Равновесие плоской системы сил

 Моментом силы относительно центра на плоскости называется произведение модуля силы на плечо. Плечо – перпендикуляр, опущенный из центра на линию действия силы.

Момент считается положительным, если сила стремится повернуть тело вокруг выбранного центра против часовой стрелки.

                              ,

                          ,

                          .

 

Если линия действия силы проходит через центр, то момент силы относительно этого центра равен нулю.

Проекцией силы на ось называется скалярная величина, равная взятой с соответствующим знаком длине отрезка, заключенного между проекциями начала и конца вектора силы.

Проекция имеет знак плюс, если перемещение от ее начала к концу, происходит в положительном направлении оси, и знак минус – если в отрицательном.

Проекция силы на ось равна произведению силы на косинус угла между направлением силы и положительным направлением оси.

                   

Распределенными называются силы, действующие в каждой точке отрезка прямой.

Интенсивностью  называется сила, приходящаяся на единицу длины. Интенсивность обозначается буквой q

Равномерно распределенная нагрузка на участке АВ длиной l и интенсивностью q приводится к равнодействующей силе Q, параллельной действующим силам, приложенной в середине отрезка АВ и равной Q = ql.

Пример решения задачи на равновесие плоской системы сил.

 

Стержень АВ, одним концом закреплен шарнирно, другим опирается на гладкую вертикальную стену. На стержень действует сила Р = 6 кН  и пара сил с моментом М = 20 кНм, АС = СВ =2 м.  

Определить реакции опор.

             

  Решение.

Выбираем оси координат: направляем ось х горизонтально вправо, ось у – вертикально вверх.

  Кроме активных сил, на стержень действуют: реакция подшипника, которую раскладываем на две составляющие: Х_А , У_А , и реакция R _B, направленная перпендикулярно опорной плоскости.

Составим уравнения равновесия. Проведем в точке С, где приложена сила Р, прямые, параллельные осям х и у. Проекции силы Р на эти прямые равны соответственно ее проекциям на оси х и у:  

 

    

 

Сумма проекций сил, составляющих пару, на любую ось, равна нулю.

    За центр моментов выбираем точку А, моменты сил Х_А , У_А относительно этой точки равны нулю, сумма моментов сил пары относительно любой точки равна моменту пары. Плечом силы Р является расстояние АС, плечом силы R _B  - перпендикуляр Аа, опущенный из точки А на линию действия этой силы. .

Получаем уравнения равновесия:

 

.

 

Теорема Вариньона. Момент равнодействующей относительно какого-либо центра для плоской системы сил равен алгебраической сумме моментов ее составляющих относительно того же самого центра.

Задача. Определить реакциибалки АВС

Составим уравнения проекций сил на оси координат, учитывая, что проекции сил пары на любую ось равны нулю.

                        (1)

Для ого, чтобы определить момент силы F относительно точки А, разложим ее на составляющие

F_x = F cos30⁰ и   F_y = F sin30⁰  и применим теорему о моменте равнодействующей

                       

Уравнение моментов всех сил относительно точки

 

                           (2)

Уравнения (1) и (2) определяют реакции жесткой заделки в точке А.

Равновесие пространственной системы сил.

Уравнения равновесия пространственной системы сил.

 

 Для равновесия пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы три суммы проекций всех сил на оси координат равнялись нулю и три суммы моментов всех сил относительно каждой координатной оси равнялись нулю, т.е. условия равновесия выражаются шестью уравнениями:

 

                                    

 

      

  Моментом силы относительно оси называется момент проекции силы на плоскость, перпендикулярную этой оси, относительно точки пересечения оси с плоскостью.

 

Момент силы относительно оси имеет знак плюс, если проекция этой силы на перпендикулярную к оси плоскость, стремится повернуть тело вокруг положительного направления оси против часовой стрелки.