Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Топ:
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного хозяйства...
Особенности труда и отдыха в условиях низких температур: К работам при низких температурах на открытом воздухе и в не отапливаемых помещениях допускаются лица не моложе 18 лет, прошедшие...
Теоретическая значимость работы: Описание теоретической значимости (ценности) результатов исследования должно присутствовать во введении...
Интересное:
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Дисциплины:
2022-02-11 | 28 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
P (| X – M (X) | ≥ a) < .
Пример 2. Пусть случайная величина Х имеет дисперсию D (X) = 0,001. Какова вероятность того, что
она отличается от М (Х) более чем на 0,1?
Согласно неравенству Чебышёва: P (| X – M (X) | ≥ 0,1) < = = 0,1.
Пример 3. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения
Х | 0,3 | 0,6 |
Р | 0,2 | 0,8 |
Используя неравенство Чебышёва, оценить вероятность того, что | X – M (X) | < 0,2.
М (Х) = 0,3 × 0,2 + 0,6 × 0,8 = 0,54.
Х 2 | 0,09 | 0,36 | M (X 2) = 0,09 × 0,2 + 0,36 × 0,8 = 0,306. | |
Р | 0,2 | 0,8 |
D (Х) = M (X 2) – [ М (Х)]2 = 0,3024 – 0,542 = 0,306 – 0,2916 = 0,0144.
Воспользуемся неравенством Чебышёва в форме P (| X – M (X) | < ε) ≥ 1 – :
P (| X – 0,54 | < 0,2) ≥ 1 – = 0,64.
6.1.2. Закон больших чисел в форме Чебышёва (теорема Чебышёва)
Если случайные величины Х 1, Х 2, …, Х n, … попарно независимы и их дисперсии ограничены, D (Х n) ≤ C n, то ε > 0 справедливо:
P = 0 .
Здесь утверждается, что с ростом количества случайных величин их среднее арифметическое сколь угодно мало отличается от детерминированного, неслучайного воздействия, обусловленного средним арифметическим математических ожиданий.
Пример 4. Последовательность независимых случайных величин Х 1, Х 2, …, Х n, … задана законом распределения
Х n | – na | 0 | na |
Р | 1 – |
Применима ли к данной последовательности теорема Чебышёва?
Для того чтобы к последовательности случайных величин была применима теорема Чебышева, достаточно, чтобы эти величины были попарно независимы и имели бы ограниченные дисперсии.
Т.к. случайные величины независимы, то они подавно и попарно независимы.
|
Для нахождения дисперсий найдем сначала мат.ожидание М (Х n):
М (Х n) = – na × + 0 × + na × = 0.
Далее построим законы распределения случайных величин :
n 2 a 2 | 0 | n 2 a 2 | |
Р | 1 – |
М () = n 2 a 2 × + 0 × + n 2 a 2 × = a 2.
D (Х n) = М () – [ М (Х n)]2 = a 2 – 02 = a 2. Т. о., D (Х n) ≤ a 2 n.
Все условия теоремы Чебышева выполнены и, следовательно, в данном случае она применима.
Пример 5. Вероятность появления события A в каждом из 400 проведенных испытаний равна 0,7. Найти с использованием неравенства Чебышева вероятность того, что число X появлений события A будет заключено в пределах от 260 до 300.
Воспользуемся неравенством Чебышева вида P (| X – M (X) | < ε) ≥ 1 – . Вычислив M (X)= np =400 · 0,7=280, D (X) = npq = 400 · 0,7 · 0,3 = 84, получаем P (260 < X < 300) = P (| X – 280 | < 20) ≥ 1 – =0,79.
Пример 6. Математическое ожидание случайной величины X равно M (X) = 95, а дисперсия – D (X) = 9. Найти с использованием неравенства Чебышева вероятность того, что 90 < X < 100
P (| X – M (X) | < ε) ≥ 1 – => Тогда P (90 < X < 100)= P (| X – 95| < 5) ≥ 1 – =0,64.
В приложениях важную роль играет частный случай приведенной выше теоремы,
относящийся к одинаково распределенным независимым слагаемым:
Пусть Х 1, Х 2, …, Х n, … – одинаково распределенные случайные величины с
M (Х n) = m n. Тогда
P = 0 .
Другим важным следствием теоремы Чебышева является теорема Я.Бернулли.
6.1.3. Закон больших чисел в форме Бернулли (теорема Бернулли)
Пусть S n – число успехов в серии изn независимых испытаний с постоянной вероятностью успеха р в каждом испытании и ν n = – относительная частота числа успехов. Тогда с увеличением количества экспериментов n частота ν n будет мало отличаться от вероятности р. Точнее, P (| ν n – p | ≥ ε) = 0 .
Предельные теоремы
Предельные теоремы дают представление о законе распределения суммы большого
числа случайных величин.
Центральная предельная теорема (ЦПТ). Если последовательность попарно
|
независимых случайных величин Х 1, Х 2, …, Х n, … удовлетворяет условию
= 0, (1)
то Р = Ф (b) – Ф (a). (2)
Здесь Ф (х) = – функция Лапласа.
Условие (1) дано А.М. Ляпуновым. Поэтому приведенная теорема называется центральной предельной теоремой в форме Ляпунова. Есть и другие формулировки центральной предельной теоремы. Отличаются они тем, что условие (1) в них заменено другим, имеющим тот же смысл. Смысл условия (1), и других аналогичных условий, состоит в следующем: в сумме ни одно из слагаемых не доминирует, т.е. вклад в сумму каждогослагаемого не подавляет вклада остальных слагаемых.
Смысл равенства (2) в том, что при больших n случайная величина
Y = (3)
распределена по нормальному закону с нулевым (M (Y) = 0) математическим ожиданием и единичной (D (Y) = 1) дисперсией. Эту случайную величину называют нормированной.
|
|
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!