Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Топ:
Теоретическая значимость работы: Описание теоретической значимости (ценности) результатов исследования должно присутствовать во введении...
Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного...
Интересное:
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Дисциплины:
2021-12-12 | 30 |
5.00
из
|
Заказать работу |
Пусть конечное число. В определении предела функции аргумент стремится к любым способом: колеблясь около , оставаясь меньше или больше . Иногда важен способ приближения к : слева или справа . Тогда вводят понятие левостороннего предела и правостороннего предела следующим образом:
если для такое, что для
если для такое, что для
Сформулируем очевидное утверждение:
Теоремы о функциях, имеющих конечный предел
Пусть число или один из символов
Теорема 4.1(о единственности предела). Если существует конечный предел функции при , то он единственен. |
Теорема 4.2.(об ограниченности функции, имеющей конечный предел).
Если функция имеет конечный предел при , то она ограничена в некоторой выколотой окрестности точки .
Теорема 4.3 (о пределе монотонной ограниченной последовательности).
Если последовательность возрастает и ограничена сверху, тоона имеет конечный предел при .
Если последовательность убывает и ограничена снизу, то она имеет конечный предел при .
Теорема 4.4 (о сохранении неравенства).
Если то в некоторой выколотой окрестности точки
Если то в некоторой выколотой окрестности точки
Теорема 4.5 (о предельном переходе в неравенстве).
Пусть существует .
Если в некоторой выколотой окрестности точки , то .
Если в некоторой выколотой окрестности точки , то .
Теорема 4.6(о промежуточной функции). Пусть и в некоторой выколотой окрестности точки Тогда . |
Теорема 4.7(о пределе суммы, произведения, частного).
Пусть существуют конечные пределы и . Тогда
1) , 2) ,
3) , 4) если .
Теорема 4.8(о пределе сложной функции).
Пусть есть суперпозиция функций и . Если существуют конечные пределы и , то существует предел сложной функции при и .
Для формулировки теоремы о пределе элементарной функции отметим, что элементарная функция получается из основных элементарных функций (степенной, показательной, логарифмической, тригонометрической, обратных тригонометрических) с помощью арифметических операций и суперпозиции.
Теорема 4.9 (о пределе элементарной функции). Пусть элементарная функция определена в точке и ee окрестности. Тогда . |
Бесконечно малые функции
Определение и основные свойства
Функция называется бесконечно малой при , если |
Рассмотрим ряд свойств бесконечно малых функций.
Теорема 5.1 (о связи функции с ее конечным пределом). ( конечное) тогда и только тогда, когда , где бесконечно малая функция при . |
Теорема 5.2(о произведении бесконечно малой функции на ограниченную).
Пусть функция − бесконечно малая при , а функция − ограничена в некоторой выколотой окрестности точки . Тогда произведение этих функций является бесконечно малой функцией при
Теорема 5.3(о сумме, разности, произведении бесконечно малых).
Сумма, разность, произведение конечного числа бесконечно малых функций при есть функция бесконечно малая при .
Отношение бесконечно малых.
Неопределенность
В отличие от суммы и произведения, отношение бесконечно малых функций может иметь любой предел или даже его не иметь. Например, для функций , являющихся бесконечно малыми при , имеем:
,
Поэтому отношение бесконечно малых функций называют неопределенностью вида . Отыскание предела в случае неопределенности называют раскрытием неопределенности.
Первый замечательный предел
При вычислении пределов выражений, содержащих тригонометрические функции, часто используется Он является неопределенностью .
Покажем, что
. (5.1)
Это равенство называют первым замечательным пределом.
Следствие:
Сравнение бесконечно малых
Бесконечно малые функции часто сравнивают между собой по «быстроте» стремления к нулю. Так, например, из двух функций и − бесконечно малых при , функция стремится к нулю «быстрее», чем . Уточним, какой смысл вкладывается в слово «быстрее».
Пусть и бесконечно малые функции при .
1). Если конечен и отличен от нуля, то и называют бесконечно малыми одного порядка и обозначают так: при .
В частности, если то и называют эквивалентными бесконечно малыми и обозначают так: ~ при .
2). Если то называют бесконечно малой более высокого порядка, чем и обозначают так: при .
3). Если то и будет бесконечно малой более
высокого порядка, чем при .
4). Если не существует, то и называют несравнимыми бесконечно малыми при .
при . |
Это вытекает из первого замечательного предела и его следствия.
Теорема 5.4 (об эквивалентных бесконечно малых). Пусть при . Тогда |
Бесконечно большие функции
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!