История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Топ:
Оценка эффективности инструментов коммуникационной политики: Внешние коммуникации - обмен информацией между организацией и её внешней средой...
Техника безопасности при работе на пароконвектомате: К обслуживанию пароконвектомата допускаются лица, прошедшие технический минимум по эксплуатации оборудования...
История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...
Интересное:
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Дисциплины:
2022-09-15 | 40 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Существование гладких детерминированных решений уравнений гидродинамики, хорошо подтверждаемых как лабораторным, так и натурным экспериментами, свидетельствует о том, что турбулентные режимы течения происходят в результате некоторой трансформации исходных ламинарных течений. Исходной гипотезой при изучении этой трансформации явилось предположение о том, что переход от ламинарного течения к турбулентному происходит в результате развития некоторых возмущений, имеющих место в течениях. В соответствии с этой гипотезой и ставится задача. Итак, рассмотрим некоторое стационарное течение, задаваемое полями скорости, плотности и энергии
(19.1)
и будем считать, что поля (19.1) удовлетворяют уравнениям гидродинамики. Пусть далее на исходное течение наложено некоторое зависящее от времени возмущение
. (19.2)
Рассмотрим теперь задачу Коши для возмущенного движения (19.1), (19.2). Если полученное в результате решение стремится при к стационарному (19.1), то исходное течение является устойчивым, в противном случае – неустойчивым. При этом наличие неустойчивости еще не означает, что результирующее течение окажется турбулентным. На самом деле эволюция течения может оказаться достаточно сложной, исходное ламинарное течение может замениться другим стационарным ламинарным течением. Таких промежуточных ламинарных течений может быть несколько. И только конечным этапом развития неустойчивости будет турбулентное течение.
В случае, если возмущения бесконечно малые (или просто малые), т. е.
, , (19.3)
|
Рис. 19.1. Устойчивое и неустойчивые положения равновесия
тяжелого шарика на «горбатой» горке
Чтобы решить задачу гидродинамической устойчивости, необходимо еще вывести уравнения для возмущений (19.2). Если возмущения достаточно большие, то соответствующие уравнения будут нелинейными и чрезвычайно сложными, еще сложнее, чем, например, исходные уравнения Навье – Стокса. Поэтому на практике сначала рассматривают гидродинамическую задачу устойчивости относительно малых возмущений. В этом случае уравнения переноса для возмущений получаются линеаризацией исходных уравнений гидродинамики, а затем уже методом возмущений того же типа, что мы использовали при изучении нелинейного осциллятора, исследуется нелинейная задача. Такой метод оказывается применимым, поскольку не существует задач, которые были бы неустойчивы в линейном приближении, но становились бы устойчивыми относительно больших возмущений. Вот обратная ситуация, как мы видели, осуществима!
Линейная устойчивость
Плоскопараллельных течений
Для простоты здесь и ниже мы будем анализировать задачу гидродинамической устойчивости лишь для несжимаемой жидкости. Такое приближение хорошо описывает динамику жидкости, но годится также и для газа, если только скорости течения малы по сравнению со скоростью звука.
|
Итак, будем предполагать, что жидкость несжимаемая и описывается уравнениями Навье – Стокса (см. уравнения (12.5), (12.9), (12.11))
, . (19.4)
Для дальнейшего удобно перейти к безразмерным переменным
, , , , .
Здесь – характерная скорость течения, а – его масштаб. В этих переменных уравнения (19.4) принимают вид (здесь и в дальнейшем тильда опущена)
, , (19.5)
где мы ввели параметр подобия течения, число Рейнольдса,
. (19.6)
Уравнения для малых возмущений (19.2) получаются линеаризацией уравнений (19.5) около стационарного профиля :
, . (19.7)
Эти уравнения особенно упрощаются для так называемых плоскопараллельных течений, когда профиль скорости является функцией лишь нормальной к направлению течения координаты .
Уравнения (19.7) вместе с граничными и начальными условиями позволяют определить эволюцию любого малого (линейного) возмущения. В результате решения задачи можно найти профили всех возмущений и выяснить, как они ведут себя во времени. Однако на практике обычно поступают проще. Если нас интересует лишь ответ на вопрос устойчивым или нет является некоторое малое возмущение, то задачу интегрирования уравнений (19.7) можно свести к задаче на собственные значения соответствующего оператора. Поскольку коэффициенты системы (19.7) не зависят от переменных , z и t, зависимость ее решений от этих переменных должна быть экспоненциальной, что позволяет искать решение в виде плоской волны
. (19.8)
Подстановка решения (19.8) в уравнения (19.7) дает замкнутую систему четырех уравнений, которая вместе с необходимыми граничными условиями приводит к спектральной задаче. Для ее решения при заданных параметрах стационарного течения необходимо для каждого волнового числа определить набор собственных частот и соответствующих им собственных функций . В общем случае – комплексное число: . Действительная часть задает собственно частоту возмущения, а мнимая определяет скорость его нарастания или затухания . В том случае, когда возмущение нейтрально устойчивое.
|
Для рассматриваемого класса течений оказывается справедливой так называемая теорема Сквайра.
Теорема Сквайра. Скорость нарастания возмущений, направленных под углом к оси течения (трехмерных по отношению к течению), та же, что и для возмущений, распространяющихся вдоль оси (двумерных) при меньшем числе Рейнольдса.
Рис. 19.2. Кривая нейтральной устойчивости
плоского течения Пуазейля
|
|
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!