Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Топ:
Эволюция кровеносной системы позвоночных животных: Биологическая эволюция – необратимый процесс исторического развития живой природы...
Процедура выполнения команд. Рабочий цикл процессора: Функционирование процессора в основном состоит из повторяющихся рабочих циклов, каждый из которых соответствует...
Выпускная квалификационная работа: Основная часть ВКР, как правило, состоит из двух-трех глав, каждая из которых, в свою очередь...
Интересное:
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Дисциплины:
2022-02-11 | 32 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
1. Плотность вероятностей f (x) определена на всей числовой оси, т.е. для
всех –¥ < x < –¥.
2. Плотность вероятностей неотрицательна, т.е. f (x) ≥ 0.
3. Если f (x) – плотность вероятностейслучайной величины Х, то = 1.
Пример 2. Случайная величина Х задана функцией распределения
Найти плотность вероятностей f (x).
f (x) = F ' (x) =
Пример 3. Случайная величина Х задана плотностью распределения .
Найти вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (π /6, π /4).
Т.к. границы интервала лежат в интервале 0< х ≤ , то P ( < X < ) = = .
Пример 4. Случайная величина Х задана плотностью распределения .
Найти функцию распределения вероятностей F (x).
Т.к. F (x) = , то:
если х ≤ 0: F (x) = = 0.
если 0 ≤ х < : F (x) = + = 0 + sin t | = sin x. =>
если х > : F (x) = + + = 0 + sin t | + 0 = 1.
5.3. Числовые характеристики непрерывных случайных величин
Математическим ожиданием непрерывной случайной величиныХ, имеющей плотность распределения вероятностей f (x) называют число
M (X) = M X = ,
а его дисперсией – число D (X) = D X = M [ X – M (X)] 2 .
Дисперсию можно вычислять также по формулам:
D (X) = , D (X) = - [ M (X)] 2.
Среднее квадратическое отклонение (СКО) непрерывной случайной величины определяется так же, как и для дискретной случайной величины:
σ (Х) = .
Все основные свойства для математического ожидания и дисперсии дискретной случайной величины сохраняются и для непрерывного случая:
|
1. M (aX + b) = aM (X) + b, M (aX) = aM (X), M (b) = b;
2. M (X + Y) = M (X) + M (Y);
3. D (aX + b) = a 2 D (X), D (aX) = a 2 D (X), D (b) = 0;
4. D (X) = M (X 2) – [ M (X)] 2.
Для независимых случайных величин X и Y:
5. M (XY) = M (X) × M (Y);
6. D (X + Y) = D (X) + D (Y).
Две случайные величины X и Y называются независимыми, если для любой пары промежутков А и В независимы события (X A) и (Y B), т.е.
P ((X A) (Y B)) = P (X A) × P (Y B).
Если Y = φ (Х) – функция случайного аргумента Х (сама случайная величина),то ее
мат.ожидание M (Y) = M (φ (X)) = M φ (Х) = ,
дисперсия – D (Y = φ (X)) = D φ (Х) = M [ Y – M (Y)] 2 .
Дисперсию можно вычислять также по формулам:
D (φ (X)) = D φ (Х) = , D (φ (X)) = - [ M (φ (X))] 2.
Если F (x) – функцияраспределения случайной величины Х,а f (x) – ее плотность вероятностей, то для случайной величины Y = aX + b плотность вероятностей есть
f 1(x) = , а функцияраспределения F 1(x) = .
• a > 0:
F 1(x) = P (aX + b < x) = P = F .
f 1(x) = F ' 1(x) = = F ' = f .
a < 0:
F 1(x) = P (aX + b < x) = P = 1 – P = 1 – F .
f 1(x) = F ' 1(x) = = – F ' = f .
Если кривая плотности вероятностей симметрична относительно прямой х = С, то М (Х) = С (рис.17).
Модой М 0(Х) непрерывной случайной величины Х называют ее возможное значение, которому соответствует локальный максимум плотности вероятностей (рис.18). Если распределение имеет два одинаковых максимума, то его называют бимодальным.
Медианой М е (Х) непрерывной случайной величины Х называют то ее возможное значение, которое определяется равенством P [ X < М е (Х)] = P [ X > М е (Х)]. Геометрически медиану можно истолковать как точку, в которой ордината f (x) х = М е (Х) делит пополам площадь, ограниченную кривой плотности распределения (рис.19).
Рис.17. М (Х) = С. Рис.18. М 0(Х) = С. Рис.19. (S 1 = S 2 = 0,5). М е (Х) = С.
|
Начальный теоретический момент порядка k – ν k = М (Х k ) – непрерывной
случайной величины Х определяется равенством ν k = .
в частности, начальный момент первого порядка равен математическому ожиданию: ν 1 = М (Х ).
Центральный теоретический момент порядка k – μ k = М ([ X – М (Х ) ] k ) –
непрерывной случайной величины Х равен: μ k = .
в частности, центральный момент первого порядка равен нулю:
μ 1 = М ([ X – М (Х ) ] ) = М (Х ) – М (Х ) = 0,
центральный момент второго порядка равен дисперсии:
μ 2 = М ([ X – М (Х ) ]2) = D (Х ).
Центральные моменты непрерывной случайной величины так же, как и дискретной, целесообразно вычислять, используя формулы, выражающие центральные моменты через начальные:
μ 2 = ν 2– ν 1 2, μ 3 = ν 3–3 ν 1 ν 2 + 2 ν 1 3, μ 4 = ν 4–4 ν 1 ν 3 +6 ν 1 2 ν 2 – 3 ν 1 4.
3 -й центральный момент μ 3 характеризует ассиметрию распределения. Для непрерывной случайной величины, имеющей симметричную плотность распределения, μ 3 = 0.
Величину α 3 = называют ассиметрией. Она позволяет сравнить ассиметрию двух распределений, имеющих различный масштаб.
4 -й центральный момент μ 4 характеризует островершинность распределения. Величину α 4 = называют эксцессом. Чем больше α 4 , тем вершина функции плотности распределения вероятностей острее.
Пример 5. Случайная величина Х задана плотностью распределения .
Найти: h, M (X), D (X), P (1 < X < 5), F (x).
Из св-ва 3 плотности распределения имеем: 1 = = + + = = hx | =5 h. Следовательно, h = 0,2.
M (X) = = 0,2 =0,1 x 2| = 0,5.
D (X) = = 0,2 = (x – 0,5) 3| = ≈2,1.
P (1 < X < 5) = = + = 0,2 x | = 0,4. Т.к. F (x) = , то
если х ≤ –2: F (x) = = 0.
если –2 < х < 3: F (x) = + = 0 + 0,2 × t | = 0,2 (x + 2).
если х ≥ 3: F (x) = + + = 0 + 0,2 x | + 0 = 1.
Т.о., => .
Графики плотности вероятностей и функции распределения представлены на рис. 20.
Рис.20.
Пример 6. Случайная величина Х задана функцией распределения
Найти M (X) и D (X).
f (x) = F ' (x) =
M (X) = = 0,25 = x 2| = 0. Результат очевиден, т.к. плотность вероятностей симметрична. D (X) = = 0,25 = x 3| = .
|
Пример 7. Случайная величина Х задана плотностью распределения
Найти: D (X 2), не находя предварительно плотность распределения случайной величины Y = X 2.
M (φ (X)) = , D (φ (X)) = – [ M (φ (X))]2. Имеем:
φ (х) = х 2, M (X 2) = = || дважды интегрируем по частям || = .
D (X 2) = – = || четырежды интегрируем по частям || = .
Пример 8. Случайная величина Х задана плотностью распределения
(рис. 21).
Найти моду и медиану случайной величины X.
В открытом интервале (0, π /4) функция f (x) = 2cos2 x не имеет
максимума, поэтому Х моду не имеет.
P (0 < X < m e)= => 2 = sin2 m e = => Рис.21.
=> 2 m e = arcsin = => m e = .
|
|
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!