Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Топ:
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного...
Определение места расположения распределительного центра: Фирма реализует продукцию на рынках сбыта и имеет постоянных поставщиков в разных регионах. Увеличение объема продаж...
Интересное:
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Дисциплины:
2022-09-11 | 29 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
В практических задачах часто возникает необходимость вычисления приближенного значения функции в некоторой точке Абсолютной погрешностью называют абсолютную величину разности между точным и приближенным значением функции в точке Величина погрешности определяет точность вычислений: чем меньше погрешность, тем точнее вычислено значение функции. Рассмотрим некоторые алгоритмы, которые позволяют найти приближенное значении функции, и сопоставим их.
Использование первого дифференциала
При вычислении приближенного значения дифференцируемой функции применима формула (3.4): которой можно придать вид:
(3. 26)
Эта формула проста в применении, но обладает существенным недостатком − нельзя заранее оценить погрешность вычислений.
Использование формулы конечных приращений
Формула конечных приращений (3.21) может быть переписана в виде:
где (3.27)
При малых приращениях аргумента полагают при этом абсолютная погрешность
Использование формулы Тейлора
При помощи формулы Тейлора -го порядка (3.24) вычисление приближенного значения функции сводится к вычислению значения многочлена Тейлора -й степени в точке , при этом абсолютная погрешность С увеличением порядка формулы Тейлора погрешность уменьшается.
Если использовать обозначение то формула для вычисления приближенного значения примет вид:
(3.28)
|
где абсолютная погрешность
Пример 3.24. Вычислить приближенное значение , используя: 1) первый дифференциал; 2) формулу конечных приращений; 3) формулу Тейлора 2-го порядка и сопоставить результаты.
□ Введем функцию Эта функция определена, непрерывна и дифференцируема произвольное число раз при
1) При применении формулы (3.26) положим Производная Тогда По формуле (3.26) получим;
2) Применяя формулу (3.27), имеем При этом абсолютная погрешность удовлетворяет оценке: при Отсюда следует, что
3) Для применения формулы Тейлора 2-го порядка вычислим вторую и третью производную функции Тогда Согласно формуле (3.28) имеем: или При искомая величина вычисляется по приближенной формуле: .
Теперь оценим погрешность :
Итак,
Последовательно применяя разные формулы для подсчета приближенного значения , мы получили три числа: . Последний результат − самый точный, так как погрешность меньше, чем ■
Пример 3.25. Найти приближенное значение с абсолютной погрешностью, не превосходящей
□ Воспользуемся формулой Маклорена го порядка для функции
Выберем порядок формулы таким образом, чтобы остаточный член формулы Тейлора не превышал заданной погрешности: Выполним оценки: при Подберем такое наименьшее натуральное число , чтобы выполнялось неравенство: Заметим, что при При Произведем подсчет искомой величины по формуле Маклорена 6-го порядка при :
С точностью до ■
|
|
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!