Использование интерполяционных формул.

 

Предположим, что функ. задана с помощью таблицы, где x меняется с постоянным шагом h. Используем интерполяционный многочлен Ньютона, для приближения функции.

 

y≈P(x₀+ht)=y₀+t∆y₀+(t(t–1)/2!)∆²y₀+...+(t(t–1)...(t–n+1)/n!)∆ⁿy₀; t=(x–x₀)/h;

Имеем:

 

dP/dx=(dP/dt)(dt/dx)=

(1/h)(dP/dt);

y’≈(1/h)(∆y₀+((2t–1)/2!)∆²y₀+

((3t²–6t+2)/3!)∆³y₀+…);

С учётом быстрого убывания ∆^ky₀/k! можно ограничится несколькими первыми слагаемыми.

 

y’’≈(1/h²)(∆²y₀+(t–1)∆³y₀+…);

Внашем случае приходится использовать конечные разности и чаще используют интерполяционный многочлен Лагранжа, где нужны только значения функ. в узлах.

 

Пусть задана таблица, причём шаг h может быть непостоянным. Запишем многочлен Лагранжа для трёх узлов (n=2):

 

L_n(x)=∑_i=0ⁿy_i((x–x₀)...(x–x_i-1)(x–x_i+1)...(x–x_n))/((x_i–x₀)...(x_i–x_i-1)(x_i–x_i+1)...(x_i–x_n)); Для трёх узлов (шаг h постоянный):

 

L₂(x)=(1/(2h²))((x–x₁)(x–x₂)y₀–2(x–x₀)(x–x₂)y₁+(x–x₁)(x–x₀)y₂); Погрешность:

R(x)=(y’’’(ξ)/3!)(x–x₀)(x–x₁)(x–x₂);

Найдём:

 

y’≈L’₂(x)=(1/(2h²))((2x–x₁–x₂)y₀–2(2x–x₀–x₂)y₁+(2x–x₁–x₀)y₂); R’(x)=(y’’’(ξ)/3!)[(x–x₁)(x–x₂)+(x–x₀)(x–x₂)+(x–x₁)(x–x₀)];

Найдём y’₀ при x=x₀;

2x₀–x₁–x₂=x₀–x₁+x₀–x₂;

y’≈ (1/(2h²))(–3hy₀+4hy₁–hy₂)=(1/(2h))(–3y₀+4y₁–y₂);

Найдём R’(x) в точке x₀:

R’(x₀)=(y’’’(ξ)/3!)(–3h²)=–(y’’’(ξ)/2)h²;

т.е. ошибка O(h²).

Аналогично получаем:

y’₁=y’(x₁)=(1/(2h))(y₂–y₀)–(h²/6)y’’’(ξ);

y’₂=y’(x₂)=(1/(2h))(y₀–4y₁–3y₂)+(h²/3)y’’’(ξ);

Для вторых производных:

y’’₀=y’’₂=(1/h²)(y₀–2y₁+y₂)+O(h);

y’’₁=(1/h²)(y₀–2y₁+y₂)+O(h²);

 

Аппроксимация частных производных

 

28.Уравнения в частных производных. Построение разностных схем. ТУРЧАК Если функ. содержит более одной переменной и рассматривается диф. ур., то

 

возникает частная производная, и такие уравнения наз. ур. в частных производных или ур. мат. физ.

Наиболее известные уравнения:

1) Ур. тепло-массо переноса: U_t = a² U_xx.

2) Ур. колебаний струны: U_tt = a² U_xx.

 

3) Распределение температуры в плоской пластине при заданной температуре на

границе: U_xx + U_yy = 0; U|_г = φ(x, y).

Среди численных методов наиболее распространёнными явл. разностные методы, они

основаны на том, что производные заменяются разностными аналогами

(аппроксимируются конечными разностями) и получаем вместо исходного ур. систему

лин. алг. ур. За начальное значение производных, начальное и граничное условие

 

выражаются через значения функ. в узлах сетки, в рез. чего и получается система лин.

алг. ур. наз. разностной схемой.

 

Рассмотрим простейшую схему на плоскости, т.е. пусть область G – прямоугольник с границами: a ≤ x ≤ b; c ≤ y ≤ d.

Разделим область на элементарные отрезки:

x_i = a + ih; 0 ≤ i ≤ I;

y_j = a + jh; 0 ≤ j ≤ J;

Через эти точки проведём прямые: x = const; y = const.

 

 

Узлы сетки лежащие на границе Г области G, наз. граничными, не лежащими на границе – вн. узлами.т.к. кроме самого ур. задаются граничные начальные условия, то значения функ. в граничных узлах можно считать заданными. Производные в ур. мы заменяем их разностными аналогами, пользуясь тем или иным шаблоном.

 

Построение разностных схем.

Рассмотрим ур. теплопроводности и разностную схему:

(∂U/∂t) = a² (∂²U/∂x²); (1) 0 ≤ x ≤ 1;

U(x; 0) = φ(x); (2)

U(0; t) = ψ₁(t); (3)

U(l; t) = ψ₂(t); (4)

φ(x) –начальное распределение температуры.

ψ₁(t), ψ₂(t) –распределение температуры на концах стержня в любой момент времени.

Должно выполняться условие согласования: φ(0) = ψ₁(0); φ(1) = ψ₂(0).

Введём сетку: x_i = ih;

t_j = jτ;

h, τ –шаги сетки.

Обозначим значения функции U^j_i = U(x_i, t_j).

Из аппроксимации в частных производных имеем:

(1) => (U_i^j+1 – U^j_i)/τ = a² (U^j_i+1 – 2U^j_i + U^j_i-1)/h²;

i = 1,…, I – 1;

 

j = 0,…, J;