Предел и непрерывность функции одной переменной

Предел и непрерывность функции одной переменной

Понятие предела является одним из важнейших понятий математического анализа. Основные понятия математического анализа, такие как производная, интеграл, связаны с предельным переходом.

Для сокращения записи мы будем использовать символы  − любой и  − существует. Запись :  означает «для всякого элемента имеет место предложение ». Запись :  означает «существует элемент , для которого имеет место предложение ». Запись  означает «из предложения  следует предложение ». Запись означает, что  и  эквивалентны.

Для изучения пределов используется понятие окрестности точки.

Окрестности конечной точки и бесконечности

1). - окрестность конечной точки  обозначим  и определим как множество действительных чисел  таких, что  (рис.1):

 

2). - окрестность бесконечности обозначим  и определим как множество действительных чисел  таких, что  (рис.2). Итак,

.

3). - окрестность плюс бесконечности определим (рис.3) как

4). - окрестность минус бесконечности определим (рис 4) как

.

5). Введём понятие выколотой окрестности  точки , которая получается из окрестности  удалением точки :

Определение предела функции

Предел функции на языке окрестностей

Рассмотрим функцию  и предположим, что аргумент  стремится к числу  Если для всех , достаточно близких к , соответствующие значения функции   как угодно близки к числу , то число  называют пределом функции  при ; записывают это следующим образом:

 или  при .

Определение предела функции (на языке окрестностей)

Число  называется пределом функции  при , если для любого положительного числа  найдётся положительное число  такое, что значения функции  принадлежат -окрестности точки  для всех  из выколотой -окрестности точки

Это определение распространяется и на случаи, когда  и (или)  − «несобственные числа»  В дальнейшем это определение будем записывать кратко с помощью символов следующим образом:

 если для  такое, что  для 3.2. Предел функции на языке неравенств

Рассмотрим несколько случаев.

1). Пусть     и  – конечные числа. Тогда

 означает, что ;

 означает, что

и определение предела принимает вид:

если для  такое, что , как только

2). Пусть    - конечное число. Тогда

 означает, что ,

 означает, что

и определение предела принимает вид:

если для  такое, что , как только

3). Пусть   конечное число. Тогда

 означает, что ,

 означает, что

и определение предела принимает вид:

если для  такое, что  , как только

Предел последовательности

Числовая последовательность – это значения  функции натурального аргумента , расположенные в порядке возрастания аргумента

 …,  …

Другое обозначение последовательности: .

Примеры последовательностей:

1) , 2) .

Предел последовательности можно рассматривать как частный случай предела функции, а именно функции натурального аргумента  при  (обычно пишут ), т.е.

если для  такое, что  для

Если предел последовательности существует и конечен, то последовательность называют сходящейся. Если предел последовательности не существует или бесконечен, то её называют расходящейся

Бесконечно малые функции

Отношение бесконечно малых.

Неопределенность

В отличие от суммы и произведения, отношение бесконечно малых функций может иметь любой предел или даже его не иметь. Например, для функций , являющихся бесконечно малыми при , имеем:

,

Поэтому отношение бесконечно малых функций называют неопределенностью вида . Отыскание предела в случае неопределенности называют раскрытием неопределенности.

Первый замечательный предел

При вычислении пределов выражений, содержащих тригонометрические функции, часто используется  Он является неопределенностью .

Покажем, что

.                                 (5.1)

Это равенство называют первым замечательным пределом.

 

Следствие:  

Сравнение бесконечно малых

Бесконечно малые функции часто сравнивают между собой по «быстроте» стремления к нулю. Так, например, из двух функций  и  − бесконечно малых при , функция  стремится к нулю «быстрее», чем . Уточним, какой смысл вкладывается в слово «быстрее».

Пусть  и бесконечно малые функции при .

1). Если  конечен и отличен от нуля, то  и называют бесконечно малыми одного порядка и обозначают так:  при .

В частности, если  то  и называют эквивалентными бесконечно малыми и обозначают так: ~  при .

2). Если  то  называют бесконечно малой более высокого порядка, чем  и обозначают так:  при .

3). Если  то  и  будет бесконечно малой более

высокого порядка, чем  при .

4). Если  не существует, то  и называют несравнимыми бесконечно малыми при .

при .

Это вытекает из первого замечательного предела и его следствия.

 

Теорема 5.4 (об эквивалентных бесконечно малых). Пусть  при . Тогда

 

 

Бесконечно большие функции

Второй замечательный предел

.                   

Число e – иррациональное,

 

Это соотношение будет справедливо, если заменить натуральное число   на действительное число  или на действительное число :

            

Непрерывные функции

Одной переменной

Дифференциальное исчисление функции одной переменной изучает одно из основных математических понятий понятие производной и ее применение, в частности, для исследования функций.

Производная и дифференциал

Понятие производной широко используется при решении целого ряда задач математики, физики, других наук, в особенности при изучении скорости протекания различных процессов.

Определение производной

    Рассмотрим функцию . Придадим аргументу  приращение . Тогда функция  получит приращение , которое характеризует изменение функции  на отрезке . Средняя скорость изменения функции на этом отрезке равна , а скорость изменения функции  в точке  есть . Этот предел, если он существует, называется производной  функции  в точке . Итак, по определению

                              

Для функции  приняты и другие обозначения производной: .

Производная сложной функции

Пусть , а . Тогда сложная функция с промежуточным аргументом , независимым аргументом .

Теорема 8.3. Пусть функция  дифференцируема в точке , а функция  дифференцируема в соответствующей точке . Тогда сложная функция  дифференцируема в точке  и для ее производной справедлива формула: .

Итак, для нахождения производной сложной функции надо производную функции по промежуточному аргументу умножить на производную промежуточного аргумента по независимому аргументу.

Это правило остается в силе, если промежуточных аргументов несколько.

Таблица производных

Рассмотренные правила и формулы дифференцирования запишем в виде таблицы.

Правила дифференцирования

     1. ,

     2. , в частности, , где с − число,

     3. , в частности, , где с − число,

     4. , где ,

     5. .

Формулы дифференцирования

    1. , в частности, ;

    2. , в частности, ;

    3. , в частности, ;

    4. ;

    5. ;

    6. ;

    7. ;

    8. .

Производные высших порядков

Пусть  − дифференцируемая функция. Производная  также является функцией от . Ее производная , если она существует, называется производной второго порядка и обозначается , или , или . Аналогично , ,… Производной −го порядка функции называется производная от производной −го порядка:

 .

Теоремы о среднем

Формула Тейлора

Во многих прикладных задачах требуется заменить сложную функцию  многочленом , близким к  в окрестности точки ,в том смысле, что

.               

Введем ряд понятий.

1). Многочлен , удовлетворяющий условию (9.3), называется многочленом Тейлора −го порядка функции   в окрестности точки _.

2). Разность между функцией  и её многочленом Тейлора  обозначают : .

3). Формула , где −многочлен Тейлора, называется формулой Тейлора n -го порядка для функции ,   называется остаточным членом формулы Тейлора.

 

Теорема 9.1 (о виде многочлена Тейлора).

Пусть функция  дифференцируема  раз в окрестности точки . Тогда многочлен Тейлора го порядка функции  имеет вид:

.                           

Используя вид многочлена Тейлора, запишем формулу Тейлора  − го порядка:

 .                            

При  формула Тейлора называется формулой Маклорена и имеет вид:

        

Рассмотрим вид остаточного члена  формулы Тейлора.

Теорема 9.2(об остаточном члене в форме Пеано).

Пусть функция  дифференцируема  раз в окрестности точки . Тогда остаточный член формулы Тейлора имеет вид:

 при .                            

 .

Эту формулу будем называть асимптотическим разложением  го порядка функции  в окрестности точки .

 

Теорема 9.3 (об остаточном члене в форме Лагранжа).

Пусть функция  дифференцируема   раз в окрестности точки . Тогда остаточный член формулы Тейлора в этой окрестности можно записать в форме

,           (9.10)

где  – некоторая точка между   и .

 

 

Асимптотические разложения

Элементарных функций

 

                             

 

 

.       

        

.                    

 

.                          

 

 

Монотонность функции

К монотонным функциям относятся функции, возрастающие или убывающие на промежутке. Напомним, что функция возрастает (соответственно убывает) на интервале , если для любых точек  из этого интервала из неравенства  следует неравенство  (соответственно ).

 

 

Теорема 10.1 (критерий монотонности).

Дифференцируемая функция  возрастает (соответственно убывает) на интервале  тогда и только тогда, когда  (соответственно ) на интервале .

Экстремумы функции

Пусть функция  непрерывна на интервале , содержащем точку . Напомним ряд определений.

1). Точка  называется точкой максимум функции , если  для всех  из некоторой выколотой окрестности точки .

2). Точка  называется точкой минимума функции , если  для всех  из некоторой выколотой окрестности точки .

3). Точки максимума и минимума функции называют ее точками экстремума.

.

Теорема 10.2(необходимое условие экстремума).

Пусть функция  имеет экстремум в точке . Тогда производная  в точке  равна нулю или не существует.

 

 Точки экстремума, в которых , назовем точками гладкого экстремума. В таких точках касательная к графику функции параллельна оси

1). Точки экстремума, в которых  не существует, назовем точками острого экстремума.

2). Точки, в которых производная функции равна нулю или не существует, называют критическими точками функции

 

Для исследования критической точки на экстремум используют первое или второе достаточное условие экстремума.

 

Теорема 10.3 (первое достаточное условие экстремума).

Пусть функция  непрерывна в окрестности критической точки  и дифференцируема в выколотой окрестности точки . Если производная  при переходе (слева направо) через точку  меняет знак с плюса на минус, то  есть точка максимума; если с минуса на плюс, то точка минимума.

 

Теорема 10.4(второе достаточное условие экстремума).

Пусть 1) 2) .

Тогда, если нечетное, то в точке  экстремума нет;

если четное, то − точка экстремума, причем,

точка максимума при , точка минимума при .

Следствие. Пусть .

Если , то − точка максимума для ;

если , то − точка минимума для .

На отрезке

На практике часто встречаются задачи, в которых требуется найти наибольшее или наименьшее значение функции на отрезке. Напомним, что функция, непрерывная на отрезке, принимает на этом отрезке наибольшее и наименьшее значения. Эти значения она принимает либо в критических точках внутри отрезка, либо на концах отрезка. Поэтому для отыскания наибольшего и наименьшего значения непрерывной на отрезке  функции  следует:

1) найти критические точки функции на интервале ,

2) вычислить значения функции в этих критических точках (не исследуя их) и на концах отрезка,

3) из всех полученных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее.

Асимптоты графика функции

Асимптотой кривой называется прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой, стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки по кривой от начала координат.

 

Таблица основных интегралов

1. .

2. .

3.

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

 

Метод замены переменной

Во многих случаях введение новой переменной интегрирования позволяет свести данный интеграл к более простому. Такой метод называется методом замены переменной или методом подстановки.

     Пусть функция  непрерывно дифференцируема на промежутке и имеет обратную функцию . Тогда

  .                       

Выражение, стоящее в правой части этой формулы, означает, что после отыскания интеграла вместо  нужно подставить его выражение через .

 

При замене переменной в интеграле  нужно

а) заменить переменную   на функцию , заменить  на ,

б) вычислить получившийся интеграл,

в) результат выразить через первоначальную переменную .

Укажем некоторые рекомендации по выбору новой переменной. Пусть −рациональная функция, полученная из  с помощью сложения, вычитания, умножения, деления. Приведем рекомендации по выбору новой переменной.

Тип интеграла	Замена
	,  - наименьшее общее кратное чисел

Случай 4.

, где −рациональная функция от :

а) если , то следует подынтегральное выражение выразить через  и ,

б) в остальных случаях (не рассмотренных ранее) следует подынтегральное выражение выразить через  и .

 

Предел и непрерывность функции одной переменной

Понятие предела является одним из важнейших понятий математического анализа. Основные понятия математического анализа, такие как производная, интеграл, связаны с предельным переходом.

Для сокращения записи мы будем использовать символы  − любой и  − существует. Запись :  означает «для всякого элемента имеет место предложение ». Запись :  означает «существует элемент , для которого имеет место предложение ». Запись  означает «из предложения  следует предложение ». Запись означает, что  и  эквивалентны.

Для изучения пределов используется понятие окрестности точки.