История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Топ:
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного хозяйства...
Основы обеспечения единства измерений: Обеспечение единства измерений - деятельность метрологических служб, направленная на достижение...
Интересное:
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Дисциплины:
2020-08-20 | 701 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Определение
Действительное число называется действительной частью комплексного числа и обозначается (От французского слова reel - действительный).
Действительное число называется мнимой частью числа и обозначается (От французского слова imaginaire - мнимый).
Например. Для комплексного числа действительная часть , а мнимая - .
Если действительная часть комплексного числа равна нулю (), то комплексное число называется чисто мнимым.
Например.
Мнимая единица
Величина называется мнимой единицей и удовлетворяет соотношению:
Равные комплексные числа
Два комплексных числа и называются равными, если равны их действительные и мнимые части соответственно:
Пример
Задание. Определить при каких значениях и числа и будут равными.
Решение. Согласно определению тогда и только тогда, когда
Ответ.
Число называется комплексно сопряженным числом к числу .
То есть комплексно сопряженные числа отличаются лишь знаком мнимой части.
Например. Для комплексного числа комплексно сопряженным есть число ; для комплексно сопряженное и для имеем, что .
Комплексное число называется противоположным к комплексному числу .
Например. Противоположным к числу есть число: .
Геометрическая интерпретация комплексного числа
Комплексные числа изображаются на так называемой комплексной плоскости. Ось, соответствующая в прямоугольной декартовой системе координат оси абсцисс, называется действительной осью, а оси ординат - мнимой осью (рис. 1).
Комплексному числу будет однозначно соответствовать на комплексной плоскости точка : (рис. 2). То есть на действительной оси откладывается действительная часть комплексного числа, а на мнимой - мнимая.
|
Например. На рисунке 3 на комплексной плоскости изображены числа , и .
Модуль комплексного числа
Комплексное число также можно изображать радиус-вектором (рис. 2). Длина радиус-вектора, изображающего комплексное число , называется модулем этого комплексного числа.
Модуль любого ненулевого комплексного числа есть положительное число. Модули комплексно сопряженных чисел равны. Модуль произведения/частного двух комплексных чисел равен произведению/частному модулей каждого из чисел.
Модуль вычисляется по формуле:
То есть модуль есть сумма квадратов действительной и мнимой частей заданного числа.
Пример
Задание. Найти модуль комплексного числа
Решение. Так как , , то искомое значение
Ответ.
Замечание
Иногда еще модуль комплексного числа обозначается как или .
Аргумент комплексного числа
Угол между положительным направлением действительной оси и радиус-вектора , соответствующим комплексному числу , называется аргументом этого числа и обозначается .
Аргумент комплексного числа связан с его действительной и мнимой частями соотношениями:
На практике для вычисления аргумента комплексного числа обычно пользуются формулой:
Пример
Задание. Найти аргумент комплексного числа
Решение. Так как , то в выше приведенной формуле будем рассматривать вторую строку, то есть
Ответ.
Аргумент действительного положительного числа равен , действительного отрицательного - или . Чисто мнимые числа с положительной мнимой частью имеют аргумент равный , с отрицательной мнимой частью - .
У комплексно сопряженных чисел аргументы отличаются знаком (рис. 3).
|
|
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!