Метод Гаусса. Метод последовательного исключения неизвестных

Историческая справка

Метод Гаусса был предложен известнейшим немецким математиком Карлом Фридрихом Гауссом (1777 - 1855) и является одним из наиболее универсальных методов решения СЛАУ. Сущность этого метода состоит в том, что посредством последовательных исключений неизвестных данная система превращается в ступенчатую (в частности, треугольную) систему, равносильную данной. При практическом решении задачи, расширенная матрица системы с помощью элементарных преобразований над ее строками приводится к ступенчатому виду. Далее последовательно находятся все неизвестные, начиная снизу вверх.

Принцип метода Гаусса

Метод Гаусса включает в себя прямой (приведение расширенной матрицы к ступенчатому виду, то есть получение нулей под главной диагональю) и обратный (получение нулей над главной диагональю расширенной матрицы) ходы. Прямой ход и называется методом Гаусса, обратный - методом Гаусса-Жордана, который отличается от первого только последовательностью исключения переменных.

Метод Гаусса идеально подходит для решения систем содержащих больше трех линейных уравнений, для решения систем уравнений, которые не являются квадратными (чего не скажешь про метод Крамера и матричный метод). То есть метод Гаусса - наиболее универсальный метод для нахождения решения любой системы линейных уравнений, он работает в случае, когда система имеет бесконечно много решений или несовместна.

Примеры решения систем уравнений

Пример

Задание. Решить СЛАУ методом Гаусса.

Решение. Выпишем расширенную матрицу системы и при помощи элементарных преобразований над ее строками приведем эту матрицу к ступенчатому виду (прямой ход) и далее выполним обратный ход метода Гаусса (сделаем нули выше главной диагонали). Вначале поменяем первую и вторую строку, чтобы элемент равнялся 1 (это мы делаем для упрощения вычислений):

Далее делаем нули под главной диагональю в первом столбце. Для этого от второй строки отнимаем две первых, от третьей - три первых:

Все элементы третьей строки делим на два (или, что тоже самое, умножаем на ):

Далее делаем нули во втором столбце под главной диагональю, для удобства вычислений поменяем местами вторую и третью строки, чтобы диагональный элемент равнялся 1:

От третьей строки отнимаем вторую, умноженную на 3:

Умножив третью строку на , получаем:

Проведем теперь обратный ход метода Гаусса (метод Гассу-Жордана), то есть сделаем нули над главной диагональю. Начнем с элементов третьего столбца. Надо обнулить элемент , для этого от второй строки отнимем третью:

Далее обнуляем недиагональные элементы второго столбца, к первой строке прибавляем вторую:

Полученной матрице соответствует система

или

Ответ.

 Предмет математической статистики Основные понятия

Математическая статистика – это наука, изучающая случайные явления посредством обработки и анализа результатов наблюдений и измерений.

Первая задача математической статистики – указать способы получения, группировки и обработки статистических данных, собранных в результате наблюдений, специально поставленных опытов или произведённых измерений.

Вторая задача математической статистики – разработка методов анализа статистических сведений в зависимости от целей исследования. Например, целью исследования может быть:

- оценка неизвестной вероятности события;

- оценка параметров распределения случайной величины;

- оценка неизвестной функции распределения случайной величины;

- проверка гипотез о параметрах распределения или о виде неизвестного распределения;

- оценка зависимости случайной величины от одной или нескольких случайных величин и т.д.

Случайную величину  будем называть генеральной совокупностью .

Исходным материалом для изучения свойств генеральной совокупности  являются статистические данные, т.е. значения , полученные в результате повторения случайного опыта (измерения случайной величины ). Предполагается, что опыт может быть повторён сколько угодно раз в неизменных условиях. Это означает, что распределение случайной величины , , заданной на множестве исходов -го опыта, не зависит от  и совпадает с распределением генеральной совокупности .

Набор  независимых в совокупности случайных величин , где  соответствует -му опыту, называют случайной выборкой из генеральной совокупности . Число  называется объёмом выборки.

Совокупность чисел , полученных в результате -кратного повторения опыта по измерению генеральной совокупности , называется реализацией случайной выборки или просто выборкой объёма .

В основе большинства результатов математической статистики лежит выборочный метод, состоящий в том, что свойства генеральной совокупности  устанавливаются путём изучения тех же свойств на случайной выборке.

Предварительная обработка выборки

Прежде, чем перейти к детальному анализу статистических данных, обычно проводят их предварительную обработку. Иногда её результаты уже сами по себе дают ответы на многие вопросы, но в большинстве случаев они являются исходным материалом для дальнейшего анализа.

Вариационный ряд

Простейшее преобразование статистических данных является их упорядочивание по величине.

Выборка  объёма  из генеральной совокупности , упорядоченная в порядке неубывания элементов, т.е. , называется вариационным рядом:

.

Разность между максимальным и минимальным элементами выборки  называют размахом выборки.

Статистический ряд

Пусть выборка  содержит  различных чисел , где  и , причём число  встречается в выборке  раз, . Так бывает либо тогда, когда генеральная совокупность  - дискретная случайная величина, либо когда  - непрерывна, но её значения при измерении округляют.

Число  называют частотой элемента выборки , а отношение  - относительной частотой этого элемента.

Статистическим рядом для данной выборки  называют таблицу, которая в первой строке содержит значения выборки  (напомним: ), во второй строке – частоты , а в третьей строке – относительные частоты  этих значений:

                                                                                   Таблица 4.2.1

Значения			…
Частоты			…
Относительные частоты			…

 

Статистические данные, представленные в виде статистического ряда, называют группированными.

Другой способ группировки, который используют обычно при больших объёмах выборки ( ) состоит в следующем. Отрезок , содержащий выборку , разбивают на  промежутков , как правило, одинаковой длины . Далее, подсчитывают частоты  попадания выборочных значений  в промежутки  и относительные частоты . Получающийся в результате этого статистический ряд

                                                                                   Таблица 4.2.2

Промежутки			…
Частоты			…
Относительные частоты			…

 

называют интервальным статистическим рядом.

Замечания

1. Может оказаться, что часть значений выборки  совпадают с некоторыми границами  между соседними промежутками  и . Тогда при подсчёте частот  и  такие значения  учитывают одним из следующих способов:

а) считают, что , т.е. каждое выборочное значение  увеличивает частоту  на единицу и не влияет на частоту ;

б) каждое значение выборки  «делится между промежутками  и  поровну», т.е. и , и  увеличиваются за счёт этого значения на . При таком подсчёте частоты  могут оказаться полуцелыми, например, .

2. Число  промежутков, на которые разбивают отрезок , выбирают в зависимости от объёма выборки . Существуют различные критерии выбора , например, ориентировочную оценку числа промежутков можно получить из соотношения , где  - целая часть .

3. В некоторых источниках в качестве статистического ряда рассматривается таблица, содержащая либо только частоты , либо только относительные частоты .