Основные положения теории подобия

Основные положения теории подобия

 

Упорядочение обширной информации о происходящих явлениях при изучении методами моделирования осуществляется с помощью теории подобия, позволяющей по заданным характеристикам одного явления судить о больших группах явлений.

Подобие явлений означает, что данные о протекании процессов, получаемых при изучении одного явления можно распространить на все явления подобные данному.

Теория подобия используют при создании моделей воспроизводящих явление в оригиналах, обычно больших по величине или более сложных по структуре, чем моделей.

Методы подобия основываются на выделении из сложной системы самого важного при изучении ее свойств.

Принципы подобия используются для конструирования машин и механизмов, для расчета металлорежущих станков, при моделировании электрических приводов, при расчетах пневмогидравлических систем, при исследовании рабочих процессов и т. д.

Основой моделирования является подобие явлений по ряду признаков. ТП составляет методическую основу исследований.

Разработка моделей на основе ТП упрощается, так как в этом случае находится функциональная связь между величинами, определяющими явления.

Модели, выполненные на основе ТП, освобождают от необходимости аналитического решения задачи, не всегда являющегося возможным.

Подобие процессов выражается в том, что характеризующие их переменные величины, соответствующие друг другу, связаны между собой пропорциональной зависимостью в каждый момент времени.

 

Развитие методов моделирования и теории подобия

 

Учение о подобии и моделировании начало создаваться более 400 лет назад. В 15 веке обоснованием методов моделирования занимался Леонардо да Винчи. Он пытался вывести общие аналитические закономерности.

Вопросы подобия, в связи с созданием различных конструкций и их моделированием, рассматривали в 16-17 веках Галилей и Мариотт.

Научные формулировки условий подобия впервые дал Ньютон применительно к механическому движению в конце 17 в. Он заложил основы современного учения о подобии (первая теорема).

В 1822 г. Фурье доказал, что члены уравнений, описывающих физические явления, всегда имеют одинаковую размерность.

В 1874 г. В.Л.Кирпичев на основе анализа дифференциальных уравнений установил закон механического подобия при упругих деформациях и сформулировал правила моделирования.

Развитие теории подобия имеет 2 направления, основой которых является анализ:

1. Уравнений, математически описывающих изучаемые явления (анализ уравнений, разрабатывалось в нашей стране).

2. Размерностей физических величин, характеризующих эти явления (анализ размерностей, разрабатывался за рубежом)

Развитие ТП в 30-е годы осуществлено в работах М.В. Кирпичева (сына) и А.А. Гухмана, затем в 40-е г. Л.И. Седова.

Применение ТП к электротехническим задачам освещалось в 30–40-х годах в работах К.М. Поливанова, С.М. Брагина и др., затем Веникова В.А.

Современное развитие ТП происходит кроме нашей страны в США и Японии, особенно с развитием ЭВМ.

В настоящее время все крупные сооружения исследуются на моделях, например, ГЭС, в том числе Волгоградская исследовались на физических моделях. При создании космических ракет проводились исследования их аэродинамических свойств на моделях.

Широкое распространение получили модели в виде сочетания физической и математической модели с натуральными приборами, которые играют роль испытательного стенда или тренажера (САР, аналоговое моделирование).

 

Понятие подобия

 

Подобие – это сходство между двумя или более системами, объектами, процессами.

Понятия подобия первоначально заимствованно из геометрии.

Формулировка геометрического подобия: многоугольники с одинаковым числом сторон подобны, если у них соответствующие углы равны и сходственные стороны пропорциональны,

                А                                                 В

                l _3a              l _4a

                    β_a                 l _5a                           l _4в

                      l _2a                   l _1a                                          l _1в

 

 

т. е. если

;

 

.

Подобие означает существование определенных масштабных соотношений для параметров сходственных элементов (длин сторон, углов) сопоставляемых объектов (многоугольников) которые определяют правила перехода от параметров одного из объектов к сходственным параметрам другого.

Масштабные коэффициенты m _μ и m _i, характеризующие пропорциональность сходственных параметров, называются коэффициентами подобия.

Обобщенными характеристиками в теории подобия являются критерии подобия, которые принимают одинаковые значения в сходственных точках параметров: х ₁, х ₂, …, х _j, …, х _n.

Процессы подобны, если существует соответствие сходственных величин сопоставляемых систем: положений точек, параметров систем и процессов.

Сходственными точками пространства, времени и параметров процесса называется такие величины, при которых их значениям в одной системе соответствуют определенные значения в другой системе.

 

Виды подобия

 

Виды подобия подразделяются по 2 признакам:

– по степени соответствия параметров модели и оригинала;

– по адекватности физической природе подобных явлений.

 

Теоремы подобия

 

Основные положения теории подобия определяют свойства подобных объектов и указывают требования, при удовлетворении которых один из объектов может рассматриваться как модель (или оригинал) по отношению к остальным.

Основной характеристикой подобных объектов являются критерии подобия, с помощью которых устанавливается соответствие модели и оригинала.

Подобные объекты (процессы) должны иметь одинаковые критерии подобия, устанавливаемые непосредственно из математического описания путем приведения его к безразмерному виду.

Теоремы подобия рассматривают необходимые и достаточные условия существования подобия, которые на ряду с требованием равенства критериев подобия включают в себя требования подобия начальных и граничных условий сопоставляемых процессов.

Положения о необходимых и достаточных условиях подобия систематизируются в виде первой, второй и третьей теорем подобия.

Первые две теоремы определяют необходимые, третья достаточные и необходимые условие подобия.

 

Первая теорема подобия

 

Эта теорема устанавливает связи между параметрами подобных процессов, и формулируются следующим образом: если процессы подобны, то критерия подобия этих процессов соответственно равны.

Определим критерии подобия по уравнениям исследуемых процессов, когда все члены уравнений являются однородными функциями параметров и их производных.

Однородными называются функции, все члены уравнений которых имеют одинаковую размерность и общий множитель, который может быть вынесен в определенной степени за знак функциональной зависимости.

Рассмотрим преобразование уравнения переходного процесса i (t) в цепи, образованной последовательным соединением сопротивления   R и индуктивности L, которая включается на постоянное напряжение U.

 

 

 

 

Пусть имеются уравнения двух подобных процессов  являющихся функциями параметров: Р ₁, …, Р _j, …, Р _n и R ₁, …, R_j, …, R_n.

,                       (1)

где ;  – члены уравнений для .

Для рассматриваемого примера уравнения двух переходных процессов – это дифференциальные уравнения вида:

,                   (2)

где

Сопоставляемые процессы подобны, поэтому между их сходственными параметрами должны существовать соотношения пропорциональности

                                                              (3)

или для примера

,          (4)

где m ₁,…, m_n или m _R, m _L, m _U, m_i, m_t – масштабные коэффициенты.

В соответствии с первой теоремой подобия для подобных процессов ( ₀ и Ф₀) все члены уравнений которых являются однородными функциями, должны существовать одинаковые критерии подобия. Их можно найти, если привести исходные уравнения (1) к безразмерному виду путем деления на любой, например   m -й член (на _m и Ф _m).

                           (5)

для нашего примера разделим на ₁ и Ф₁:

                        (6)

Вследствие однородности уравнений в выражениях _i  и Ф _i  должны существовать общие множители, которые можно вынести за знак функции:

.

Общий множитель для   i -го члена _i  исходного уравнения (1) есть комбинация масштабных коэффициентов m ₁,…, m_n  т. е., согласно зависимости (3) получится:

. (7)

или для нашего примера из (2) в (4):

          (8)

Подстановка (7) в (5) дает (смотрим по ):

или для примера подставляем (8) в (6) (смотрим по ):

                                      (9)

Т. к. эти уравнения представляют собой сумму однородных функций, то должен существовать общий для всех его членов множитель М _m т. е.

или разделив на М _m,

.

Это значит, что из (9)

.                                                                      (10)

Физический смысл полученного результата заключается в том, что как исходное (2), так и преобразованное (9) выражения описывают процесс j₀, т. е. переходный процесс i ₁(t ₁).

Подобие процессов  j₀ и  Ф₀ означает, что они различаясь лишь масштабами, должны описываться одинаковыми математическими уравнениями. Следовательно выражение (9) будет описывать также и Ф₀ – т. е. переходный процесс i ₂ (t ₂) в том случае, если будут равны единицы комбинаций масштабных коэффициентов (при втором и третьем членах).

Т. о. между соответственными членами  j₀ и  Ф₀ существуют соотношения

.

idem означает – соответственно одинаково для всех рассматриваемых процессов.

Применительно к рассматриваемому примеру из (2) делим на 1-й член уравнения:

Соотношения пропорциональности справедливы и для малых интервалов и , так как операция дифференцирования не влияет на размерности соответствующих параметров, т. е.

,

поэтому при рассмотрении условий пропорциональности процессов  и   символы дифференцирования можно опустить, записав:

,

где  – аналог .

Такой же результат получается, если воспользоваться масштабными соотношениями (10), заменяя масштабные коэффициенты отношениями сходственных параметров (см. также из (4))

 и .

Правило: если в членах исходных уравнений содержатся символы дифференцирования и интегрирования, то при рассмотрении условий пропорциональности их можно опустить, заменив соответствующие члены уравнений  их аналогами , которые называются интегральными аналогами, то есть:

 заменить на   и   на     y x.

Важным практическим свойством критериев является возможность их преобразования в критерии подобия иной формы записи посредством перемножения или деления, возведения в степень или умножения на любой постоянный коэффициент   k.

 

Третья теорема подобия

 

Необходимыми и достаточными условиями подобия процессов или объектов являются равенство критериев подобия и пропорциональность сходственных параметров.

Пусть имеются два процесса, описываемые уравнениями

Уравнения должны иметь одинаковое число m участвующих параметров. Необходимым условием существования подобия является наличие пропорциональности между всеми сходственными параметрами:

,

где P_iо и P_iм – сходственные параметры первой и второй систем, m_i – масштаб соответствующих параметров.

Второе условие:

.

 

Основные положения теории подобия

 

Упорядочение обширной информации о происходящих явлениях при изучении методами моделирования осуществляется с помощью теории подобия, позволяющей по заданным характеристикам одного явления судить о больших группах явлений.

Подобие явлений означает, что данные о протекании процессов, получаемых при изучении одного явления можно распространить на все явления подобные данному.

Теория подобия используют при создании моделей воспроизводящих явление в оригиналах, обычно больших по величине или более сложных по структуре, чем моделей.

Методы подобия основываются на выделении из сложной системы самого важного при изучении ее свойств.

Принципы подобия используются для конструирования машин и механизмов, для расчета металлорежущих станков, при моделировании электрических приводов, при расчетах пневмогидравлических систем, при исследовании рабочих процессов и т. д.

Основой моделирования является подобие явлений по ряду признаков. ТП составляет методическую основу исследований.

Разработка моделей на основе ТП упрощается, так как в этом случае находится функциональная связь между величинами, определяющими явления.

Модели, выполненные на основе ТП, освобождают от необходимости аналитического решения задачи, не всегда являющегося возможным.

Подобие процессов выражается в том, что характеризующие их переменные величины, соответствующие друг другу, связаны между собой пропорциональной зависимостью в каждый момент времени.