Установление степени кинематической неопределимости

 

Приступая к расчету, прежде всего, необходимо определить число неизвестных – независимых угловых и линейных перемещений узлов рамы. Каждый узел рамы от нагрузки (либо других воздействий) может получить угловое и линейное перемещение.

Общее число неизвестных перемещений (степень кинематической неопределимости)

,                                             (4.1)

где  – число угловых перемещений узлов (степень угловой подвижности узлов);

– число линейных перемещений узлов (степень линейной подвижности узлов).

Рассмотрим определение перемещений  и  для заданной системы (рисунок 4.1).

Число угловых перемещений узлов  равно числу жестких узлов рамы. Опорные узлы при этом не учитываются.

Примеры жестких (комбинированных) узлов показаны на рисунке 4.2.

Заданная система имеет 4 узла: A, D – опорные узлы; B, C – жесткие узлы.

Тогда

.

П р и м е ч а н и е – Таким образом, определение  сводится к простому подсчету числа жестких и комбинированных (жесткошарнирных) узлов системы.

Рисунок 4.1 – Расчетная схема рамы	Рисунок 4.2 – Примеры узлов рамы: а – жестких; б – комбинированных

Число линейных перемещений узлов  равно числу стержней, которые необходимо ввести в шарнирную схему конструкции для превращения ее в геометрически неизменяемую систему.

 

П р и м е ч а н и е – Определение  для рам базируется на следующих допущениях, принятых в методе перемещений:

учитываются лишь деформации изгиба (влиянием продольных и поперечных сил на перемещение узлов пренебрегают);

расстояние между узлами при изгибе прямых стержней не меняются;

угол между стержнями при деформации не меняется (концы стержней, соединенных жестко в узле, поворачиваются на один и тот же угол);

углы поворота вследствие малых значений принимаются равными их тангенсам.

 

Последовательность определения :

1) заданную систему заменяют ее шарнирной схемой, поставив шарниры во все узлы, включая опорные (рисунок 4.3, а);

2) полученную шарнирную схему превращают в геометрически неизменяемую систему путем постановки дополнительных стержней (рисунок 4.3, б).

Поясним, как установить количество вводимых стержней.

Число степеней свободы полученной шарнирной схемы, определяемое по формуле (2.2), равно числу линейных перемещений узлов рамы .

Для рассматриваемого случая . Для устранения этого перемещения достаточно поставить дополнительный опорный стержень (см. рисунок 4.3, б).

Можно также определять  по смыслу, не используя формулу (2.2), последовательно закрепляя узлы шарнирной схемы от линейных смещений.

На рисунке 4.3, а введены следующие обозначения:

штриховая линия – возможные перемещения сторон полученной шарнирной схемы;

,  – линейные перемещения узлов В и С, причем .

 

Рисунок 4.3 – К последовательности определения числа линейных перемещений узлов рамы:

а – шарнирная схема; б – геометрически неизменяемая система

 

На рисунке 4.3, б цифрой 1 обозначена введенная линейная связь в виде стержня продольного направления.

 

П р и м е ч а н и е – Шарнирная схема рассматриваемой рамы один раз геометрически изменяема, так как для превращения ее в геометрически неизменяемую систему необходимо ввести один стержень. После включения этого стержня узел С будет прикреплен к земле с помощью двух стержней, оси которых не лежат на одной прямой. Следовательно, узел С будет геометрически неизменяемо связан с землей.

 

Поскольку мы ввели одну линейную связь, то .

Тогда, общее число неизвестных перемещений .

Рисунок 4.4 – Деформированное состояние рамы

Отсюда следует, что деформированное состояние рамы будет определено тремя перемещения узлов: ,  и . Причем ,  – угловые перемещения узлов В и С;  – линейное перемещение стержня ВС (узлов В и С).

Деформированное состояние рамы показано на рисунке 4.4. Оно характеризуется тем, что упругие линии деформированных стержней рамы будут изгибаться под действием внешней нагрузки. В узлах В и С касательные к упругой линии стержня ВС повернутся соответственно на угол  и , который называется углом поворота узла. Узлы В и С получат также смещение по горизонтали на .

Рассмотрим теперь раму, изображенную на рисунке 4.5, а. Число ее жестких узлов равно двум, следовательно, . Шарнирная схема рамы дважды геометрически изменяема (). Поэтому для превращения ее в геометрически неизменяемую необходимо ввести два стержня 1 и 2 (рисунок 4.5, б). Общее число неизвестных в рассматриваемой системе .

 

Рисунок 4.5 – К определению числа неизвестных перемещений рамы

 

Выбор основной системы

Основная система метода перемещений должна быть кинематически определимой. Чтобы выполнить это требование узлы рамы закрепляют от поворотов и линейных смещений введением дополнительных связей.

Основную систему получают из заданной (см. рисунок 4.1):

1) введением дополнительных (фиктивных) связей, устраняющих угловые и линейные перемещения узлов (рисунок 4.6, а);

2) заданием введенным связям соответствующих угловых и линейных перемещений (рисунок 4.6, б).

 

П р и м е ч а н и е – Общее число введенных в основную систему связей равно, естественно, числу неизвестных метода перемещений.

 

 

Рисунок 4.6 – К выбору основной системы метода перемещений:

а – рама с введенными дополнительными связями; б – основная система

 

В качестве дополнительных вводятся следующие связи:

угловая связь («плавающая заделка») – вводится во все жесткие узлы для устранения их поворотов (угловых перемещений);

линейная связь – вводится в необходимые места заданной системы для устранения линейных перемещений узлов (об этом информирует шарнирная система).

В рассматриваемом случае две угловые связи («плавающие заделки») с номерами 1 и 2 вводятся для устранения поворота жестких узлов В и С, линейная связь (номер 3) – для устранения линейных перемещений этих же узлов.

 

П р и м е ч а н и е – Заделка называется «плавающей», поскольку такая связь оказывает препятствие лишь повороту узла, но не лишает его линейной подвижности.

 

Кинематическая эквивалентность основной и заданной систем достигается тем, что связям одновременно с их введением задают соответствующие угловые и линейные перемещения .

На рисунке 4.6 через ,  и  обозначены заданные перемещения введенных связей (показаны стрелками на основной системе).

 

П р и м е ч а н и е:

1 Заданные перемещения  введенных связей имеют такой же индекс, как и номер фиктивной связи. В рассматриваемом случае ,  – угловые перемещения узлов В и С, устраняемые заделками 1 и 2;  – линейное перемещение узлов В и С, устраняемое стержнем 3.

2 Углы поворота введенных связей (в нашем случае  и ) условно задаются по часовой стрелке, линейные перемещения (в нашем случае ) – слева – направо. 

Рисунок 4.7 – Представление основной системы совокупностью статически неопределимых балок

 

Таким образом, расчету подлежит не заданная система, а преобразованная (основная) система, которая должна быть эквивалентна ей в статическом и кинематическом отношениях.

Введенные связи расчленяют получаемую основную систему на отдельные простейшие статически неопределимые балки – конечные элементы (рисунок 4.7). Каждая из этих балок хорошо изучена и результаты их расчета на стандартные воздействия приводятся в справочных данных (таблица 4.1).

Таблица 4.1 – Результаты расчета эпюр изгибающих моментов однопролетных статически неопределимых балок

Схема балки и воздействия на нее	Эпюры изгибающих моментов и реакции	Формулы
		;
		;
		; ; ;
		; ; ;
		; ; ; ;

Продолжение таблицы 4.1

Схема балки и воздействия на нее	Эпюры изгибающих моментов и реакции	Формулы
		; ; ; ;
		; ; ;
		; ;
		;
		; ; ; ;
		;

Окончание таблицы 4.1

Схема балки и воздействия на нее	Эпюры изгибающих моментов и реакции	Формулы
		; ;
		; ;
		; ;

 

П р и м е ч а н и я

1 Таким образом, основная система метода перемещений представляет собой совокупность независимых элементов – однопролетных статически неопределимых балок, изображенных на рисунке 4.7. В рассматриваемом случае балки ВС и С D – балки с защемлениями по концам, АВ – балка с защемлением и шаровой опорой.

2 В отличие от метода сил, основная система метода перемещений является единственной