Нахождение приближающей функции

 

в виде других элементарных функций

1. Степенная функция: y=a x^m

Прологарифмируем: ln y = ln a + m ln x

 

Замена: m = A, ln a = B ln y = v ln x = u

Получим функцию v = A u + B

 

2. Показательная функция: y=a e^mx Прологарифмируем: ln y = ln a + m x

 

Замена:		m = A,	ln a = B		ln y = v	x = u
Получим функцию	v = A u + B
3. Дробно-линейная функция:
y =
ax + b
Откуда		= ax + b
	y

 

 

Замена: a = A, b = B

 

 

	= v	x = u
y

 

Получим функцию v = A u + B

 

4. Логарифмическая функция: y=a ln x + b

Замена: a = A, b = B y = v

Получим функцию v = A u + B

 

5. Гипербола: y = ^a_x + b

 

Замена:

a = A,

b = B

y = v

Получим функцию

v = A u + B

6. Дробно-рациональная функция:

y =

x

ax + b

Откуда:

=

ax + b

;

= a +

b

y

y

x

x

Замена:

a = B,

b = A

= v

y

Получим функцию

v = A u + B

 

ln x = u

 

 

¹ _x = u

 

¹ _x = u

 

 

Программа нахождения уравнения регрессии методом наименьших квадратов:

program lin_regr; { *** Уравнение регрессии *** }

const p=30;

var x,y,u,v: array [1..p] of real;

i,j,n,k,m: byte;

d,a,b,s,s1,s2,s3,s4: real;

begin

 

Write('Введите N - число пар таблицы - ');Readln(N); Writeln('Введите попарно координаты точки X Y - ');

 

For i:=1 to n do readln(x[i],y[i]);

Repeat

 

Writeln('Выберите вид уравнения регрессии,'); Writeln(' параметры которого хотите рассчитать');

Writeln('1) y = A * x + B 2) y = A * x^M 3) y = A * exp(M * x)');

Writeln('Введите номер выбранного варианта - '); Readln(k);

s1:=0; s2:=0; s3:=0; s4:=0;

 

For i:=1 to n do

begin

case k of

1: begin U[i]:=X[i]; V[i]:=Y[i] end;

2: begin U[i]:=ln(X[i]); V[i]:=ln(Y[i]) end;

3: begin U[i]:=X[i]; V[i]:=ln(Y[i]) end;

 

end;

s1:=s1+U[i]; s2:=s2+v[i];

s3:=s3+U[i]*V[i]; s4:=s4+U[i]*U[i]

end;

D:=N*s4-sqr(s1);

A:=(N*s3-s1*s2)/d; B:=(s4*s2-s1*s3)/d;

s:=0;

 

Writeln(' Y[i] V[i] (Y[i]-V[i])^2 S');

For i:=1 to n do

begin V[i]:=A*U[i]+B;

if (k=2) or (k=3) then V[i]:=exp(V[i]);

s:=s+sqr(Y[i]-V[i]);

writeln(y[i]:10:6,V[i]:15:6,sqr(y[i]-v[i]):15:6,' s=',s:10:6)

 

end;

Writeln('Уравнение линии регрессии');

case k of

1: Writeln('y = ',A:10:6,' * x + ',B:10:6);

2: Writeln('y = ', exp(B):10:6,'* x^',A:10:6);

3: Writeln('y= ', exp(B):10:6, '*exp(',A:10:6,'*X)');

end;

 

Writeln('Если хотите использовать другой вид уравнения регрессии,'); Write('введите 1, иначе 0 - '); Readln(m); Until m=0;

 

end.

{ Для нелинейных уравнений вводят линеаризацию следующим образом:

1) для степенной функции y=ax^m: ln(y)=ln(a)+m•ln(x);

 

ln(y)=Y, m=A, ln(a)=B, ln(x)=X.

Получаем Y=AX+B.

2) для показательной функции y=a•e^mx, a>0: ln(y)=ln(a)+mx;

 

ln(y)=Y, ln(a)=B, m=A.

 

Получаем Y=Ax+B.

 

3) для дробно-линейной функции y=1/(ax+b): перепишем ур.: 1/y=ax+b;

 

1/y=Y.

Получаем Y=ax+b.

 

4) для логарифмической функции y=a•ln(x)+b: ln(x)=X.

 

Получаем y=aX+b.

 

5) для гиперболической функции y=(a/x)+b: 1/x=X.

 

Получаем y=aX+b.

 

6) для дробно-линейной функции y=x/(ax+b): перепишем ур.: 1/y=a+(b/x);

 

1/y=Y, a=B, 1/x=X, b=A.

 

Получаем Y=AX+B.

Для заданного набора данных (x_i, y_i) рассматривают несколько зависимостей и

выбирают такую, где функционал F меньше остальных.

Далее МНК применяем также как и к линейной функции:

Покажем как найти min F=∑_i=1ⁿ(φ(x_i)–y_i)²; для лин. функ.: φ(x)=ax+b – лин. функ.

Задача, найти a и b так, чтобы F(a, b) достигала min.

 

F(a, b) –функ.двух переменных,необходимое условие экстремума(в данном случае min)–равенство 0 частных производных.

Составим: F(a, b)=

∑_i=1ⁿ(y_i–(ax_i+b))²;

Условие минимума: ∂F/∂a=0 и ∂F/∂b=0;

 

Сист. двух ур. с двумя неизвестными a и b (такая система наз. нормальной) (метод наименьших квадратов МНК).

∂F/∂a=–2∑_i=1ⁿ(y_i–(ax_i+b))x_i;

∂F/∂b=–2∑_i=1ⁿ(y_i–(ax_i+b));

таким образом сист. норм. ур. запишется в виде:

{∑_i=1ⁿ(y_i–ax_i–b)x_i=0;

|∑_i=1ⁿ(y_i–ax_i–b)=0;

{∑_i=1ⁿy_ix_i–a∑_i=1ⁿx_i²–b∑_i=1ⁿx_i=0;

|∑_i=1ⁿy_i–a∑_i=1ⁿx_i–nb=0;

Введём обозначение:

M_x=(1/n)∑_i=1ⁿx_i;

M_y=(1/n)∑_i=1ⁿy_i;

M_xy=(1/n)∑_i=1ⁿy_ix_i;

M_x2=(1/n)∑_i=1ⁿx_i²;

Система запишется:

{aM_x2+bM_x=M_xy;

|aM_x+b=M_y;

a=(M_xy–M_xM_y)/(M_x2–(M_x)²);

 

b=(M_x2M_y–M_xM_xy)/(M_x2–(M_x)²);}