Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
Топ:
Устройство и оснащение процедурного кабинета: Решающая роль в обеспечении правильного лечения пациентов отводится процедурной медсестре...
История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного хозяйства...
Интересное:
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Дисциплины:
2021-12-12 | 31 |
5.00
из
|
Заказать работу |
Выведем формулы для вычисления дифференциалов высших порядков:
, то есть
.
Аналогично вычисляется дифференциал любого −го порядка:
.
Дифференциалы сложной функции
Приведенные выше формулы справедливы только, если независимая переменная. Теперь рассмотрим случай, когда , где зависимая переменная. Тогда функция сложная функция аргумента и для ее дифференциала получим:
.
Форма дифференциала первого порядка имеет один и тот же вид (то есть инвариантна ) и в случае, когда зависимое переменное, и в случае, когда независимое переменное.
Теоремы о среднем
Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши
Рассмотрим ряд теорем, имеющих большое теоретическое и прикладное значение. В их формулировке фигурирует некоторая «средняя» точка, поэтому их называют теоремами о среднем. Иногда, в силу их значимости, эти теоремы называют основными теоремами дифференциального исчисления.
Теорема Ролля. Пусть функция
1) непрерывна на отрезке 2) дифференцируема на интервале ,
3) на концах отрезка принимает равные значения .
Тогда найдется хотя бы одна точка , в которой производная обращается в нуль, т.е. .
Теорема Лагранжа. Пусть функция непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале . Тогда найдется хотя бы одна точка такая, что
или .
.
Следствие. Если производная функции равна нулю на некотором промежутке, то функция постоянна на этом промежутке.
Теорема Коши. Пусть функции и
1) непрерывны на отрезке 2) дифференцируемы на интервале ,
3) на . Тогда найдется хотя бы одна точка такая, что
.
.
9.2.Правило Лопиталя
Правило Лопиталя применяется для раскрытия неопределенностей вида или с использованием производных и выводится с помощью рассмотренной теоремы Коши.
Теорема Лопиталя. Пусть 1) в выколотой окрестности точки функции дифференцируемы и 2) существует .
Тогда, в случае неопределенности или , справедливо правило Лопиталя:
.
Формула Тейлора
Во многих прикладных задачах требуется заменить сложную функцию многочленом , близким к в окрестности точки ,в том смысле, что
.
Введем ряд понятий.
1). Многочлен , удовлетворяющий условию (9.3), называется многочленом Тейлора −го порядка функции в окрестности точки .
2). Разность между функцией и её многочленом Тейлора обозначают : .
3). Формула , где −многочлен Тейлора, называется формулой Тейлора n -го порядка для функции , называется остаточным членом формулы Тейлора.
Теорема 9.1 (о виде многочлена Тейлора).
Пусть функция дифференцируема раз в окрестности точки . Тогда многочлен Тейлора го порядка функции имеет вид:
.
Используя вид многочлена Тейлора, запишем формулу Тейлора − го порядка:
.
При формула Тейлора называется формулой Маклорена и имеет вид:
Рассмотрим вид остаточного члена формулы Тейлора.
Теорема 9.2(об остаточном члене в форме Пеано).
Пусть функция дифференцируема раз в окрестности точки . Тогда остаточный член формулы Тейлора имеет вид:
при .
.
Эту формулу будем называть асимптотическим разложением го порядка функции в окрестности точки .
Теорема 9.3 (об остаточном члене в форме Лагранжа).
Пусть функция дифференцируема раз в окрестности точки . Тогда остаточный член формулы Тейлора в этой окрестности можно записать в форме
, (9.10)
где – некоторая точка между и .
Асимптотические разложения
Элементарных функций
.
.
.
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!