Функция распределения вероятностей случайной величины

       Функцией распределения  называют функцию F (x), определяющую для каждого значения х вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньшее х, т.е.

 

F (x) = Р (Х < x).

Функцию F (x) еще называют интегральной функцией распределения. Функция распределения самая универсальная характеристика случайной величины. Она существует для всех случайных величин как дискретных, так и непрерывных. Зная ее, можно получить любую другую характеристику: мат.ожидание, дисперсию и т.д.

 

Свойства функции распределения (рис.15)

 

1. Функция распределения F (x) определена на всей числовой оси, т.е. для

всех –¥ < x < +¥.

2. Функция распределения F (x) – неубывающая функция от х, т.е.

 

при х ₂ > х ₁ F (х ₂) ≥ F (х ₁).

 

3. F (-∞) = 0.

4. F (+∞) = 1.

                                                      Рис.15.

 

       Вероятность попадания значений дискретной случайной величины в заданный интервал равна приращению функции распределения на этом участке:

 

P (α ≤ X ≤ β) = F (β) – F (α).

 

       Зная закон распределения дискретной случайной величины Х, можно легко построить функцию распределения этой величины:     

 

F (x) = P (X < x) =

когда текущая переменная х проходит через какое-нибудь из возможных значений случайной величины Х = x _i, функция распределения меняется скачкообразно, причем величина скачка равна вероятности p _i = P (Х = x _i) этого события.

Пример 9. Случайная величина Х задана своим законом распределения:

 

		X	2	4	7	.   Найти функцию распределения F (x) и нарисовать ее график.
		P	0,5	0,2	0,3

 

             1) Если х ≤ 2, то F (x) = Р (Х < x) = 0.

2) Если 2 < х ≤ 4, то F (x) = Р (Х < x) = 0,5.

             3) Если 4 < х ≤ 7, то F (x) = Р (Х < x) = 0,5 + 0,2 = 0,7.

             4) Если x > 7, то F (x) = Р (Х < x) = 0,7 + 0,3 = 1.

 

           Т.о. искомая функция распределения имеет вид:    

 

       Закон распределения, точно также как и функция распределения – основные характеристики случайной величины. Зная одну из них, можно получить все ее остальные характеристики.

ПРИМЕРЫ

 

       Для случайной величины Х найти: 

       а) закон распределения, б) функцию распределения, в) мат.ожидание и дисперсию.

 

Пример 10. Монета бросается 4 раза. Х – число появлений герба.

 

Случайная величина Х может принимать только следующие значения: 0, 1, 2, 3, 4. При этом вероятности событий Х = x _i (i = 0, 1, 2, 3, 4) равны:

 

р ₀ = , р ₁ = , р ₂ = , р ₃ = ,    

р ₄ = . 

 

	X	0	1	2	3	4		X 2	0	1	4	9	16
	P	1/16	1/4	3/8	1/4	1/16		P	1/16	1/4	3/8	1/4	1/16

 

M (X) = 0 ∙ 1/16 + 1 ∙ 1/4 + 2 ∙ 3/8 + 3 ∙ 1/4 + 4 ∙ 1/16 = 2.

 

M (X ²) = 0 ∙ 1/16 + 1 ∙ 1/4 + 4 ∙ 3/8 + 9 ∙ 1/4 + 16 ∙ 1/16 = 5

 

D (X) = M (X ²) – [ M (X)] ² = 5 – 4 = 1.

Пример 11. Стрелок, имеющий 3 патрона, стреляет в цель до первого попадания. Вероятность попадания при каждом выстреле равна р = 0,8. Х – число израсходованных патронов.

 

Случайная величина Х может принимать только следующие значения: 1, 2, 3. При этом вероятности событий Х = x _i (i = 1, 2, 3) равны:

 

р ₁ = р = 0,8, р ₂ = (1 – р) р = 0,8 ∙ 0,2 = 0,16,   р ₃ = (1 – р)² = 0,2 ∙ 0,2 = 0,04.

 

	X	1	2	3		X 2	1	4	9
	P	0,8	0,16	0,04		P	0,8	0,16	0,04

 

M (X) = 1 ∙ 0,8 + 2 ∙ 0,16 + 3 ∙ 0,04 = 1,24.                     M (X ²) = 1 ∙ 0,8 + 4 ∙ 0,16 + 9 ∙ 0,04 = 1,8

 

D (X) = M (X ²) – [ M (X)] ² = 1,8 – 1,24² = 0,2624.

 

Пример 12. Имеется 4 лампочки, каждая из которых с вероятностью р = 0,1 имеет дефект. Лампочка вворачивается в патрон и включается. Дефектная лампочка сразу же перегорает и заменяется другой.  

Х – число испробованных лампочек.

 

Случайная величина Х может принимать только следующие значения: 1, 2, 3, 4. При этом вероятности событий Х = x _i (i = 1, 2, 3, 4) равны:

 

р ₁ = 1 – р = 1 – 0,1 = 0,9, р ₂ = р (1 – р) = 0,1 ∙ 0,9 = 0,09, р ₃ = р ²(1 – р) = 0,01 ∙ 0,9 = 0,009,

р ₄ = р ³ = 0,001.

 

	X	1	2	3	4		X 2	1	4	9	16
	P	0,9	0,09	0,009	0,001		P	0,9	0,09	0,009	0,001

 

M (X) = 1 ∙ 0,9 + 2 ∙ 0,09 + 3 ∙ 0,009 + 4 ∙ 0,001 = 1,111.

 

M (X ²) = 1 ∙ 0,9 + 4 ∙ 0,09 + 9 ∙ 0,009 + 16 ∙ 0,001 = 1,357.

 

D (X) = M (X ²) – [ M (X)] ² = 1,357 – 1,111² ≈ 0,12.

Пример 13. Стрелок делает три выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле равна р = 0,6. За каждое попадание стрелку засчитывается 5 очков. Х – число набранных очков.

 

Случайная величина Х может принимать только следующие значения: 0, 5, 10, 15. При этом вероятности событий Х = x _i   (i = 0, 5, 10, 15) равны:

 

р ₀ = , р ₅ = , р ₁₀ = ,    

р ₁₅ = .    

 

	X	0	5	10	15		X 2	0	25	100	225
	P	0,064	0,288	0,432	0,216		P	0,064	0,288	0,432	0,216

 

M (X) = 0 ∙ 0,064 + 5 ∙ 0,288 + 10 ∙ 0,432 + 15 ∙ 0,216 = 9.

 

M (X ²) = 0 ∙ 0,064 + 25 ∙ 0,288 + 100 ∙ 0,432 + 225 ∙ 0,216 = 99

 

D (X) = M (X ²) – [ M (X)] ² = 99 – 81 = 18.

 

       Пример 14. В урне 5 белых и 15 черных шаров. Наудачу вынули 2 шара. Х – число вынутых белых шаров.

 

Случайная величина Х может принимать только следующие значения: 0, 1, 2. При этом вероятности событий Х = x _i (i = 0, 1, 2) равны:

 

p ₀ = = 0,55, р ₁ = = 0,395,   

р ₂ = = 0,055.

 

	X	0	1	2		X 2	0	1	4
	P	0,55	0,395	0,055		P	0,55	0,395	0,055

 

M (X) = 0 ∙ 0,55 + 1 ∙ 0,395 + 2 ∙ 0,055 = 0,505.          M (X ²) = 0 ∙ 0,55 + 1 ∙ 0,395 + 4 ∙ 0,055 = 0,615.

 

D (X) = M (X ²) – [ M (X)] ² = 0,615 – 0,505² ≈ 0,36.

 

Пример 15. Два стрелка делают по мишени независимо друг от друга по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка t ₁ = 0,8, а для второго t ₂ = 0,7. Х – разность между числом попаданий в мишень первым и вторым стрелком.

 

Случайная величина Х может принимать только следующие значения: -1, 0, 1. При этом вероятности событий Х = x _i   (i = -1, 0, 1) равны:

 

p _-1 = (1 - t ₁) ∙ t ₂ = 0,2 ∙ 0,7 = 0,14, р ₀ = (1- t ₁) ∙ (1– t ₂) + t ₁∙ t ₂ = 0,2 ∙ 0,3 + 0,8 ∙ 0,7 =0,62,   

р ₁ = t ₁∙ (1– t ₂) = 0,8 ∙ 0,3 = 0,24.

 

	X	-1	0	1		X 2	1	0	1
	P	0,14	0,62	0,24		P	0,14	0,62	0,24

 

M (X) = -1 ∙ 0,14 + 0 ∙ 0,62 + 1 ∙ 0,24 = 0,1.     M (X ²) = 1 ∙ 0,14 + 0 ∙ 0,62 + 1 ∙ 0,24 = 0,38.

 

D (X) = M (X ²) – [ M (X)] ² = 0,38 – 0,1² = 0,37.