов-ть; бесповторная – про к-рой отобранный объект в генер. сов-ть не возвращается (исп-ется на прак-тике). Выборка должна правильно представлять пропорции генер. сов-ти, т.е. она должна быть репрезентативной (будет такой, если ее осущ-ть случайно: кажд. объект выборки отобран случ-но из генер. сов-ти, если все объекты имеют одинак. в-ть попасть в выборку).

======================================================

Билет 30. 1Предмет мат.статистики. Генер. совок-ть и выборка.

Первая задача мат.статистики – указать способы сбора и группировки стат. сведений, полученных в рез-те наблюдений или в рез-те специально поставленных экспериментов. Вторая задача – разработать методы анализа стат. данных в зависимости от целей исследования.

Современная мат.статистика разрабатывает способы опред-я числа необходимых исп-й до начала исследования (планирование эксперимента), в ходе исследования (последовательный анализ) и решает многие др. задачи. ЕЕ определяют как науку о принятии решений в условиях неопред.сти.

Выборка – это совок-ть случайно отобранных объектов. Генер. совок-ть – это совок-ть объектов, из к-рых производится выборка.

Выборка: повторная – при к-рой отобранный объект (перед отбором следующего) возвращается в генеральную совок-ть; бесповторная – про к-рой отобранный объект в генеральную совок-ть не возвращается (исп-ется на практике). Выборка должна правильно представлять пропорции генер. совок-ти, т.е. она должна быть репрезентативной (будет такой, если ее осуществить случайно: каждый объект выборки отобран случайно из генер. совок-ти, если все объекты имеют одинаковую в-ть попасть в выборку).

==============================================================
Билет№10

(1)Опеределение случ. Вел-ны. Ряд распред-я.

Уже в первой части приводились соб-я, со­стоящие в появлении того или иного числа. Напр,. при бросании игральной кости могли появиться числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Наперед опред-ть число выпавших очков невозможно, поскольку оно зависит от многих случ. причин, к-рые полностью не могут быть учтены. В этом смысле число очков есть вел-на случ.; числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6 есть возм. знач-я этой вел-ны. Случ. наз. вел-ну, к-рая в рез-те исп-я примет одно и только одно возможное значе-/ ние, наперёд не известное и зависящее от случ." причин, к-рые заранее не могут быть учтены. Будем далее обозначать случ. вел-ны пропис­ными буквами X, Y, Z, а их возм. знач-я—соот­ветствующими строчными буквами х, у, 'г. Напр если случ. вел-на Х имеет три возм. знач-я, то они будут обозначены так: х1, х2, х3.

Вернемся к примерам, приведенным выше. В пер­вом из них случ. вел-на Х могла принять одно из следующих возм. знач-й: 0, 1, 2,..., 100. Эти знач-я отделены одно от другого промежутками, в к-рых нет возм. знач-й X. Таким образом, в этом примере случ. вел-на принимает отдельные, изолированные возм. знач-я. Во втором примере случ. вел-на могла принять любое из знач-й промежутка (а, Ь). Здесь нельзя отделить одно возможное знач-е от другого промежутком, не содержащим возм. знач-й случ. вел-ны.Уже из сказанного можно заключить о целесообразно­сти различать случ. вел-ны, принимающие лишь отдельные, изолированные знач-я, и случ. вел-ны, возм. знач-я к-рых сплошь заполняют нек-рый промежуток. Дискр. (прерывной) наз. случ. вел-ну, к-рая принимает отдельные, изолированные возм. знач-я с определенными вероятностями. Число возм. знач-й дискр. случ. вел-ны может быть конечным или бесконечным. Непрер. наз. случ. вел-ну, к-рая может принимать все знач-я из некот. конечного или бесконечного промежутка. Очевидно, число возм. знач-й непрер. случ. вел-ны беско­нечно.На первый взгляд может показаться, что для задания дискр. случ. вел-ны достаточно пере­числить все ее возм. знач-я. В действительности это не так: случ. вел-ны могут иметь одинако­вые перечни возм. знач-й, а в-ти их — различные. Поэтому для задания дискр. случ. вел-ны недостаточно перечислить все возм. ее знач-я, нужно еще указать их в-ти. Законом распред-я дискр. случ. вел-ны наз. соответствие между возм. знач-ями и их вероятностями; его можно задать таблично, аналити­чески (в виде ф-лы) и графически. При табличном задании закона распред-я дискр. случ. вел-ны первая строка таблицы содержит возм. знач-я, а вторая—их в-ти:   

 

 

Приняв во внимание, что в одном исп-и случ. вел-на принимает- одно и только одно возможное знач-е, заключаем, что соб-я _____________________________образуют полную группу; =>, сумма в-тей этих соб-й, т. е. сумма в-тей второй строки таблицы, равна ед-це:

 

Если множество возм. знач-й Х бесконечно (счетно), то ряд ________________сходится и его сумма равна ед-це. Для наглядности закон распред-я дискр. случ. вел-ны можно изобразить и графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки _______,а затем соединяют их отрезками прямых. Полученную фигуру наз. многоугольником распред-я.

=====================================================

(2) Метод наиб. правд-бия Одним из методом точечн. оценки неизвестн. парам-ров распред-я явл. Метод наиб. правд-бия, предложенный Фишером. А) Дискр. случ. Вел-ны. Пусть Х дискр. Случ. Вел-на, к-рая в рез-те n испыт-й приняла знач-я х1, х2, хn. Допустим, что вид закона распред-я вел-ны Х задан, но неизвестен парам-р _____, к-рым опред-ся этот закон. Требуется найти его точечн. оценку. Обозначим вер-ть того, что в рез-те испыт-я вел-на Х примет знач-е х_i   (i=1,2,n), ч-з р(_________)(стр. 229). Ф-цией правд-бия диск. Случ. Вел-ны Х наз. ф-цию аргумента _____

 

Где х1, х2, хn – фиксир. числа. В кач. точечн. оценки парам-ра ____ приним. такое его знач-е ______________________, при к-ром ф-ция правдоп-я достигает максимума. Оценку ____ наз. оценкой наиб. прав-доподобия. Ф-ции L и InL достигают макс-ма при одном и том же знач-и ____, поэтому вместо отыскания макс-ма ф-ции L ищут (что удобнее) мах ф-ции InL. Логарифмич. ф-ей правдоп-я наз. ф-ю InL. Как известно, точку мах ф-ции InL аргумента ____ можно искать, напр. так: 1) найти производную ______

2) приравнять произв-ю нулю и найти критич. точки – корень полу-ченного ур-я (его наз. ур-ем правд-бия). 3) найти вторую произ-ю

если вторая произв-я при __________ отриц-на, то ____ - точка мах. Найденную точку мах ____приним. в кач. оценки наиб. правд-бия парам-ра ___. Метод наиб. правд-бия имеет ряд досто­инств: оцен-ки наиб. правд-бия состоятельны (но они м.б. смещенными), распреде­лены асимптотически нормально (при больших знач-ях л прибли-женно нормальны) и имеют наим. дисперсию по сравн. с др. асимпто-тически нормал. оценками; если для оцениваемого пар-ра 6 сущ-ет эффективн. оценка О*, то ур-е правд-бия имеет единств. реш-е 6*; этот метод наиб. полно исп-ет данные выборки об оцениваемом парам-ре, поэтому он особ-но полезен в случ. малых выборок.

Недостаток метода состоит в том, что он часто требует сложн. вычис-лений. Б) Непрерыв. случ. Вел-ны. Пусть Х непрер. случ. Вел-на, к-рая в рез-те n исп-й приняла знач-я х1, х2, хn. Допустим, что вид плот-ти распред-я f(x) задан, но не известен пар-р _____, к-рым опред-ся эта ф-я. Ф-цией правд-бия непрерыв. Случ. Вел-ны Х наз. ф-ю аргумента:

 

Где х1, х2, хn – фиксир. числа. Оценку наиб. правд-бия неизвест. пар-ра распред-я непрер. случ. Вел-ны ищут так же как и в случ. дискр.вел-ны.

======================================================

(2) Доверитель. интервал для МО при известной дисперсии. (при известн. СКО стр. 214) Пусть количеств. признак Х генеральн. совок-ти распределен нормально, причем СКО ___ этого распред-я известно. Требуется оценить неизвестное МО __ по выборочной ср. ___. По-ставим своей задачей найти доверительные интервалы, покрывающие парам-р ___ с надеж-ть ____. Будем рассм-ть выборочную ср. ____ как случ. вел-ну ____ (___ изменяется от выборки к выборке) и выборочн. знач-я признака х1, х2, хn – как одинаково распред-ные независ. случ. вел-ны Х1, Х2, Хn (эти числа также изм-ся от выборки к выборке). Др. словами, МО каждой из этих вел-н равно ___ и СКО - ____. Примем без док-ва, что если случ. вел-на Х распределена норм-но, то выбо-рочная ср. ____, найденная по независ. наблюдениям, также распр-на норм-но. Парам-ры распред-я ____ таковы:

 

 

Потребуем, чтобы выполнялось соотн-ниее:

 

Где____ заданная надеж-ть. Пользуясь ф-лой

 

Заменив Х на _______ и ______ на __________________, получим

 

 

 Где _____________. Найдя из последнего рав-ва ________________, можем написать

 

 

Приняв во внимание, что вер-ть Р задана и равна ____, окончательно имеем (чтобы получить рабочую ф-лу, выборочную ср. вновь обозначим ч-з ______)

 

 

Смысл полученного соотн-ниея таков: с надеж-тью _____ можно утверждать, что довер. Интервал ___________________________ покрывает неизвестный парам-р ____ точ-ть оценки ____________________. Число t определяется из рав-ва _______________ или _______________; по табл. ф-ции Лапласа находят аргумент t, к-рому соответствует знач-е ф-и Лапласа равное ________.

==================================================

2.Точеч. оценка числ. хар-к. Осн. опред-я. Метод моментов. Точечн. наз. оценку, к-рая опред-ся одним числом. Оценка генер. дисперсии по исправленной выборочной. Пусть из генер. сов-ти в рез. n независ. наблюдений над колич-ным признаком X извлечена повторн. выборка объема n:

знач-я признака                                                                                                             х₁х₂                                   х_к

частоты                                                                                                                          n₁n₂                                   n_к

При этом n₁+n₂+ +n_k=n

Требуется по данным выборки оценить неизвестную генер. дисперсию D_r. Если в кач. оценки генер. дисперсии принять выборочн. дисперсию, то эта оценка будет приводить к систематич. ошибкам, давая занижен. знач-е генер. дисперсии. Объясняется это тем, что, как можно доказать, выборочная дисперсия явл. смещенной оценкой D_r, др. словами, мат.ожидание выборочной дисперсии не равно оцениваемой генер. дисперсии, а равно

M[D_в]=((n-1)/n)D_r

Получим исправл-ю дисперсию, к-рую обычно обозн-ют ч-з s²

см.стр.212

 

Исправл-я дисп-я явл, конечно, несмещенной оценкой генер. дисп-и. Действ-но

 

 

Итак, в кач. оценки генер. дисп-ии принимают исправл. дисперсию

 

 

Для оценки же ср. квадр. отклонения генер. сов-ти исп-ют “исправленное” СкО, к-рое равно квадр. корню из исправл. дисперсии:

 

 

Подчеркнем, что s не явл. несмещен. оценкой; чтобы отразить эт. факт, мы будем писать так: “исправленное” ско.

Метод моментов.

ММ, предложенный Пирсоном осн. на том, что начальн. и центральн. эмперич. моменты явл.состоятельными оценками соотв-но начальн. и центр. теор. мом-тов того же порядка. Достоинство метода – сравнит-ая его простота. ММ точечн. оценки неизвестн.парам-ров заданного распред-я сост. в приравнивании теор. моментов рассм-го распред-я соотв-щим эмпир.моментам того же порядка. А.Оценка одного парам-ра: для оценки одного парам-ра достаточно иметь олно ур-е отн-ьно этого парам-ра. Следуя методу м., приравняем, напр, начальн. теор. момент перв. порядка к нач. эмпир. моменту перв. порядка:

стр.227

                                                                                                                                                                                       (1)

МО М(Х), как видно из соотн-ниея

 

есть ф-я от,поэтому (1) можно рассм-ть как ур-ие с одним неизв                 . Решив это ур-е отн-но праметра       , тем самым найдем его точечную оценку                 ¹, к-рая явл. ф-цией от выборочн. ср., => и от вариант выборки: