И так далее. Частота генератора выбирается больше, чем частота

импульсы, ω 0 > ω = 2 π / T; следовательно, стробоскопически наблюдаемая точка движется по

цикл. (б) Синхронизация путем сброса. Периодические импульсы, приложенные к точке в

Положение 2 переустановите его в положение 1, тем самым компенсируя рассогласование фаз из-за

Отстройка. Между импульсами фаза меняется, как в автономной системе.

Стр. Решебника 87

Синхронизация внешней силой: расширенное обсуждение

65

расстройка, 14 и (φ n + ν) описываетсбросвыделеннойфазыспомощью (n +1) -го

пульс. Условием синхронизации является равенство φ n +1 и φ n. Отображение

φ n → φ n +1 известен в нелинейной динамике как отображение окружности. Этот мощный инструмент

Подробно обсуждается в разделе 7.3, и здесь мы переходим к качественному обсуждению

Синхронизации.

3.2.4

Синхронизация высшего порядка. Языки Арнольда

До сих пор мы всегда предполагали, что частота автономного генератора

Отличается от частоты внешней силы, но близка к ней, и синхронизация

Понималось как регулировка этих частот в результате принуждения, так что

Они становятся равными. Здесь мы показываем, что синхронизация также может появляться в более

Сложная форма. Мы продолжаем рассматривать осциллятор с периодическим срабатыванием и предположим, что

Теперь, когда пропускается каждый второй импульс. Следовательно, осциллятор автономен.

В интервале времени 2 T, и точка цикла эволюционирует в течение этого интервала от

позиции с 1 по 3. Из рис. 3.18 видно, что импульс достаточно большой амплитуды

может компенсировать рассогласование фаз 2 ν, полученноепослепредыдущегосброса.

Таким образом, осциллятор с частотой ω 0 может быть увлечен силой, имеющей частоту

близкая (но не обязательно равная!) к ω 0/2, и тогда возникает синхронизация

14 Для произвольного предельного цикла фаза линейно растет со временем (см. Раздел 2.2), поэтому ν

Постоянно. Следовательно, наше рассмотрение справедливо в общем случае: оно не означает, что точка

равномерно вращается по циклу. Отметим также, что здесь φ + 2 π считается

эквивалентно φ.

2 ν

2Т

1

2

3

а)

(б)

3

2

1

1

2

3

Рисунок 3.18. Синхронизация генератора последовательностью импульсов с периодом 2 Тл.

(а) Между двумя импульсами точка перемещается из положения 1 в положение 3.

(b) Синхронизация может быть достигнута, даже если пропускается каждый второй импульс, но

амплитуда импульсов должна быть больше (см. рис. 3.17b).

Стр.88

66

Синхронизация периодического осциллятора внешней силой

как начало следующего соотношения между частотами: 2 ω =. Этотрежим

Называется синхронизацией порядка 2: 1. Очевидно, увлечение каждой третьей

Импульс также может быть достигнут, хотя для этого потребуется еще более высокая амплитуда

Импульсы для той же отстройки. Как правило, синхронные режимы произвольного порядка

n: m (n импульсов в течение m колебательных циклов) можно наблюдать, и все семейство

Можно построить области синхронизации (рис. 3.19). Эти регионы сейчас обычно

- крикнул Арнольд языки.

Важно отметить, что языки высокого порядка обычно очень узкие, поэтому

Очень сложно (если не невозможно) наблюдать их экспериментально. Мы можем это объяснить

анализируя рис. 3.17 и снова 3.18. Мы видим, что при том же значении отстройки

Синхронизация порядка 2: 1 требует существенно большей амплитуды импульсов. На

Наоборот, если амплитуда фиксирована, то сброс, скажем, через каждый второй импульс может

Компенсировать меньшую расстройку, чем сброс каждым импульсом, что означает, что именно

Область захвата частоты 2: 1 уже, чем область захвата 1: 1.

1

1: 3

/ 2

1: 2

2: 3

1: 1

/ 2

2: 1

/ 2

а)

(б)

/ 2

2

0

3 ω

0

3 ω

ω

0

ω

0

2 ω

ω

ω

0

0

ω 0

0

Ω / ω

2 ω 0

0

3 ω

ω

ε

3 ω

Рисунок 3.19. (а) Схематическое изображение языков Арнольда или областей n: m

синхронизация. Цифры наверху каждого язычка указывают порядок запирания;

например, 2: 3 означает, что выполняется соотношение 2 ω = 3. (б) Графикзависимости / ω от ω для

фиксированная амплитуда силы (показана пунктирной линией на (а)) имеет характеристику

форма, известная как лестница дьявола, полное изображение см. на рис. 7.16 (здесь вариант

Соотношения частот между ступенями не показано).

Стр.89

Синхронизация внешней силой: расширенное обсуждение

67

3.2.5

Пример: периодическая стимуляция кардиостимулятора предсердий.

Клетки

Проиллюстрируем изложенные выше теоретические соображения описанием

Эксперименты по периодической стимуляции спонтанно бьющихся агрегатов эм-

бриональные клетки предсердного сердца цыплят Монреальской группой [Guevara et al. 1981, 1989;

Гласс и Макки 1988; Zeng et al. 1990; Гласс и Шрайер 1991]. Рисунок 3.20.