Решение для системы с одним узлом

 

Рассмотрим простую задачу, состоящую из двух участков с подключенными к ним емкостями (рисунок 6.2).

 

H=0

 

 

Рисунок 6.2 – Расчетная схема простейшей системы

Уровень воды в каждой емкости расположен на своей отметке относительно некоторого условного нуля (например, уровня земли). Участки имеют общую точку Х – единственный узел системы. Направления расходов, указанные на рисунке – это единственно возможный вариант. Расходы в данном направлении будем считать положительными, при этом расход Q ₁ направлен к узлу Х (приток), а расход Q ₂ направлен от узла Х  (отток). При таком подходе участки рассматриваются как соединенные последовательно.  

На открытой поверхности воды в баках напор равен 0. Учитывая, что в точке Х  имеется некоторый неизвестный напор Н_Х , можно составить систему из трех уравнений  

 

(h ₁ + 0) – (h_X +Н _X) = А₁   Q ₁ ²                                  (6.1)

(h_X +Н _X) – (h ₂ + 0) = А₂   Q ₂ ²                                  (6.2)

Q ₁ – Q ₂ = 0                                                               (6.3)

 

Последнее уравнение системы (6.3) следует из баланса расходов в узле Х. В данной системе из трех уравнений имеется три неизвестных: расходы на участках Q ₁ и Q ₂ и напор в узле Н _X. Таким образом, система решается. Из уравнения (6.3) следует равенство расходов на участках, поэтому обозначим этот расход просто Q. Тогда решение легко получить, сложив уравнения (6.1) и (6.2)

 

    (А₁ + А₂) Q ² = h ₁ + 0 – h_X – Н _X + h_X +Н _X – h ₂ – 0           (6.4)

 

После сокращения h_X и Н _X получим окончательное выражение для расхода

Q = (h ₁ – h ₂) ^0,5/ (А₁ + А₂)^0,5                                  (6.5)

 

Выражение 1/(А₁ + А₂)^0,5  есть суммарная пропускная способность сети, а выражение (h ₁ – h ₂) есть действующий в системе напор Н. Таким образом, мы получили стандартное выражение для вычисления расхода на эквиваленте последовательно соединенных участков: Q = К _v Н ^0,5.

Основным недостатком рассмотренного подхода является то, что он применим только при соединении двух участков, когда направление расходов на участках однозначно определено. При большем числе соединенных участков становится неизвестно, на каких участках расход идет к узлу Х, а на каких – от узла. Поэтому в этом случае целесообразно на всех участках считать за положительное направление расхода к узлу (приток), а за отрицательное – от узла. Пример такой системы приведен на рисунке 6.3.

H=0

 

 

 

Рисунок 6.3 – Расчетная схема системы из трех участков

 

На участке 1 расход гарантированно идет к узлу Х, так как бак 1 расположен наиболее высоко. На участке 2 расход гарантированно идет к узлу Х, так как бак 2 расположен наиболее низко. А вот на участке 3 направление расхода предсказать невозможно, так как оно зависит от напора Н_Х в узле Х. Так как уровень воды в баке 3 расположен на 3 метра выше уровня узла Х, можно утверждать, что если Н_Х  будет больше 3 м, то он сможет преодолеть противодействующий напор бака, и на направление расхода на участке 3 будет от узла Х. В противном случае, при Н_Х  < 3 м, расход будет идти к узлу Х. При Н_Х = 3 м, расхода на участке 3 вообще не будет (точнее, он будет равен нулю).

Представление всех участков, как параллельно соединенных, избавляет нас от неопределенности направления расходов, однако вынуждает использовать более корректные уравнения (1.39) и (1.40), позволяющие вычислять потери давления и расходы на участках с учетом знака.

Для системы, приведенной на рисунке 6.3, можно составить следующую систему уравнений

А₁   Q ₁ | Q ₁ |= (h ₁ + 0) – (h_X +Н _X)                               (6.6)

А₂   Q ₂ | Q ₂ |= (h ₂ + 0) – (h_X +Н _X)                               (6.7)

А₃   Q ₃ | Q ₃ |= (h ₃ + 0) – (h_X +Н _X)                               (6.8)

Q ₁ + Q ₂ + Q ₃ = 0                                                        (6.9)

 

В данной системе имеется четыре неизвестных: расходы на участках   и напор в узле Н _X. Решить приведенную систему алгебраически не представляется возможным – неизбежно приходится использовать метод последовательных приближений. Если удастся определить напор Н _X в узле Х, то найти расходы на участках из уравнений (6.6 – 6.8) не представляет труда. Таким образом, требуется найти такое значение напора в узле Х, при котором в этом узле наблюдается баланс расходов.

Поставленная задача, может быть решена графически. При построении на графике характеристики участка с правильным изгибом параболы можно использовать более простое типовое выражение Н = А Q ². Запишем уравнения системы несколько иначе

h ₁ – А₁ Q ₁ ² = (h_X +Н _X)                                  (6.11)

h ₂ – А₂ Q ₂ ² = (h_X +Н _X)                                  (6.12)

h ₃ – А₃ Q ₃ ² = (h_X +Н _X)                                  (6.13)

Q ₁ + Q ₂ + Q ₃ = 0                                     (6.14)

 

В левой части уравнений (6.11 –6.13) стоят выражения, означающее вычитание характеристики участка из отметки уровня в соответствующем баке. В правой части этих уравнений стоит одно и тоже выражение, означающее полный напор в узле Х. Таким образом, как указывает последнее уравнение (6.14), надо складывать расходы при некотором одинаковом значении напора, то есть следует произвести параллельное сложение.

Так как потери в трубопроводах стоят с отрицательным знаком, то эквивалент параллельного сложения следует рассматривать как нагнетательную установку. В этом нет ничего странного – движущей силой являются напоры баков, что ясно видно на примере участка 1. Именно они определяют направление потоков в системе. Сетью при таком подходе является некий противодействующий полный напор в узле Х (правая часть уравнений). 

Иллюстрация такого графического решения приведена на рисунке 6.4. Для простоты решения принято, что характеристики всех трех участков одинаковы (это не меняет принципиальной картины решения). Коэффициент сопротивления А  для всех участков одинаков и может быть определен по любой точке параболы участка на графике, например Q =5, Н=5

А = Н/ Q ² = 5/ 5² = 1/5 = 0,2

 

Суммарная линия нагнетательной установки после параллельного сложения имеет правильный наклон – из левого верхнего угла в правый нижний. Обращаем внимание на то, что эта линия не является параболой. Более того, на ней имеются точки перегибов – на тех уровнях напора, где имеют перегиб складываемые параболы.

Рабочая точка Ф системы определяется из условия нулевого баланса расходов в узле Х, согласно уравнению (6.14). Как следует из решения, полный напор в узле Х равен 9,8 м, и тогда напор в этом узле составляет 9,7 – 7 = 2,7 м, что не позволяет преодолеть противодействующий напор бака 3. Поэтому на участке 3 расход идет к узлу Х, то есть имеет положительное значение, как и показано на графике. Сумма всех трех расходов с учетом знака действительно равна 0.

                       Σ Q = 4 – 4,7 + 0,7 = 0

 

 

Рисунок 6.4 – Графическое решение задачи с тремя участками и

                   баками  

 

Графическое решение, приведенное на рисунке 6.4, легко реализуется для одного отдельного узла, однако явно нецелесообразно решать таким графическим способом более сложные системы с несколькими узлами, и уж тем более нереально решение прикладных задач, где количество узлов может исчисляться сотнями и тысячами. В этом случае приемлемыми являются только аналитические, то есть численные методы расчета.

 

Система уравнений (6.6–6.10) может быть решена методом приближения, исходя из общего алгоритма, излагаемого ниже.

1) Зададимся ориентировочно некоторым значением полного напора в узле Х (начальное приближение).

 Можно принять его равным среднему значению отметок всех баков, или среднему значению из максимальной и минимальной отметки. По второму варианту получим

h_X +Н _X = (h ₁ + h ₂)/2 = (13 + 5)/2 = 9 м

 

2) Вычислим значения действующих перепадов напоров на участках по формуле

ΔН _i = (h_i + 0) – (h_X +Н _X)                              (6.15)

 

Получим для каждого участка

 

ΔН₁ =13 + 0 – 9 = 4 м

ΔН₂ = 5 + 0 – 9 = -4 м

ΔН₃ =10 + 0 – 9 = 1 м

 

3) Вычислим значения расходов на участках по формуле

 

Q_i = ΔН _i /(А₁ |ΔН _i |)^0,5                                   (6.16)

 

Получим для каждого участка

 

Q ₁ = 4 / (0,2× | 4 |)^0,5 = 4,472 м³/час

Q ₂ = -4 / (0,2× | 4 |)^0,5 = -4,472 м³/час

Q ₃ = 1/ (0,2× | 1 |)^0,5 = 2,236 м³/час

 

Обращаем внимание, что знаки расходов на участках должны обязательно совпадать со знаками действующих перепадов напора!

 

4) Вычислим сумму расходов в узле Х

Σ Q = 4,472 – 4,472 + 2,236 = 2,236 м³/час

 

5) Принимаем решение о том, в каком направлении следует корректировать ранее принятое значение полного напора в узле Х.

Если сумма расходов получилась положительной, значит приток в узел больше, чем отток, то есть напор в узле принят недостаточным, чтобы противодействовать более интенсивному притоку воды. Таким образом, в этом случае следует увеличить ранее принятое значение напора в узле.

Если же сумма расходов получилась отрицательной, приток в узел меньше, чем отток, то есть напор в узле принят излишне большим, что не позволяет достаточному количеству воды притекать в узел. В этом случае следует уменьшить ранее принятое значение напора в узле.

Таким образом, действует простое правило: знак поправки к напору в узле всегда соответствует знаку дисбаланса расходов в этом узле.

В нашем случае ранее принятое значение напора в узле следует увеличивать.

5) Принимаем решение о величине поправки, то есть о том, на какую величину следует изменить ранее принятое значение полного напора в узле Х.

Этот вопрос является достаточно сложным, так как точное значение поправки невозможно рассчитать, и приходится последовательно вносить на каждом шаге очередную корректировку, постепенно приближаясь к истинному решению (поэтому численные методы таких расчетов и называются методами последовательных приближений). Все МПП как раз и различаются методикой расчета величины поправки.

Пока не будем детально вдаваться в технологию расчета поправок, так как этот вопрос будет рассмотрен чуть позже. Принимаем поправку к полному напору в размере 1,0 м.

 

6) Теперь остается повторять пройденные ранее этапы со 2-го по 5, пока не получим ответ с приемлемой точностью

h_X + Н _X = 9 + 1 = 10 м.

 

ΔН₁ =13 + 0 – 10 = 3,0 м Q ₁ = 3,0 / (0,2× | 3,0 |)^0,5 = 3,873 м³/час

ΔН₂ = 5 + 0 – 10 = -5,0 м Q ₂ = -5,0 / (0,2× | -5,0 |)^0,5 = -5,000 м³/час

ΔН₃ =10 + 0 – 10 = 0,0 м Q ₃ = 0 м³/час

 

Σ Q = 3,873 – 5,000 + 0 = -1,127 м³/час

 

Таким образом, принятое значение поправки оказалось слишком велико, поэтому теперь следует уменьшить значение полного напора в узле Х. Принимаем новую поправку в размере -0,2 м.

 

h_X +Н _X = 10,0 – 0,2 = 9,8 м.

 

ΔН₁ =13 + 0 – 9,8 = 3,2 м Q ₁ = 3,3 / (0,2× | 3,2 |)^0,5 = 4,000 м³/час

ΔН₂ = 5 + 0 – 9,8 = -4,8 м Q ₂ = -4,8 / (0,2× | -4,8 |)^0,5 = -4,899 м³/час

ΔН₃ =10 + 0 – 9,8 = 0,2 м Q ₃ = 0,2 / (0,2× | 0,2 |)^0,5 = 1,000 м³/час

Σ Q = 4,000 – 4,899 + 1,000 = 0,101 м³/час

 

Теперь напор в узле следует увеличить. Принимаем новую поправку в размере 0,03 м

h_X +Н _X = 9,8 + 0,03 = 9,83

ΔН₁ =13 + 0 – 9,83 = 3,17 м Q ₁ = 3,17 / (0,2× | 3,17 |)^0,5 = 3,981 м³/час

ΔН₂ = 5 + 0 – 9,83 = -4,83 м     Q ₂ = -4,83 / (0,2× |-4,83|)^0,5 =-4,914 м³/час

ΔН₃ =10 + 0 – 9,83 = 0,17 м Q ₃ = 0,17 / (0,2× | 0,17 |)^0,5 = 0,922 м³/час

Σ Q = 3,981 – 4,914 + 0,922 = 0,011 м³/час

 

Будем считать, что погрешность суммы расходов 0,011 м³/час является приемлемой. Действительно, даже по отношению к минимальному расходу участке 3 относительная погрешность составит всего 1,2 %.

Для практических вычислений точность в пределах 5% вполне достаточна, поэтому расчет можно прекратить.

Обращаем внимание, что полученные результаты численного решения несколько расходятся с результатами графического решения. Среднее расхождение результатов составляет около 0,2 м³/час, что для минимального расхода на третьем участке дает погрешность около 20%. Для первого и второго участков погрешность составляет около 5%. Это подчеркивает самый существенный недостаток графического решения – его относительно невысокую точность, которая полностью зависит от аккуратности и добросовестности расчетчика.

В показанном решении на каждом шаге величина поправки напора уменьшалась, что является хорошим свойствам решения – процесс монотонно стремится к истинному решению. Однако, как мы убедимся позже, не все МПП обладают таким свойством.

Учитывая, что подбор значения напора в узле Х сводится к достижению нулевого баланса расходов, для решения этой задачи эффективно использовать готовые встроенные функции прикладных вычислительных программ. Так, программа EXCEL имеет функцию «Подбор параметра», которая и предназначена именно для решения подобных задач. Функция так подбирает значение в некой указанной клетке таблицы (в нашем случае Н_Х), что в другой указанной клетке достигается требуемое значение (в нашем случае Q _Х = 0). К сожалению, для задачи с несколькими узлами процедура решения существенно усложняется.

 

Если в рассмотренной системе на участке 1 добавочно установить насос с известной характеристикой (рисунок 6.5), то принципиально решение задачи не сильно изменится.

H=0

 

 

Рисунок 6.5 – Расчетная схема системы из трех участков с насосом

 

 

В схеме на рисунке 6.5 появился дополнительный элемент системы (насос а) и узел Y. Это приводит к тому, что появились дополнительные неизвестные – напор в узле Y, расход насоса Q _а и его напор Н_а. Общее количество неизвестных стало равно 7, поэтому потребуется увеличить число уравнений до семи. 

Для схемы, приведенной на рисунке 6.5, можно составить следующую систему уравнений

 

А₁   Q ₁ | Q ₁ |= (h ₁ + 0) – (h_Y +Н _Y)                     (6.17)

А₂   Q ₂ | Q ₂ |= (h ₂ + 0) – (h_X +Н _X)                     (6.18)

А₃   Q ₃ | Q ₃ |= (h ₃ + 0) – (h_X +Н _X)                     (6.19)

Н _Y  + Н_а = Н _X                                                (6.20)

Н_а = f (Q _а)                                                    (6.21)

Q _а + Q ₂ + Q ₃ = 0                                        (6.22)

Q ₁ – Q _а = 0                                              (6.23)

 

Решение системы также должно выполняться методом приближений. Задавшись напором в узле Х, можно определить расходы на участках 2 и 3. Их алгебраическая сумма с противоположным знаком равна расходу через насос а. Зная расход Q _а, вычисляют напор насоса, а затем напор в узле Y. Зная напор Н _Y, можно вычислить расход на участке 1. Зная расходы Q _а и Q ₁, можно проверить баланс расходов в узле Y.  

Возможны и другие последовательности расчетов. Можно вначале задаться расходом через насос, или напором в узле Y. В любом случае, система решается по принципу: вначале произвольно принимаем значение одного из неизвестных параметров, а затем проверяем корректность принятого значения по условию баланса расходов или равенства напоров.

Основная проблема заключается в том, что для реальной большой задачи все решение должно быть полностью автоматизировано, начиная от задания начального распределения параметров, и кончая принятием решения об остановке расчета. Программа должна сама определять последовательность решения уравнений, и желательно, если и составлять их будет она – это позволяет избежать ошибок, связанных с человеческим фактором. Желательно иметь единую форму данных по всем однотипным объектам системы, удобную для редактирования.

Исходя из этих требований, исходные данные по участкам системы обычно приводят к матричному виду, то есть таблицам. Количество столбцов и строк в таблице соответствует числу участков или узлов системы. Программирование развитого интерфейса такой программы требует достаточно высокой квалификации и хорошего знания особенностей решаемых задач.

 

Лекция 7