Виды подобия по физической природе

 

С точки зрения адекватности физической природы явлений различают 2 вида подобия: физическое и математическое, которые могут быть полным и неполным.

Физическое подобие достигается при одинаковой физической природе подобных явлений.

Частные виды физического подобия:

1. Кинематическое подобие (при котором существует подобие скоростей и ускорений)

2. Материальное подобие предполагающее подобие масс элементов системы

3. Динамическое подобие при котором подобны силы, вызывающие подобные движения.

Математическое подобие требует соответствия сходственных параметров сравниваемых процессов различной физической природы.

Например: математически подобны два уравнения описывающие физически разнородные процессы:

1. уравнение переходного процесса в электрической цепи, образованной последовательным соединением элементов с активным сопротивлением R, индуктивностью L, емкостью C, которая включается на напряжение U, изменяющееся во времени   t,  с угловой скоростью w:

 

,

где   q —заряд на конденсаторе емкостью С.

2. Уравнение процесса вынужденных механических колебаний в вязкой среде закрепленного на пружине жесткостью с груза массой М, на который действует возмущающая сила  и пропорциональная скорости движения груза   v  сила сопротивления вязкой среды  .

 

,

 

где l – расстояние на которое перемещается груз.

Эл. контур                                            Пружина

 

Сходственными параметрами в данном случае будут L и М; R и ; C и c;   q и l; U и F, а электрический колебательный контур может служить аналоговой моделью объекта (оригинала – колеблющегося на пружине груза).

Наблюдаемый процесс в колебательном контуре будет одновременно являться и решением дифференциального уравнения, описывающего движение груза.

 

Теоремы подобия

 

Основные положения теории подобия определяют свойства подобных объектов и указывают требования, при удовлетворении которых один из объектов может рассматриваться как модель (или оригинал) по отношению к остальным.

Основной характеристикой подобных объектов являются критерии подобия, с помощью которых устанавливается соответствие модели и оригинала.

Подобные объекты (процессы) должны иметь одинаковые критерии подобия, устанавливаемые непосредственно из математического описания путем приведения его к безразмерному виду.

Теоремы подобия рассматривают необходимые и достаточные условия существования подобия, которые на ряду с требованием равенства критериев подобия включают в себя требования подобия начальных и граничных условий сопоставляемых процессов.

Положения о необходимых и достаточных условиях подобия систематизируются в виде первой, второй и третьей теорем подобия.

Первые две теоремы определяют необходимые, третья достаточные и необходимые условие подобия.

 

Первая теорема подобия

 

Эта теорема устанавливает связи между параметрами подобных процессов, и формулируются следующим образом: если процессы подобны, то критерия подобия этих процессов соответственно равны.

Определим критерии подобия по уравнениям исследуемых процессов, когда все члены уравнений являются однородными функциями параметров и их производных.

Однородными называются функции, все члены уравнений которых имеют одинаковую размерность и общий множитель, который может быть вынесен в определенной степени за знак функциональной зависимости.

Рассмотрим преобразование уравнения переходного процесса i (t) в цепи, образованной последовательным соединением сопротивления   R и индуктивности L, которая включается на постоянное напряжение U.

 

 

 

 

Пусть имеются уравнения двух подобных процессов  являющихся функциями параметров: Р ₁, …, Р _j, …, Р _n и R ₁, …, R_j, …, R_n.

,                       (1)

где ;  – члены уравнений для .

Для рассматриваемого примера уравнения двух переходных процессов – это дифференциальные уравнения вида:

,                   (2)

где

Сопоставляемые процессы подобны, поэтому между их сходственными параметрами должны существовать соотношения пропорциональности

                                                              (3)

или для примера

,          (4)

где m ₁,…, m_n или m _R, m _L, m _U, m_i, m_t – масштабные коэффициенты.

В соответствии с первой теоремой подобия для подобных процессов ( ₀ и Ф₀) все члены уравнений которых являются однородными функциями, должны существовать одинаковые критерии подобия. Их можно найти, если привести исходные уравнения (1) к безразмерному виду путем деления на любой, например   m -й член (на _m и Ф _m).

                           (5)

для нашего примера разделим на ₁ и Ф₁:

                        (6)

Вследствие однородности уравнений в выражениях _i  и Ф _i  должны существовать общие множители, которые можно вынести за знак функции:

.

Общий множитель для   i -го члена _i  исходного уравнения (1) есть комбинация масштабных коэффициентов m ₁,…, m_n  т. е., согласно зависимости (3) получится:

. (7)

или для нашего примера из (2) в (4):

          (8)

Подстановка (7) в (5) дает (смотрим по ):

или для примера подставляем (8) в (6) (смотрим по ):

                                      (9)

Т. к. эти уравнения представляют собой сумму однородных функций, то должен существовать общий для всех его членов множитель М _m т. е.

или разделив на М _m,

.

Это значит, что из (9)

.                                                                      (10)

Физический смысл полученного результата заключается в том, что как исходное (2), так и преобразованное (9) выражения описывают процесс j₀, т. е. переходный процесс i ₁(t ₁).

Подобие процессов  j₀ и  Ф₀ означает, что они различаясь лишь масштабами, должны описываться одинаковыми математическими уравнениями. Следовательно выражение (9) будет описывать также и Ф₀ – т. е. переходный процесс i ₂ (t ₂) в том случае, если будут равны единицы комбинаций масштабных коэффициентов (при втором и третьем членах).

Т. о. между соответственными членами  j₀ и  Ф₀ существуют соотношения

.

idem означает – соответственно одинаково для всех рассматриваемых процессов.

Применительно к рассматриваемому примеру из (2) делим на 1-й член уравнения:

Соотношения пропорциональности справедливы и для малых интервалов и , так как операция дифференцирования не влияет на размерности соответствующих параметров, т. е.

,

поэтому при рассмотрении условий пропорциональности процессов  и   символы дифференцирования можно опустить, записав:

,

где  – аналог .

Такой же результат получается, если воспользоваться масштабными соотношениями (10), заменяя масштабные коэффициенты отношениями сходственных параметров (см. также из (4))

 и .

Правило: если в членах исходных уравнений содержатся символы дифференцирования и интегрирования, то при рассмотрении условий пропорциональности их можно опустить, заменив соответствующие члены уравнений  их аналогами , которые называются интегральными аналогами, то есть:

 заменить на   и   на     y x.

Важным практическим свойством критериев является возможность их преобразования в критерии подобия иной формы записи посредством перемножения или деления, возведения в степень или умножения на любой постоянный коэффициент   k.