Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Топ:
Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного...
Особенности труда и отдыха в условиях низких температур: К работам при низких температурах на открытом воздухе и в не отапливаемых помещениях допускаются лица не моложе 18 лет, прошедшие...
Выпускная квалификационная работа: Основная часть ВКР, как правило, состоит из двух-трех глав, каждая из которых, в свою очередь...
Интересное:
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Дисциплины:
2021-06-30 | 31 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
ЛЕКЦИЯ 13. 25.3.2021.
Поле комплексных чисел.
Поле действительных чисел не содержит корни некоторых многочленов, например . В общем случае, если уравнение имеет отрицательный дискриминант, т.е. , то на действительной оси корней нет. Существует система обобщённых чисел, где и такие уравнения тоже имеют решения. Комплексные числа геометрически соответствуют точкам на плоскости, где действительная ось - это горизонтальная ось Ох в данной плоскости. «Мнимая единица» «квадратный корень из минус 1». При этом .
Горизонтальная ось отождествляется со множеством действительных чисел, а мнимая ось, содержащая , перпендикулярна оси действительных чисел.
Числовые множества: .
Каждой точке на плоскости с координатами можно поставить в соответствие комплексное число, состоящее из действительной и мнимой части: . Проекция на действительную и мнимую ось называются действительной частью и мнимой частью комплексного числа. , .
Если , то число это действительное число.
Сложение и вычитание комплексных чисел определяется покоординатно, как для обычных векторов в плоскости.
= .
Для вычитания аналогично: = .
Умножение.
= , учитывая тот факт, что ,
получаем = .
Таким образом, после раскрытия скобок, надо просто учесть и привести подобные.
Пример. = = .
Определение. число называется сопряжённым к .
Умножим два взаимно сопряжённых комплексных числа:
= = = , получилось действительное число. Мы заметили, что при умножении на сопряжённое мнимая часть станет 0. Этот факт можно использовать для процедуры деления. Если домножить на сопряжённое в знаменателе, то там получится действительное число, и это даст возможность разбить на сумму двух дробей. При этом, конечно, в числителе тоже домножаем на сопряжённое к знаменателю, чтобы дробь не изменилась.
|
= = =
Обозначения
Теорема. 1) является полем.
2) является подполем поля .
Доказательство. 1)
- абелева группа. Коммутативность и ассоциативность по сложению очевидна, нейтральный элемент , противоположный .
Коммутативность по умножению:
Ассоциативность по умножению:
=
.
=
.
Нейтральный элемент по умножению :
= .
Для любого числа, кроме 0, существует обратное:
= = = .
Дистрибутивность.
= =
=
.
=
=
.
2) Поле действительных чисел является подполем (см. критерий подполя: разность и , если ).
Лемма. Поле комплексных чисел изоморфно полю матриц вида .
Доказательство. Рассмотрим отображение и докажем, что это изоморфизм. , .
Докажем, что сумма комплексных чисел соответствует сумме матриц, а произведение - произведению матриц.
= .
= .
Замечание. Обратный элемент тоже можно искать с помощью матриц, обратной матрицы.
Определитель , .
Доказательство.
Сложим и .
= , тогда .
Вычтем и .
= , тогда .
- - - Перерыв - - -
Тригонометрическая форма комплексного числа. Введём величину тогда можно представить в таком виде: , (вспомнить: полярные координаты) для некоторого , ведь геометрически в этом случае - катеты прямоугольного треугольника, - его гипотенуза. Заметим, что .
Абсцисса и ордината точки на плоскости это проекции на оси, они равны и соответственно. Эти величины и и есть полярные координаты точки на плоскости. Если записать комплексное число с помощью введённых выше величин и , получим: = = .
Выражение называется тригонометрической формой комплексного числа, - его аргументом, - модулем.
.
Понятие модуля согласуется с известным понятием, применявшимся раньше для отрицательных чисел: модуль - расстояние по кратчайшей линии до начала координат.
|
Для любой точки модуль вычисляется как . Для вычисления аргумента верна формула если точка в 4-й и 1-й четверти, либо , если во 2-й и 3-й четверти.
Так, число запишется в виде = .
Число = .
Если вычислить синус и косинус, то снова перейдём к обычной, «алгебраической» форме числа:
= = .
Действительное число имеет аргумент 0 (если оно положительно) или (если оно отрицательно).
Угол может определяться разными способами, так, например, вместо угла во всех вычислениях для комплексных чисел в тригонометрической форме можно использовать , и это не будет ошибкой, так как тригонометрические функции повторяются через промежуток .
Доказательство.
= =
=
используем известные тригонометрические формулы косинуса суммы и синуса суммы, и получим .
Примеры.
Умножить . Во-первых, это можно сделать и без триг.формы:
= = .
В тригонометрической форме: (используем представление чисел, которое сделали ранее).
= . = .
= =
= =
= .
= .
Формула деления двух комплексных чисел в тригонометрической форме: = .
Для её доказательства достаточно домножить на :
= = =
.
Доказательство.
Способ 1.
Производная по :
= = .
Способ 2. Разложение экспоненты по формуле Тейлора:
Тогда
Но , , ,...
Тогда теперь соберём в отдельные слагаемые все части, где нет , и где есть .
в 1 и 2 скобках - разложения и . Итак, , что и требовалось доказать.
ЛЕКЦИЯ 14. 27.3.2021.
Степени комплексных чисел в тригонометрической форме можно использовать для выведения различных формул тригонометрии, например, двойных и кратных углов.
Для степени 2:
, так как угол удваивается.
С другой стороны, можем просто раскрыть скобки при возведении в квадрат: =
. Сравнивая отдельно действительные и мнимые части, получим хорошо известные формулы:
= , = .
Для степени 3:
, по формуле Муавра.
с другой стороны, раскроем простым умножением, как в биноме Ньютона:
=
.
Совпадают комплексные величины, значит, совпадают их действительные и мнимые части. Приравняем их:
=
=
Впрочем, далее можно в тех местах, где квадрат синуса или косинуса, представить через основное триг. тождество, чтобы выразить через одну и ту же функцию:
= = ,
|
= = .
Корни степени n. Корни степени n вычисляются по формуле:
.
Доказательство. Если возведём в степень n, получим = .
Получается, что добавка после возведения в степень станет кратной , то есть точка, отстоящая на угол , просто опишет один лишний оборот вокруг начала координат, то есть к аргументу добавится 3600, и придёт в ту же точку, что и было бы без .
При получается n разных точек.
Докажем, что таким образом найдены все корни, и не существует какого-либо другого -го корня при каком-либо другом .
Возьмём . Тогда число можно поделить на (возможно, с остатком), а именно, , где . Рассмотрим выражение
=
=
=
=
, где ,
то есть нет нового корня, он совпадает с каким-то из ранее найденных.
Замечание. , два значения, частный случай.
= .
Две точки на окружности – через 180 град. Eсли число было положительным, то его аргумент был 0, и тогда по формуле то есть
= = , что и соответствует при и . К аргументу прибавляется по 360 / 2 = 180 градусов.
Пример. Найдите все значения корня .
Сначала представим комплексное число, которое находится под знаком корня, в тригонометрической форме.
Точка расположена на мнимой оси выше начала координат, поэтому аргумент , модуль .
- представление в триг. форме.
Теперь находим все 3 корня.
при k = 0,1,2. , отсюда:
1) k=0: = =
2) k=1: = =
3) k=2: = =
Чертёж:
Если к исходному углу добавить 120 градусов, то для куба этого числа добавится 360 градусов, и результат будет точно такой же. С этим фактом как раз и связано наличие лишнего слагаемого в формуле.
Квадратные корни из -1:
,
= ,
Углы 90 и 270 град.
1) k=0 =
2) k=1 =
- - - Перерыв - - -
Корни из единицы.
Так как , то корни из 1 имеют вид:
Само число 1, очевидно является корнем любой степени n из 1, и это значение получается при . Обозначим этот корень ,
, ,...
Множество корней из 1 обозначим: .
Теорема 1. 1) абелева группа.
2) , группа корней степени n из единицы изоморфна аддтитивной группе вычетов по модулю n.
Доказательство.
1) Так как - кольцо, то - абелева группа, причём . Тогда достаточно доказать, что подгруппа в с помощью критерия подгруппы.
|
Пусть - два различных корня. Покажем, что , то есть является каким-то корнем из 1.
= , поделим в тригонометрической форме,
получим = , а как доказано ранее, любое число такого вида совпадает с каким-либо из n корней из единицы (поделить с остатком, получить на месте число из множества ).
2) Изоморфизм можем задать так: .
= , где , остаток от деления на , если , и если . При этом верно и в группе вычетов (если , то класс вычетов определяется остатком от деления на ).
Определение. Группа называется циклической, если существует элемент , такой, что любой элемент из является его степенью. В этом случае говорят, что группа порождается элементом , обозначение .
Лемма. - циклическая группа.
Доказательство. Для всякого , =
.
Определение. Корень -й степени из 1 называется первообразным, если он не является корнем из 1 с меньшим, чем , натуральным показателем, то есть , но ни при каком : .
Пример. корни 4 степени из 1. Но и 1 ещё и в квадрате, а не только в 4 степени, равны 1, то есть для . А вот корни первообразные.
Лемма. Корень первообразный для любого n.
Док-во: при , , и это число в степени не может быть = 1.
Теорема 2. Число есть первообразный корень -й степени из 1 (взаимно просты).
ЛЕКЦИЯ 15. 1.4.2021
Лемма. Сумма всех корней степени из 1 равна 0.
Доказательство. Пусть .
Но , ,..., (при умножении на каждая точка поворачивается на угол и переходит в следующую).
Тогда , так как это сумма тех же комплексных чисел. Но при этом . Значит, .
Доказательство.
Рассмотрим для действительного числа и покажем, что данные функции, а именно и , приведут именно к обычному синусу и косинусу действительного числа, т.е. они обобщают синус и косинус. Используя формулу Эйлера,
1) = = =
2) = = =
Неограниченность синуса и косинуса в комплексной плоскости.
Пример. .
Вычислим: = = .
Логарифм комплексного числа.
Обобщённый логарифм вводится с помощью формулы:
()
Доказательство.
Проверим, совпадает ли и при любом целом .
= = = =
=
синус и косинус не зависят от прибавления угла, кратного , поэтому получаем .
А это уже и есть тригонометрическая форма комплексного числа.
Итак, = .
Если вычислять логарифм положительного действительного числа, то , т.е. одна точка из бесконечного множества попадает на действительную ось, потому что исходный угол . Для любого числа, которое не является действительным положительным, , поэтому происходит сдвиг этой последовательности на часть деления, и ни одна точка не попадёт на действительную ось.
Пример. Вычислить .
Здесь , . Поэтому = .
Точки в комплексной плоскости: , , , и так далее.
|
Ни одного значения на действительной оси нет, и здесь, по сравнению со значениями логарифма положительного числа, сдвиг на половину деления: одна точка ушла вверх с действительной оси, а другая ещё не достигла этой оси. Чертёж:
Здесь легко сделать и проверку: = = = , то есть действительно, .
Пример. Вычислить .
= . Последовательность значений такова: каждая соседняя пара отличается на по высоте. Здесь сдвиг вверх всего на четверть деления, а не на половину, как для .
1) При фиксированном модуле исходного числа и увеличении его аргумента, эта последовательность точек плывёт вверх, при полном повороте на как раз следующая точка попадёт на место предыдущей.
2) При фиксированном аргументе исходного числа и увеличении его модуля, эта последовательность точек плывёт вправо, если исходная точка внутри единичной окружности то множество значений логарифма в левой полуплоскости, так как , а если вне единичной окружности, то в правой полуплоскости.
Динамическая анимация, показывающая поведение значений в зависимости от колебаний модуля или аргумента , показана в следующем обучающем видеоролике:
http://www.youtube.com/watch?v=LKFFn-TSLd0
Замечание. Единственная точка в комплексной плоскости, для которой не существует логарифма, это 0. Ведь в этом случае , и не существует .
Пример. Вычислить .
Решение. Представим , расположенную в основании, в виде . Тогда , причём чуть выше мы вычисляли
. Тогда = = т.е. получается бесконечное множество точек на действительной оси.
Для всякой функции можно отдельно выделить действительную и мнимую части, и представить в виде
. Таким образом, возникают понятия: действительная и мнимая часть функции, обозначения: , . Итак, комплексной функции можно поставить в соответствие некоторое отображение из в , а именно . Но график такого отображения был бы в 4-мерном пространстве, поэтому изобразить его в нашем 3-мерном пространстве невозможно. Но мы можем пользоваться неким подобием графика, а именно, рассматривать чертёж искажений плоскости, изучать, в какие линии отображаются горизонтальные либо вертикальные линии из исходной плоскости.
Пример. Разложить на сумму действительной и мнимой частей, изобразить искажения плоскости при переходе .
1) = = = .
Таким образом, , .
Чтобы исследовать, куда переходят горизонтальные прямые, зафиксируем , при этом изменяется от до , пусть движение задано с помощью параметра :
.
Чтобы составить уравнение, взаимосвязывающее , и узнать, какая это кривая, исключим параметр , выразив из второго уравнения: , тогда . Это парабола, лежащая на боку, ветвями направленная вправо, причём чем больше , тем левее вершина, и тем более пологая парабола получается, ведь при этом меньше. А если , то возникает предельный случай: обе ветви смыкаются в одну линию и образуют правую полуось. Действительная ось отображается на правую полуось в плоскости .
Аналогично, для какой-либо вертикальной прямой:
. Тогда, исключая параметр , получим . Это параболы, направленные ветвями влево, симметричные тем, что были рассмотрены чуть выше.
На чертеже зелёным цветом показаны горизонтальные прямые и их образы при отображении , а красным - вертикальные прямые и их образы:
Примечание. 4-мерный график можно было бы рассматривать таким образом: нужно как минимум 4 проекции на координатные пространства, а именно 0xyz, 0xzw, 0xyw, 0yzw.
Либо можно рассмотреть 2 поверхности, построенные по функциям и .
Линейные пространства над С
Над полем комплексных чисел тоже, как и над R, можно рассматривать линейные пространства различной размерности. Рассмотрим, чем отличается строение скалярного произведения в этом случае, и каким будет аналог евклидового пространства.
Напомним, что в линейном пространстве над полем задано евклидово скалярное произведение, если задана функция , т.е. каждой паре векторов можно однозначно поставить в соответствие число , причём:
1)
2) ,
3)
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!