Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Топ:
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного хозяйства...
Устройство и оснащение процедурного кабинета: Решающая роль в обеспечении правильного лечения пациентов отводится процедурной медсестре...
Определение места расположения распределительного центра: Фирма реализует продукцию на рынках сбыта и имеет постоянных поставщиков в разных регионах. Увеличение объема продаж...
Интересное:
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Дисциплины:
2021-06-30 | 31 |
5.00
из
|
Заказать работу |
Умножение, и особенно деление комплексных чисел чаще всего бывает легче выполнять в тригонометрической форме, чем в алгебраической, так как для деления не нужно домножать на сопряжённое в знаменателе.
Формула:
Доказательство.
= =
=
используем известные тригонометрические формулы косинуса суммы и синуса суммы, и получим .
Таким образом, для умножения двух комплексных чисел, представленных в тригонометрической форме, достаточно просто умножить их модули и сложить аргументы.
Заметим, что при умножении на мнимую единицу , а именно при действии , фактически вектор на плоскости переходит в , то есть как раз и прибавляется аргумент числа , то есть 90 0.
Примеры.
Умножить . Во-первых, это можно сделать и без триг.формы:
= = .
В тригонометрической форме: (используем представление чисел, которое сделали ранее).
= . = .
= =
= =
= .
= .
Формула деления двух комплексных чисел в тригонометрической форме: = .
Для её доказательства достаточно домножить на :
= = =
.
Для деления двух комплексных чисел, представленных в тригонометрической форме, нужно поделить их модули и вычесть аргументы.
Поделить .
= , = . Тогда
= =
= = .
Формула Эйлера
Доказательство.
Способ 1.
Производная по :
= = .
Способ 2. Разложение экспоненты по формуле Тейлора:
Тогда
Но , , ,...
Тогда теперь соберём в отдельные слагаемые все части, где нет , и где есть .
в 1 и 2 скобках - разложения и . Итак, , что и требовалось доказать.
Показательная форма комплексного числа.
По формуле Эйлера, выражение может быть записано в виде .
Так, например, мнимой единице соответствует аргумент и модуль 1, поэтому запись в тригонометрической и показательной формах такова: .
=
Умножение и деление в показательной форме.
В показательной форме.
= .
Пример. Поделить .
Решение. = = = =
= .
Формула Муавра, степень. Корни.
Возводить комплексные числа в степень можно с помощью такой формулы:
она называется формулой Муавра и позволяет не перемножать множество скобок, если требуется вычислить большую степень числа.
Доказательство. Если умножим в тригонометрической форме не два разных числа, а одно и то же число , то получим:
= .
Таким же образом можно умножить в третий раз и снова в аргументе прибавится , а модуль снова умножится на .
=
=
Таким образом, по индукции, можно доказать, что
= .
Но ещё легче возводить в степень с помощью показательной формы числа: , здесь даже доказывать по индукции нет необходимости.
Пример. Найти по формуле Муавра.
Вычислим модуль и аргумент.
.
По формуле Муавра, = = = 16.
В показательной форме: = = = 16.
ЛЕКЦИЯ 14. 27.3.2021.
Степени комплексных чисел в тригонометрической форме можно использовать для выведения различных формул тригонометрии, например, двойных и кратных углов.
Для степени 2:
, так как угол удваивается.
С другой стороны, можем просто раскрыть скобки при возведении в квадрат: =
. Сравнивая отдельно действительные и мнимые части, получим хорошо известные формулы:
= , = .
Для степени 3:
, по формуле Муавра.
с другой стороны, раскроем простым умножением, как в биноме Ньютона:
=
.
Совпадают комплексные величины, значит, совпадают их действительные и мнимые части. Приравняем их:
=
=
Впрочем, далее можно в тех местах, где квадрат синуса или косинуса, представить через основное триг. тождество, чтобы выразить через одну и ту же функцию:
= = ,
= = .
Корни степени n. Корни степени n вычисляются по формуле:
.
Доказательство. Если возведём в степень n, получим = .
Получается, что добавка после возведения в степень станет кратной , то есть точка, отстоящая на угол , просто опишет один лишний оборот вокруг начала координат, то есть к аргументу добавится 3600, и придёт в ту же точку, что и было бы без .
При получается n разных точек.
Докажем, что таким образом найдены все корни, и не существует какого-либо другого -го корня при каком-либо другом .
Возьмём . Тогда число можно поделить на (возможно, с остатком), а именно, , где . Рассмотрим выражение
=
=
=
=
, где ,
то есть нет нового корня, он совпадает с каким-то из ранее найденных.
Замечание. , два значения, частный случай.
= .
Две точки на окружности – через 180 град. Eсли число было положительным, то его аргумент был 0, и тогда по формуле то есть
= = , что и соответствует при и . К аргументу прибавляется по 360 / 2 = 180 градусов.
Пример. Найдите все значения корня .
Сначала представим комплексное число, которое находится под знаком корня, в тригонометрической форме.
Точка расположена на мнимой оси выше начала координат, поэтому аргумент , модуль .
- представление в триг. форме.
Теперь находим все 3 корня.
при k = 0,1,2. , отсюда:
1) k=0: = =
2) k=1: = =
3) k=2: = =
Чертёж:
Если к исходному углу добавить 120 градусов, то для куба этого числа добавится 360 градусов, и результат будет точно такой же. С этим фактом как раз и связано наличие лишнего слагаемого в формуле.
Квадратные корни из -1:
,
= ,
Углы 90 и 270 град.
1) k=0 =
2) k=1 =
- - - Перерыв - - -
Корни из единицы.
Так как , то корни из 1 имеют вид:
Само число 1, очевидно является корнем любой степени n из 1, и это значение получается при . Обозначим этот корень ,
, ,...
Множество корней из 1 обозначим: .
Теорема 1. 1) абелева группа.
2) , группа корней степени n из единицы изоморфна аддтитивной группе вычетов по модулю n.
Доказательство.
1) Так как - кольцо, то - абелева группа, причём . Тогда достаточно доказать, что подгруппа в с помощью критерия подгруппы.
Пусть - два различных корня. Покажем, что , то есть является каким-то корнем из 1.
= , поделим в тригонометрической форме,
получим = , а как доказано ранее, любое число такого вида совпадает с каким-либо из n корней из единицы (поделить с остатком, получить на месте число из множества ).
2) Изоморфизм можем задать так: .
= , где , остаток от деления на , если , и если . При этом верно и в группе вычетов (если , то класс вычетов определяется остатком от деления на ).
Определение. Группа называется циклической, если существует элемент , такой, что любой элемент из является его степенью. В этом случае говорят, что группа порождается элементом , обозначение .
Лемма. - циклическая группа.
Доказательство. Для всякого , =
.
Определение. Корень -й степени из 1 называется первообразным, если он не является корнем из 1 с меньшим, чем , натуральным показателем, то есть , но ни при каком : .
Пример. корни 4 степени из 1. Но и 1 ещё и в квадрате, а не только в 4 степени, равны 1, то есть для . А вот корни первообразные.
Лемма. Корень первообразный для любого n.
Док-во: при , , и это число в степени не может быть = 1.
Теорема 2. Число есть первообразный корень -й степени из 1 (взаимно просты).
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!