Вывод расчетного уравнения для решения методом узловых

давлений

 

Снова рассмотрим систему из трех участков, для которой производилось определение расходов методом приближения (рисунок 8.1). 

 

 

 

Рисунок 8.1 – Расчетная схема системы из трех участков

 

В данной схеме имеется один узел – точка Х. Рассмотрим, как можно определить напор в данном узле, используя метод Ньютона.

Для простоты последующей записи перепад полных напоров, действующих на каждом i -том участке, входящем в узел под номером j, обозначим через Z_{i , j}

Z_{i , j} = (Н _{i , j} + h_{i , j}) – (Н _j + h_j)                               (8.3)

 

При квадратичном режиме течения для каждого участка выполняется равенство

А _{i . j} Q ² _{i . j} = Z_{i , j}                                        (8.4)

 

Из (8.4) расход на каждом участке может быть вычислен по формуле

 

Q_{i . j} = (Z_{i , j})^1/2 / (А _{i . j}) ^1/2                            (8.5)

Итоговый расход в узле равен сумме расходов на всех участках с учетом знака – приток в узел со знаком «плюс», отток из узла со знаком «минус».

Q_j = ΣQ_{i . j}                                        (8.6)

 

Если баланс в узле не равен нулю, то требуется изменить напор в узле j, введя поправку ΔН _j, чтобы изменение расхода в узле Δ Q_j привело бы баланс в ноль

Q_j + Δ Q_{i . j} = 0                              (8.7)

 

Из (8.7) с учетом (8.6) получаем простое и важное соотношение

 Δ Q_j = – Q_j = – ΣQ_{i . j}                             (8.8)

 

Запишем уравнение (8.2) с учетом изменения напора в узле j

 

А _{i . j} (Q_{i . j} + Δ Q_{i . j})² = Z_{i , j} – ΔН _j                           (8.9)

 

Знак «минус» перед приращением напора в узле поставлен потому, что если требуется увеличить расход на участке (приращение расхода Δ Q_{i . j} положительно), то для этого требуется уменьшить напор в узле, то есть ΔН _j должно быть отрицательно.

Возведем в квадрат выражение в скобках в левой части уравнения (8.9)

А _{i . j} (Q ² _{i . j} + 2 Q_{i . j} Δ Q_{i . j} + Δ Q ² _{i . j}) = Z_{i , j} – ΔН _j            (8.10)

 

Величину Δ Q ² _{i . j} можно отбросить, так как она имеет более высокий порядок малости (нелинейное уравнение заменяется прямой линией – касательной), тогда после группировки членов получим.

 

А _{i . j} Q ² _{i . j} + 2 А _{i . j} Q_{i . j} Δ Q_{i . j} = Z_{i , j} – ΔН _j                      (8.11)

 

С учетом (8.4), выражения А _{i . j} Q ² _{i . j} и Z_{i , j} сокращаются. Тогда получим

 2 А _{i . j} Q_{i . j} Δ Q_{i . j} =  – ΔН _j                                 (8.12)

 

Из (8.12) получим выражение для приращения расхода на участке

 

Δ Q_{i . j} =  – ΔН _j/ (2 А _{i . j} Q_{i . j})                         (8.13)

 

Сумма приращений расходов на участках равна приращению расхода в узле

 Δ Q_j = Σ Δ Q_{i . j} =  – ΔН _jΣ 1/(2 А _{i . j} Q_{i . j})               (8.14)

С учетом (8.8) получим

 

  Σ Q_{i . j} = ΔН _j  Σ 1/(2 А _{i . j} Q_{i . j})                    (8.15)

 

Из (8.15) окончательно получим выражение для расчета приращения напора в узле

                       ΔН _j= Σ Q_{i . j} / | Σ 1/(2 А _{i . j} Q_{i . j}) |                      (8.16)

 

Согласно (8.16), знак приращения напора соответствует знаку суммы расходов в узле. Действительно, если сумма расходов имеет положительный знак, то следует уменьшить приток жидкости в узел, а для этого требуется повысить напор в узле. Таким образом, приращение напора в узле тоже должно иметь положительный знак.

Учитывая, что знак приращения напора определен знаком суммы расходов, выражение в знаменателе следует брать по абсолютному знаку.

При выполнении реальных расчетов следует помнить, что в процессе вычислений могут возникать ситуации, когда расход на одном из участков равен нулю. Тогда вычисление по формуле 1/(2 А _{i . j} Q_{i . j}) невозможно, так как расход стоит в знаменателе. Поэтому следует предварительно проверить значение расхода, и не производить расчет данного выражения для участков с нулевым расходом. Кроме того, рекомендуется для вычисления расхода на участке вместо формулы (8.5) использовать более корректную формулу (1.40), позволяющую получать расход с нужным знаком.

 

Общая последовательность решения задач методом УД заключается в следующем:

1) заполняют таблицу исходных данных по участкам системы, куда входят гидравлические характеристики участков и номера узлов, к которым они подсоединены (начало и конец участка). Таблица, заполняемая человеком, должна иметь структуру, понятную и удобную для набора исходных данных. Желательно иметь развитую систему редактирования и копирования клеток таблицы и целых ее строк.

2) заполняют таблицу исходных данных по узлам системы, куда входят номера узлов, геодезические отметки, напоры в узлах и другие характеристики

3) заполняют таблицу исходных данных по нагнетательным установкам (насосам или вентиляторам), установленным в системе, куда входят номера узлов, к которым подсоединены нагнетатели, их марки, имеющиеся в базе данных программы, или коэффициенты уравнений для их гидравлических характеристик

4) запускают программу, которая из имеющегося набора исходных данных формирует структуру, более удобную для автоматизированного компьютерного расчета. Крайне желательно, чтобы данная программа проверяла исходные данные на наличие грубых ошибок (повторения в нумерации участков или узлов, нулевые или отрицательные значения коэффициентов сопротивления или проводимости участков, правильность и полноту других данных)

5) запускают программу, которая осуществляет запись значений начальных приближений напоров в каждом узле системы. В самом простом варианте во все узлы с неизвестным напором можно записать одинаковое значение (некое среднее значение отметок баков).

6) запускают собственно расчетную часть программы, которая, используя метод узловых давлений, находит на каждом шаге уточненные значения напоров в узлах системы. Невязка балансов расхода в каждом узле должна стремиться к нулю с определенной погрешностью, задаваемой требуемой точностью расчета. Если при очередном шаге расчета узлов системы начальная невязка баланса в некотором узле меньше требуемой точности, то напор в данном узле не изменяют (не выполняют расчет для данного узла). Расчет прекращается, когда ни в одном узле не произошло изменение напора, то есть во всех узлах балансы расходов находятся в пределах требуемой точности.

В некоторых случаях, для ускорения расчета применяют динамическое изменение точности, когда на начальном этапе расчет ведется с низкой точностью, чтобы быстрее получить более правильное общее распределение напоров по системе, а по мере выполнения расчета точность возрастает (допустимая погрешность невязки баланса расходов уменьшается).