Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Топ:
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
Теоретическая значимость работы: Описание теоретической значимости (ценности) результатов исследования должно присутствовать во введении...
Устройство и оснащение процедурного кабинета: Решающая роль в обеспечении правильного лечения пациентов отводится процедурной медсестре...
Интересное:
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Дисциплины:
2020-08-20 | 157 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Исходную СЛАУ можно записать в матричном виде:
,
где матрица называется матрицей системы, это матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных; - вектором-столбцом неизвестных, - вектором-столбцом правых частей или свободных коэффициентов.
Пример
Задание. Систему записать в матричной форме и выписать все матрицы, которые ей соответствуют.
Решение. Заданную СЛАУ записываем в матричной форме , где матрица системы:
вектор-столбец неизвестных:
вектор-столбец свободных коэффициентов:
то есть, запись СЛАУ в матричной форме:
Расширенная матрица системы
Определение
Расширенной матрицей системы называется матрица, полученная из матрицы системы , дописыванием справа после вертикальной черты столбца свободных членов.
Пример
Задание. Записать матрицу и расширенную матрицу системы
Решение. Матрица системы , тогда расширенная матрица
Критерий совместности системы
Теорема
Теорема Кронекера-Капелли. СЛАУ совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.
Пример
Задание. При каких значениях система будет совместной?
Решение. Ранг матрицы равен количеству ненулевых строк после приведения этой матрицы к ступенчатому виду. Поэтому записываем расширенную матрицу системы (слева от вертикальной черты находится матрица системы ):
и с помощью элементарных преобразований приводим ее к ступенчатому виду. Для этого вначале от первой строки отнимаем две вторых строки, а от третьей вторую, в результате получаем:
Третью строку складываем с первой:
и меняем первую и вторую строки матрицы местами
Матрица приведена к ступенчатому виду. Получаем, что , . Таким образом, при система совместна, а при - несовместна.
|
Квадратные СЛАУ. Матричный метод решения
Замечание
Запишем заданную систему в матричном виде:
Если матрица невырождена, то тогда с помощью операций над матрицами выразим неизвестную матрицу . Операция деления на множестве матриц заменена умножением на обратную матрицу, поэтому домножим последнее равенство на матрицу слева:
Поэтому, чтобы найти неизвестную матрицу надо найти обратную матрицу к матрице системы и умножить ее справа на вектор-столбец свободных коэффициентов.
Замечание
Данный метод удобно применять тогда, когда нужно решить много одинаковых систем с разными правыми частями.
Примеры решения систем уравнений
Пример
Задание. Найти решение СЛАУ матричным методом.
Решение. Выпишем матрицу системы и матрицу правых частей . Найдем обратную матрицу для матрицы системы. Для матрицы второго порядка обратную можно находить по следующему алгоритму: 1) матрица должна быть невырождена, то есть ее определитель не должен равняться нулю: ; 2) элементы, стоящие на главной диагонали меняем местами, а у элементов побочной диагонали меняем знак на противоположный и делим полученные элементы на определитель матрицы. Итак, получаем, что
Тогда
Две матрицы одного размера равны, если равны их соответствующие элементы, то есть в итоге имеем, что ,
Ответ. ,
Пример
Задание. Решить с помощью обратной матрицы систему
Решение. Запишем данную систему в матричной форме:
,
где - матрица системы, - столбец неизвестных, - столбец правых частей. Тогда
Найдем обратную матрицу к матрице с помощью союзной матрицы:
Здесь - определитель матрицы ; матрица - союзная матрица, она получена из исходной матрицы заменой ее элементов их алгебраическими дополнениями. Найдем , для этого вычислим алгебраические дополнения к элементам матрицы :
Таким образом,
Определитель матрицы
А тогда
Отсюда искомая матрица
|
Ответ.
Метод Крамера
Метод Крамера (теорема Крамера) — способ решения квадратных СЛАУ с ненулевым определителем основной матрицы. Назван по имени Габриэля Крамера, автора метод.
Теорема Крамера
Теорема
Теорема Крамера. Если определитель матрицы квадратной системы не равен нулю, то система совместна и имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера:
где - определитель матрицы системы, - определитель матрицы системы, где вместо -го столбца стоит столбец правых частей.
Замечание
Если определитель системы равен нулю, то система может быть как совместной, так и несовместной.
Замечание
Данный метод удобно применять для маленьких систем с громоздкими вычислениями, а так же если нужно найти одну из неизвестных. Трудность заключается в том, что необходимо считать много определителей.
Примеры решения систем уравнений
Пример
Задание. Найти решение СЛАУ при помощи метода Крамера.
Решение. Вычисляем определитель матрицы системы:
Так как , то по теореме Крамера система совместна и имеет единственное решение. Вычислим вспомогательные определители. Определитель получим из определителя заменой его первого столбца столбцом свободных коэффициентов. Будем иметь:
Аналогично, определитель получается из определителя матрицы системы заменой второго столбца столбцом свободных коэффициентов:
Тогда получаем, что
Ответ. ,
Пример
Задание. При помощи формул Крамера найти решение системы
Решение. Вычисляем определитель матрицы системы:
Так как определитель матрицы системы неравен нулю, то по теореме Крамера система совместна и имеет единственное решение. Для его нахождения вычислим следующие определители:
Таким образом,
Ответ.
|
|
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!