История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Топ:
Оценка эффективности инструментов коммуникационной политики: Внешние коммуникации - обмен информацией между организацией и её внешней средой...
Техника безопасности при работе на пароконвектомате: К обслуживанию пароконвектомата допускаются лица, прошедшие технический минимум по эксплуатации оборудования...
Марксистская теория происхождения государства: По мнению Маркса и Энгельса, в основе развития общества, происходящих в нем изменений лежит...
Интересное:
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Дисциплины:
2022-02-11 | 22 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Биномиальное распределение (распределение Бернулли)
Биномиальным называют закон распределения дискретной случайной величины Х – числа появлений события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события А равна р. Вероятность возможного значения X = k (числа k появлений события А) вычисляется по формуле Бернулли
P n (k) = p k = P (X = k) = pk (1 – p) n – k .
Закон распределения для рассматриваемой случайной величины Х имеет вид:
X | 0 | 1 | 2 | … | n – 1 | n |
P | p 0 | p 1 | p 2 | … | p n – 1 | p n |
или
X | 0 | 1 | 2 | … | n – 1 | n |
P | (1 – p) n | np (1 – p) n – 1 | p 2 (1 – p) n – 2 | … | np n – 1 (1 – p) | p n |
Математическое ожидание M (X)= = pm (1 – p) n – m = np .
Дисперсия D (X) = npq .
Каждую случайную величину Х, имеющую биномиальное распределение с параметрами n и p, можно представить в виде суммы n независимых случайных величин, имеющих биномиальное распределение с параметрами n = 1 и p.
Пример 16. Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равно р = 0,1. Составить закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте, найти мат.ожидание и дисперсию данной случайной величины.
Случайная величина Х (числа отказавших элементов в одном опыте) имеет следующие возможные
значения: х 0 = 0(ни один из элементов не отказал), х 1 = 1(отказал один элемент), х 2 = 2(отказали два
элемента), х 3 = 3(отказали три элемента). Отказы элементов независимы друг от друга,
вероятности отказа каждого элемента равны между собой, поэтому применима формула Бернулли.
Учитывая, что, по условию, n = 3, p = 0,1 (q = 0,9), получим: Р 3(0) = р 0 = q 3 = 0,93 = 0,729,
|
Р 3(1) = р 1= pq 2 = 3×0,1×0,92 = 0,243, Р 3(2) = р 2= p 2 q = 3×0,12×0,9 = 0,027, Р 3(3) = р 3= p 3 = 0,13 = 0,001.
(Проверка: 0,729 + 0,243 + 0,027 + 0,001 = 1).
Закон распределения: | X | 0 | 1 | 2 | 3 |
P | 0,729 | 0,243 | 0,027 | 0,001 |
Мат.ожидание числа отказавших элементов в одном опыте M (X) = np = 3 × 0,1 = 0,3
(проверка: 0 × 0,729 + 1 × 0,243 + 2 × 0,027 + 3 × 0,001 = 0,3). Дисперсия – npq = 3 × 0,1 × 0,9 = 0,27.
Распределение Пуассона
Дискретная случайная величина Х, которая может принимать только целые неотрицательные значения с вероятностями
p k (λ) = P (X = k) = e –λ , k = 0, 1, …, λ > 0,
называется распределенной позакону Пуассона с параметром λ. В отличие от биномиального распределения, здесь случайная величина уже может принимать бесконечное число значений. Такое распределение получается в схеме Бернулли при большом числе испытаний n и малых значениях вероятности р появления события в каждом испытании (обычно достаточно выполнение условий: p < 0,1, npq < 10).
Закон распределения для рассматриваемой случайной величины Х имеет вид:
X | 0 | 1 | 2 | … | n | … |
P | е –λ | λе –λ | е –λ | … | е –λ | … |
Математическое ожидание M (X)= е –λ = λ .
Дисперсия D (X)= λ .
Если независимые случайные величины Х и Y имеют распределение Пуассона с параметрами λ и μ, то их сумма Х + Y имеет распределение Пуассона с параметром λ + μ:
P (X + Y) = k) = e – ( λ + μ )
В вычислениях по формуле Бернулли при малых вероятностях р лучше пользоваться не приближенной формулой Лапласа (P n (k) = P k , n = φ (x), где х = ), а
приближенной формулой Пуассона при λ = np: P n (k) = p k , n = e – np .
Пример 17. Для случайной величины Х, распределенной по закону Пуассона, вычислить Р (Х = m),
математическое ожидание и дисперсию, если λ = 0,3, m = 2.
P (X = 2) = е –λ = е – 0,3, M (X) = λ = 0,3, D (X) = λ = 0,3.
|
Пример 18. Проведены n независимых испытаний по схеме Бернулли. В каждом испытании может произойти событие А с вероятностью р. Подсчитать по формуле Пуассона вероятность того, что при этом событии А произошло m раз, если n = 1000, р = 0,002, m = 10.
P 1000(10)≈ P (X = 10) = е – n p = е – 2 = е – 2.
|
|
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!