Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Топ:
История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...
Оценка эффективности инструментов коммуникационной политики: Внешние коммуникации - обмен информацией между организацией и её внешней средой...
Интересное:
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Дисциплины:
2021-06-30 | 24 |
5.00
из
|
Заказать работу |
Доказательство. Допустим, что существует система с двумя мнимыми единицами, где числа вида . Умножение на 1 сохраняет любой объект. Отразим это в таблице умножения базисных единиц:
1 | |||
1 | 1 | ||
* | |||
* | * |
Здесь осталось 3 элемента, помеченных *, которые ещё надо задать, а именно, . Как бы мы их не задали, в любом случае, умножение на какой-либо фиксированный элемент данной системы - это линейный оператор в 3-мерном пространстве: . Ему соответствует какая-то плоская матрица из 9 элементов . Существует её определитель . Таким образом, можно поставить некое число в соответствие каждой точке пространства. Определитель матрицы умножения на данный элемент отождествляет с элементом данной системы, т.е. с точкой 3-мерного пространства. Таким образом, в 3-мерном пространстве задана непрерывная скалярная функция. Но ведь умножение на противоположный элемент соответствует оператору, у которого матрица состоит из чисел с противоположным знаком. Это матрица . Так как она порядка 3, то , т.к. коэффициент выносится из каждой строки, а их всего 3, нечётное количество. Соединяя точки по сфере, получаем дугу, на которой функция изменяется от до . Тогда существует какая-то точка , где данная функция обращается в 0. Таким образом, линейный оператор умножения на является вырожденным оператором, ведь определитель его матрицы равен 0. А если оператор вырожденный, то существует вектор в пространстве, который отображается в 0. Тогда
. Таким образом, , но . То есть, в 3-мерной системе обязательно существуют делители нуля - такие ненулевые элементы, которые при умножении порождают 0.
Аналогичное верно и для любой нечётной размерности, так как для неё .
Указанные выше причины не препятствуют построению числовых систем чётной размерности.
Кватернионы.
Если по аналогии перехода от действительных чисел к комплексным, удвоить размерность и образовать числа вида из пары комплексных чисел, получается 4-мерная система с тремя мнимыми единицами и числами вида , которые называются кватернионами.
При этом (изначально называем произведение 1-й и 2-й мнимых единиц некоторой третьей мнимой единицей).
Получается антикоммутативная система с умножением:
, , , , , .
. Умножение на 1 сохраняет любой объект неизменным.
Таблица умножения базисных элементов системы кватернионов.
1 | ||||
1 | 1 | |||
Законы умножения в системе кватернионов , , легко запомнить, если представить с помощью цикла:
При умножении каждой пары получается следующий, если двигаться строго по часовой стрелке. Мнимые единицы системы кватернионов подчиняются таким же законам, как векторное умножение в 3-мерном пространстве. , , . Векторное произведение пары векторов есть общий перпендикуляр к ним, причём так чтобы получалась правоориентированная тройка.
Как и для комплексных чисел, здесь есть понятие «сопряжённый кватернион». Если то . При этом ,
=
=
но система антикоммутативна, т.е. , поэтому все эти суммы в скобках равны 0, вот и остаётся .
вводится понятие модуля кватерниона: = .
Кватернионы не образуют поле, так как умножение не коммутативно.
«Тело кватернионов».
Алгебра «октав» - 8-мерная алгебра, полученная с помощью удвоения системы кватернионов.
=
.
Алгебра матриц вида
изоморфна алгебре кватернионов.
Достаточно доказать это, рассмотрев только умножение базисных единиц.
1 соответствует , , очевидно, что умножение 1 на любой элемент сохраняет его.
соответствует ситуации .
соответствует ,
соответствует ,
: = .
Аналогично проверяются и другие равенства.
Целые p-адические числа
Для фиксированного простого числа рассмотрим такие последовательности неотрицательных чисел: , где
и .
(разность делится на ).
Сложение и умножение таких последовательностей будем производить покомпонентно с последующим переходом на каждом месте к вычету по модулю .
Пример. .
и .
1 и 2 < 3, 7 и 5 < 9, 25 и 14 < , 52 и 68 < .
, , ,
, , ,
Сумма:
+ = рассмотрим по модулю, то есть остатки: .
Произведение:
* = рассмотрим по модулю, то есть остатки: .
* = .
Единица по умножению. Для неё выполнено.
.
Для суммы и произведения условие также выполнено, т.к. сравнения можно складывать и умножать,
, ,
Таким образом, мы получили коммутативное кольцо , которое называется кольцом целых -адических чисел.
Другой способ записи -адических чисел.
Положим , . Все обязательно получатся целыми, так как .
Причём .
, ,...
Тогда , = .
, = .
Таким образом, .
То есть, каждому -адическому числу можно поставить в соответствие бесконечный ряд , где все .
При такой записи чисел, сложение и умножение производится просто как в -ичной системе счисления.
В рассмотренном примере:
=
= .
Ранее мы находили сумму: , запишем её в виде ряда:
(то же самое).
Ранее мы находили произведение: тоже запишем в виде ряда:
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!