Конвективная неустойчивость Рэлея – Бенара

 

Одним из самых замечательных явлений, сопровождающих ламинарно-турбулентный переход, является образование в течении структур, которые принято называть когерентными. Само появление этих структур имеет вполне предсказуемый характер. Более того, сценарии развития неустойчивости определяются начальными и граничными условиями и детерминированы. Очень красивый и поучительный пример гидродинамической неустойчивости был открыт при изучении конвекции. Это первый пример наблюдения когерентных структур в жидкости, появление подобных структур характеризует развитие в ней неустойчи-вости.

Конвекция – это движение неоднородно нагретой жидкости или газа, возникающее в поле тяжести. Конвективная неустойчивость наблюдалась Х. Бенаром в 1900 году и была теоретически объяснена Рэлеем в 1916 году.

Рассмотрим прямоугольную кювету (рис. 19.5), у которой верхняя поверхность имеет постоянную температуру , а нижняя –  (боковые стенки лучше отодвинуть в бесконечность и принять, что их теплопроводность равна теплопроводности жидкости). Вследствие подогрева жидкость у нижней поверхности имеет меньшую плотность, чем у верхней. Из-за наличия силы тяжести в такой системе должно появиться движение, однако, если градиент температуры невелик, то наличие вязкости в среде такому движению препятствует и оно не возникает. Движение жидкости описывается системой безразмерных уравнений

 

 

Рис. 19.5. Типичная конвективная

ячейка

 

, ,

,                 (19.9)

где  – отклонение температуры от равновесного линейного
по  (координата, нормальная к нагретым поверхностям кюветы) распределения температуры, а  – число Рэлея

,

 – коэффициент температуропроводности.

Конвективный поток возникает лишь при достижении некоторого критического значения градиента температуры. При этом течение в кювете «организуется», в жидкости образуется система параллельных горизонтальных валов (рис. 19.6), характерный размер которых порядка расстояния между пластинами . Соседние валы вращаются в противоположные стороны.

 

 

Рис. 19.6. Типичные структуры, образующиеся

в конвективном течении между двумя парал-

лельными плоскостями

 

 

Образованием конвективных валов не исчерпывается перечень возможных стационарных состояний системы. Характер возможных типов неустойчивости определяется характерными параметрами системы, числами Прандтля и Рэлея (в зависимости от их величины и соотношения необходимо оставить те или иные нелинейные члены в уравнениях (19.9)). На последующих нелинейных стадиях развития неустойчивости может, например, реализоваться синусоидальная неустойчивость конвективных валов
(рис. 19.7).

 

 

Рис. 19.7. Вторичная неустойчивость приводит

к пространственному «модулированию» кон-

вективных валов

 

 

В эксперименте Х. Бенара в качестве исследуемой жидкости использовалось китовое масло, а верхняя граница слоя была свободной. В таких условиях развивающаяся первичная неустойчивость характеризовалась неконвективными валами. Взгляду
Х. Бенара на свободной поверхности (на границе раздела масло – воздух) предстала замечательная симметричная картина шестиугольных конвективных ячеек с вертикальными осями. Типичная картина такой неустойчивости представлена на рис. 19.8. В центре ячеек жидкость движется вверх, а вблизи ее краев – вниз. Такая неустойчивость обусловлена температурной зависимостью поверхностного натяжения на границе раздела.

 

Литература

 

 

1. Астарита ДЖ., Марруччи Дж. Основы гидромеханики неньютоновских жидкостей. – М.: Мир, 1978.

2. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. – М.: Наука, 1974.

3. Белоцерковский С.М., Гиневский А.С. Моделирование турбулентных струй и следов на основе метода дискретных вихрей. – М.: Изд. Фирма «Физ.-мат. литература», 1995.

4. Берже. П., Помо И., Видаль К. Порядок их хаоса. – М.: Мир, 1991.

5. Бетчев Р., Криминале В. Вопросы гидродинамической устойчивости. – М.: Мир, 1971.

6. Блакьер О. Анализ нелинейных систем. – М.: Мир, 1969.

7. Биркгоф Д. Динамические системы. – Ижевск: Изд. дом «Удмуртский университет», 1999.

8. Бреховских Л.М., Гончаров В.В. Введение в механику сплошных сред. – М.: Наука, 1982.

9. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости. – М.: Мир, 1973.

10. Вазов В. Асимптотические разложения обыкновенных дифференциальных уравнений. – М.: Мир, 1968.

11. Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости. – М.: Мир, 1967.

12. Веретенцев А.Н., Рудяк В.Я., Яненко Н.Н. Вариационный метод построения дискретных вихревых моделей. Новосибирск, 1982 (Препр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. ИТПМ; № 29-82).

13. Веретенцев А.Н., Рудяк В.Я. Динамика завихренности в двумерных течениях невязкой жидкости. – Новосибирск, 1986 (Препр. / АН СССР. – Сиб. отд-ние. ИТПМ; № 4-86).

14. Веретенцев А.Н., Рудяк В.Я., Яненко Н.Н. О построении дискретных вихревых моделей течений идеальной несжимаемой жидкости // Журн. вычисл. математики и мат. физики. – 1986. – Т. 26, № 1. – С. 103 – 113.

15. Веpетенцев А.H., Куйбин П.А, Меpкулов В.H., Рудяк В.Я. О выводе уpавнений движения дискpетных вихpевых частиц для осесимметpичнх тече-ний // Изв. СО АH СССР. – 1986. – № 10, вып. 2. – С.45 – 50.

16. Веpетенцев А.H., Куйбин П.А, Рудяк В.Я. Моделиpование фоpмиpования вихpя на остpой кpомке полубесконечной пластины // Изв. СО АH СССР. – 1988. – № 7. – B. 2. – С. 21 – 25.

17. Гапонов С.А., Рудяк В.Я. Введение в теорию нелинейных колебаний. – Новосибирск: НГАСУ, 1996.

18. Гинзбург И.П. Трение и теплопередача при движении смеси газов. – Л.: ЛГУ, 1975.

19. Голдстейн Г. Классическая механика. – М.: Гостехиздат, 1957.

20. Данилов Ю.А. Лекции по нелинейной динамике. – М.: ПОСТМАРКЕТ, 2001.

21. Заславский Г.М. Стохастичность динамических систем. – М.: Наука, 1984.

22. Карпман В.И. Нелинейные волны в диспергирующих средах. – М.: Наука, 1973.

23. Козлов В.В. Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике. – Ижевск: Изд-во Удмуртского гос. ун-та, 1995.

24. Козлов В.В. Общая теория вихрей. – Ижевск: Изд-во Удмуртского гос. ун-та, 1998.

25. Кринский В.И., Яхно В.Г. Спиральные волны возбуждения в сердечной мышце // Нелинейные волны. Стохастичность и турбулентность // Мат. V Всесоюз. школы по нелинейным волнам. – Горький: ИПФ РАН. – 1980. – С. 200 – 214.

26. Кутепов А.М., Полянин А.Д., Запрянов З.Д. и др. Химическая гидродинамика. – М.: Бюро Квантум, 1996.

27. Лайтхилл Дж. Волны в жидкостях. – М.: Мир, 1981.

28. Линь Цзя-Цзяо. Теория гидродинамической устойчивости. – М.: Иностр. лит., 1958.

29. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. – М.: Мир, 1984.

30. Лодж А. Эластичные жидкости. – М.: Наука, 1969.

31. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. – М.: Наука, 1987.

32. Малинецкий Г.Г. Хаос. Структуры. Вычислительный эксперимент. – М.: Эдиториал УЗСС, 2000.

33. Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Современные проблемы нелинейной динамики. – М.: Эдиториал УЗСС, 2000.

34. Найфе А. Введение в методы возмущений. – М.: Мир, 1984.

35. Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике. – М.: Мир, 1989.

36. Пуанкаре А. Теория вихрей. – М.: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000.

37. Рудяк В.Я. Статистическая теория диссипативных процессов в газах и жидкостях. – Новосибирск: Наука, 1987.

38. Р удяк В.Я., Цвелодуб О.Ю., Бондарь И.М. Устойчивость движения. – Новосибирск: НГАСУ, 1998. – 32 с.

39. Рудяк В.Я., Харламов Г.В., Белкин А.А. Прямое численное моделирование процессов преноса в гетерогенных средах. I. Коэффициент диффузии броуновской частицы. – Новосибирск, 1998 (Препр. / НГАСУ; № 2 (12)-98).

40. Рудяк В.Я., Белкин А.А. Фазовый переход жидкость – твердое тело в гетерогенной системе твердых сфер // ЖЭТФ. – Т. 116. – № 6(12). – С. 2005-2011.

41. Седов Л.И. Механика сплошной среды. – Т. 1. – М.: Наука, 1970.

42. Серрин Дж. Математические основы классической механики жидкости. – М.: Иностр. лит., 1963.

43. Соу С. Гидродинамика многофазных систем. – М.: Мир, 1971.

44. Стокер Дж. Нелинейные колебания в механических и электрических системах. – М.: Иностр. лит., 1953.

45. Фабер Т.Е. Гидроаэродинамика. – М.: ПОСТМАРКЕТ, 2001.

46. Хаартер Д. Основы гамильтоновой механики. – М.: Наука, 1974. – 223 с.

 

[1] Сильное воображение порождает событие (лат. пословица).

 

[2] Во всех изысканиях разума самое трудное – это начало.

[3] Позднее мы дадим строгое определение интегрируемых и неинтегрируемых систем.

[4] Это, кстати, и есть знаменитая теория Мальтуса. Нетрудно видеть, что население тогда растет экспоненциально быстро.

[5] Именно А. Андронов ввел в обращение термин «автоколебание».

[6] В общем случае и эта сила зависит от скорости, однако скорости относительного движения твердых тел должны быть достаточно высокими. Впервые это выяснилось при изучении силы трения, возникающей на современных скоростных железных дорогах между колесом вагона и рельсом.

[7] Диссипативными называются системы, в которых присутствуют те или иные силы сопротивления, в частности трения.

[8] Полезно отметить, что в обычной диссипативной системе характер движения осциллятора также на достаточно больших временах не зависит от начальных данных. В частности, если внешние силы отсутствуют, то движение любого осциллятора будет затухать.

[9] Строго говоря, и в линейной диссипативной системе возможно установление стационарных колебаний. В самом деле, если, то эффективное сопротивление в системе равно нулю и возникшие в начальный момент собственные колебания будут поддерживаться и дальше.

[10] Число степеней свободы определяется числом независимых параметров, однозначно определяющих положение системы в пространстве.

[11] Для системы взаимодействующих частиц (5.3а) – это -мерное пространство координат и скоростей.

[12] Функции  должны удовлетворять так называемому условию Липшица.

[13] Выдающийся русский математик и механик А.М. Ляпунов
(1857–1918), по сути, явился создателем нового научного направления – теории устойчивости движения. Ему же принадлежат первые основополагающие результаты этой теории.

[14] Установить устойчивость решения часто удается, разлагая возмущенное решение в ряд вблизи невозмущенного и сохраняя в этом разложении один член. Затем необходимо построить уравнение для полученного таким образом возмущенного решения. Поскольку в разложении учтен лишь первый член разложения, сам метод называется изучением устойчивости по первому приближению. А.М. Ляпуновым было сформулировано несколько теорем, дающих критерий устойчивости решений по первому приближению. К сожалению, этот метод не дает исчерпывающего решения задачи. Системы, устойчивые по первому приближению, на самом деле могут оказаться неустойчивыми.

[15] Такой системой является и газ в комнате, и вода в океане, и твердое тело. Системой многих частиц можно моделировать и экономику, и развитие биологических видов и др.

[16] Говоря «упруго», мы хотим сказать, что при взаимодействии частиц отсутствует диссипация. Точнее мы сформулируем это условие в
ч. II. Энергия в такой системе сохраняется.

[17] Это название произошло от английского слова attraction – притяжение или attract – притягивать.

[18] Обратимыми мы называем уравнения, инвариантные относительно инверсии времени, т. е. относительно преобразования  

[19] Обратимость в квантовой механике имеет значительно более сложный характер. Уравнение Шредингера действительно обратимо, однако оно записано относительно волновой функции, квадрат которой определяет плотность вероятности того или иного состояния системы. Таким образом, обратимость в квантовой механике никоим образом не означает наличие обычного механистического детерминизма.

[20] Методы описания необратимых явлений и процессов могут развиваться независимо от того, имеем мы ясный ответ на этот вопрос или нет. На практике именно так и происходило. Термодинамика, обобщая реально наблюдаемые факты, родила закон возрастания энтропии, а в это же время классическая механика в экранированных жилищах ее творцов оттачивала мощь своих методов и рядила ее в новые элегантные одежды вариационных принципов.

[21] Микроскопический уровень описания в свою очередь можно было бы сделать еще более подробным, если молекулы и атомы рассматривать как смесь элементарных частиц. Соответствующие модели весьма продуктивны для описания поведения отдельных атомов и молекул, процессов, происходящих на микромасштабах, меньших или порядка внутриатомных, при очень высоких энергиях частиц. В остальных случаях, как правило, нет необходимости описывать эволюцию системы столь подробно.

[22] В общем случае нет оснований считать молекулы нетождественными.

[23] Это высказывание У. Гамильтона относится к классической механике, но с еще большим основанием его можно отнести к механике Гамильтона.

[24] Каноническими называют преобразования, которые не изменяют вида уравнений Гамильтона (8.4).

[25] Поиск в XIX столетии интегрируемых систем и соответствующих преобразований очень напоминает поиск философского камня. Примерно такими же оказались и результаты этого поиска.

[26] Теорема была сформулирована Ж. Лиувиллем, однако ее полное доказательство было дано В.И. Арнольдом, что позволило исключить некоторые неточности.

[27] Еще тридцать лет назад провести расчет различных режимов полета космического аппарата было значительно дешевле, чем серии необходимых измерений в аэродинамических трубах.

[28] Наночастицами называют обычно твердые частицы с характерными размерами от четырех-пяти ангстрем до нескольких сотен ангстрем. Напомним, что ангстрем – это единица длины, равная 10^{-8 см. Для сравнения отметим, что характерный размер обычных молекул порядка нескольких ангстрем.}

[29] Это предположение существенно упрощает проведение расчетов, хотя не является принципиальным. Более того, метод молекулярной динамики фактически является единственным надежным инструментом, который позволяет исследовать влияние неаддитивных сил на процессы переноса. В защиту использования парных потенциалов можно напомнить, что большинство применяющихся на практике потенциалов являются эффективными и, по крайней мере, частично учитывают эффекты неаддитивности.

[30] Б. Олдер (B. Alder), несмотря на то что является живым классиком, до сих пор достаточно активно работает. Ежегодно за выдающиеся достижения в области вычислительной физики присваивается премия его имени (Alder price). В 2001 году он вручал ее лично на Международной конференции по вычислительной физике в Аахене (Conference on Computational Physics) Курту Биндеру (Германия), известному своими работами в области моделирования методом Монте-Карло различных физический явлений.

[31] Следует заметить, что при использовании периодических граничных условий с выполнением законов сохранения тоже не все в порядке. Выполняются лишь законы сохранения энергии и импульса. Нетрудно видеть, что закон сохранения момента импульса не выполняется.

[32] Для конечной системы многих частиц, движение которых описывается уравнениями Гамильтона (гамильтоново описание возможно в недиссипативных системах, когда силы межчастичного взаимодействия являются функциями только координат частиц), А. Пуанкаре сформулировал так называемую теорему возврата. Согласно этой теореме фазовая траектория за конечное время сколь угодно близко подходит к начальному положению. Именно в этом смысле движение такой системы квазипериодично. Время, за которое система подходит к начальной точке, называют временем возврата Пуанкаре. 

[33] Принцип неопределенности не запрещает динамического описания системы многих частиц, он запрещает сколь угодно малую детализацию эволюционного процесса. Таким образом, он, вообще говоря, запрещает и описание таких процессов на языке дифференциальных уравнений. Природа, по-видимому, не знает бесконечно малых (равно как и бесконечно больших), а поэтому аппарат дифференциального исчисления вряд ли все-таки до конца адекватен, хотя, конечно, мы должны быть ему бесконечно благодарны, поскольку почти все, чем располагаем сегодня, его творение.

[34] Строго говоря, чтобы измерение было достоверным, необходимо провести ряд измерений и усреднить их по получающемуся ансамблю. Невоспроизводимое измерение не является предметом научного изу-чения.

[35] Строгое доказательство соотношения (12.7) можно найти почти в любом руководстве по гидромеханике.

[36] Здесь мы неявно предполагаем, что такая связь возможна. Всегда ли это так, мы обсудим позднее.

[37] В газах коэффициенты переноса являются также и функциями плотности.

[38] Конечно, распространены и задачи со свободной границей, и задачи, в которых на границе данная сплошная среда соприкасается с другой сплошной средой. Эти задачи столь же важны, как и задачи о течении около твердых поверхностей. Достаточно вспомнить, например, об исследовании течений в реках и морях. Для целей настоящей книги, однако, вполне достаточно рассмотреть условия, возникающие именно на твердых поверхностях. Желающие познакомиться и с другими постановками граничных условий могут воспользоваться монографиями по гидродинамике, приведенными в списке литературы.

[39] Идеальным газом обычно также называют газ, для которого уравнение состояния имеет вид, где  – постоянная Больцмана.

[40] Уравнения (13.2) получаются из уравнений (13.10) последовательным использованием сначала уравнения неразрывности, а затем уравнения неразрывности и импульса.

[41] Вообще появление парадокса – всегда тревожный знак, знак, который указывает на то, что с данной моделью не все в порядке.

[42] … Пока у нас нет того, к чему мы стремимся, нам кажется, что эта вещь превосходит все прочее; а получив ее, мы начинаем столь же страстно желать чего-то другого (лат.). 

[43] Газовзвесью называется дисперсная система, несущим компонентом в которой является газ, а дисперсным – твердые частицы.

[44] Здесь мы пренебрегли членом, содержащим давление, так как. Подобную процедуру впервые применил К. Озеен при нахождении поправки к силе сопротивления, действующей на шар, погруженный в жидкость, вычисленной в линейном приближении Г. Стоксом.

[45] Проблем с корреляционными составляющими напряжений при выводе уравнения переноса энергии значительно больше, чем при выводе этих двух уравнений. Поэтому последнее уравнение мы здесь не приводим. При решении практических задач обычно используются именно уравнения (16.5).

[46] Для произвольного тензора второго ранга () имеются три независимых инварианта (за исключением их всевозможных комбинаций):,  .

 

[47] Вообще говоря, при выборе типа временного дифференцирования напряжений по времени могут появиться проблемы. Временную производную следует выбрать так, чтобы получающееся уравнение не зависело бы от выбора системы отсчета.

[48] Можно показать, что коэффициент сдвиговой вязкости связан с давлением и указанным временем релаксации соотношением.

[49] От возможного к реальному (лат.).

[50] Правда, решение (18.2) является неклассическим обобщенным решением этих уравнений.

[51] Этими словами Линь Цзя-Цзяо пятьдесят семь лет тому назад предварил свою знаменитую монографию по теории гидродинамической устойчивости. С тех пор эта теория обрела не только права гражданства, но ее проблемы перестали быть спорными!

[52] Обычно в гидродинамической теории устойчивости рассматривают некоторые внешние возмущения. Это может быть шероховатость на обтекаемом теле, которая генерирует локальное возмущение скорости потока, это может быть иная неоднородность в потоке, например, создаваемая внешним акустическим полем. В гидродинамической теории устойчивости существует целый раздел, в котором изучается восприимчивость течений к различным возмущениям. В этой связи следует иметь в виду, что реальная сплошная среда (газ, жидкость), строго говоря, таковой не является и имеет молекулярную структуру. В молекулярной среде всегда существуют микрофлуктуации, которые могут, по-види-мому, приводить в определенных ситуациях к развитию неустойчивости течений.