Отношения. Пропорции. Проценты

Задачи по комбинаторике

Наука, изучающая способы составления и количество множеств и их подмножеств, называется комбинаторикой.

Каждое конкретное подмножество, составленное из элементов данного конечного множества, называется соединениемили выборкой.Если во множестве определено, какой элемент множества за каким следует или какому предшествует, то множество называется упорядоченным. Если в упорядоченном множестве изменить расположение элементов, то мы получим другое, отличное от первого множество.

Выборка — результат отбора, извлечение предпочитаемого из наличного.

Комбинаторная задача состоит в подсчете числа выборок из конечного основного множества элементов M = {a₁, а₂, а₃,..., а_n}.Выборки отличаются объемом (т.е. числом элементов, которые надо выбрать), порядком (т.е. упорядоченные или неупорядоченные выборки) и повторениями (есть или нет в выборке повторяющиеся элементы).Мы знаем три основных вида соединений: размещения, перестановки и сочетания.

Дифференциал функции

Пусть функция дифференцируема в точке , то есть приращение этой функции можно представить в виде суммы двух слагаемых: линейного относительно и нелинейного членов:

где при .

Определение

Дифференциалом функции называется линейная относительно часть приращения функции. Она обозначается как или . Таким образом:

Замечание

Дифференциал функции составляет основную часть ее приращения.

Замечание

Наряду с понятием дифференциала функции вводится понятие дифференциала аргумента. По определению дифференциал аргумента есть приращение аргумента:

Замечание

Формулу для дифференциала функции можно записать в виде:

Отсюда получаем, что

Итак, это означает, что производная может быть представлена как обыкновенная дробь - отношение дифференциалов функции и аргумента.

Геометрический смысл дифференциала

Дифференциал функции в точке равен приращению ординаты касательной, проведенной к графику функции в этой точке, соответствующему приращению аргумента .

Правила вычисления производных

Пусть функции и имеют производные в точке . Тогда

1. Константу можно выносить за знак производной.

Пример

2. Производная суммы/разности.

Производная суммы/разности двух функций равна сумме/разности производных от каждой из функций.

Пример

3. Производная произведения.

Пример

4. Производная частного.

Пример

Таблица производных, производные основных элементарных функций

Пример

 

ИНТЕГРАЛ

- одно из центральных понятий математич. анализа и всей математики, возникновение к-рого связано с двумя задачами: о восстановлении функции по ее производной (напр., с задачей об отыскании закона движения материальной точки вдоль прямой по известной скорости этой точки); о вычислении площади, заключенной между графиком функции f(x)на отрезке и осью абсцисс (к этой же задаче приводит вычисление работы, произведенной силой за промежуток времени и другие вопросы).

Указанные две задачи приводят к двум видам И.: неопределенному и определенному. Изучение свойств и вычисление этих связанных между собой видов И. составляет задачу интегрального исчисления.

В ходе развития математики и под влиянием потребностей естествознания и техники понятия неопределенного и определенного И. подвергались ряду обобщений и изменений.

Неопределенный интеграл. Первообразной функции f (х)одного переменного хна интервале а<х<b наз. любая функция F(x), производная к-рой для любого хиз этого интервала равна f(x). Очевидно, что если F(x)является первообразной функции f(x)нa интервале а<x<b, то и функция F₁ (х) = F (x) +C, где С- любая постоянная, также является первообразной f(x)на этом интервале. Верно и обратное: любые две первообразные одной и той же функции f(x)на интервале a <x<b могут отличаться лишь на постоянную. Следовательно, если F(x)- одна из первообразных f(x)на интервале a <x<b, то любая первообразная f(x)на этом интервале имеет вид F(x) +C, где С- постоянная. Совокупность всех первообразных функции f (х)на интервале a <x<b наз. неопределенным интегралом функции f(x)(на этом интервале) и обозначается символом

Согласно основной теореме интегрального исчисления, для каждой непрерывной на интервале a <x<b функции f(х)существует на этом интервале первообразная и, следовательно, неопределенный И.

Определенный интеграл. Понятие определенного И. вводится либо как предел интегральных сумм (см. Ноши интеграл, Римана интеграл, Лебега интеграл, Колмогорова интеграл, Стилтьеса интеграл), либо в случае, когда заданная функция f(x)определена на нек-ром отрезке [ а, b ]и имеет на нем первообразную F, как разность ее значений на концах рассматриваемого отрезка F(b) - F (a). Определенный И. от функции f(x)на отрезке [ а, b ] обозначают Определение И. как предела интегральных сумм в случае непрерывных функций было сформулировано О. Коши (А. Саuchy) в 1823. Случай произвольных функций был изучен Б. Риманом (В. Riemann, 1853). Существенное продвижение в теории определенного И. принадлежит Г. Дарбу (G. Darboux, 1879), к-рый ввел в рассмотрение наряду с интегральной суммой Римана верхнюю и нижнюю суммы (см. Дарбу сумма). Необходимое и достаточное условие интегрируемости по Риману разрывных функций в законченной форме установил (1902) А. Лебег (Н. Lebesgue).

Между определенным И. от непрерывной на отрезке [а, b]функции f(x)и неопределенным И. (или первообразной) этой функции существует следующая связь:

1) если F(x)- любая первообразная функции f(x), то справедлива формула Ньютона - Лейбница

2) для любого х из отрезка [ а, b ] неопределенный И. непрерывной функции f(х)записывается в виде

где С- произвольная постоянная. В частности, определенный И. с переменным верхним пределом

представляет собой первообразную функцию f(х). Для введения определенного И. от функции f(x)по отрезку [ а, b ]в смысле Лебега разбивают множество значений уна частичные отрезки точками...<y_₂<у _-1 <y ₀ <у ₁ <у ₂ <... и обозначают через М _i множество всех значений хиз отрезка [ а, b ], для к-рых y_i-1 f(x)< y_i, а через m(М _i) - меру множества М _i в смысле Лебега. Интегральную сумму Лебега функции f(x)на отрезке [ а, b ] определяют равенством

где hi - любое число из отрезка

Таблица интегралов, таблица неопределенных интегралов

Основные формулы

 

Интегрирование по частям

Интегрированием по частям называют интегрирование по формуле

При нахождении функции по ее дифференциалу можно брать любое значение постоянной интегрирования , так как она в конечный результат не входит. Поэтому для удобства будем брать .

Использование формулы интегрирования по частям целесообразно в тех случаях, когда дифференцирование упрощает один из сомножителей, в то время как интегрирование не усложняет другой.

Пример

Задание. Найти интеграл

Решение. В исходном интеграле выделим функции и , затем выполним интегрирование по частям.

Ответ.

 

История развития

Впервые матрица под названием "волшебный квадрат" упоминается еще в Древнем Китае. Подобные квадраты чуть позже были известны и у арабских математиков. С развитием теории определителей в конце 17 века швейцарский математик Габриэль Крамер (1704 - 1752) начал разрабатывать свою теорию и в 1751 году, не задолго до своей смерти, опубликовал "правило Крамера" - метод решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с ненулевым определителем матрицы системы. В этот же период появился и "метод Гаусса", применяемый для решения СЛАУ и основанный на последовательном исключении неизвестных.

Как отдельная теория, теория матриц получила свое активное развитие в середине 19 века в работах ирландского математика и физика Уильяма Гамильтона (1805 - 1865) и английского математика Артура Кэли (1821 - 1895). Фундаментальные результаты в теории матриц принадлежат также немецким математикам Карлу Вейерштрассу (1815 - 1897), Фердинанду Георгу Фробениусу (1849 - 1917) и французскому математику Мари Энмону Камиль Жордану (1838 - 1922). Современное название "матрица" было введено английским математиком Джеймсом Сильвестром (1814 - 1897) в 1850 году.

Применение матриц

Матрицы широко применяются в математике для компактной записи СЛАУ или систем дифференциальных уравнений. Тогда количество строк матрицы соответствует количеству уравнений системы, а количество столбцов равно количеству неизвестных. Матричный аппарат позволяет свести решение СЛАУ к операциям над матрицами.

Матрицы: основные определения и понятия

Определение

Матрицей размера называется прямоугольная таблица, содержащая чисел, состоящая из строк и столбцов.

Обозначение

Таблица берется либо в круглые скобки, либо окружается двумя параллельными вертикальными прямыми.

Пример

Если матрица содержит строк и столбцов, то матрица называется матрицей размера или -матрицей. Размер матрицы указывается справа внизу возле ее имени, либо таблицы с обозначением элементов.

Пример

Элементы матрицы

Элементы матрицы обозначаются , где - номер строки, в которой находится элемент, а - номер столбца.

Пример

Задание. Чему равен элемент матрицы ?

Решение. Находим элемент, который стоит на пересечении второй строки и третьего столбца:

Таким образом, .

Ответ.

Определение

Строка матрицы называется нулевой, если все ее элементы равны нулю. Если хотя бы один из элементов строки не равен нулю, то строка называется ненулевой.

Замечание. Аналогичное определение и для нулевого и ненулевого столбцов матрицы.

Пример

В матрице первая строка является нулевой (любой элемент этой строки равен нулю); вторая строка ненулевая, так как элемент .

Диагонали

Определение

Главной диагональю матрицы называется диагональ, проведённая из левого верхнего угла матрицы в правый нижний.

Побочной диагональю матрицы называется диагональ, проведённая из левого нижнего угла матрицы в правый верхний.

Пример

: 1 и 6 - элементы главной диагонали.

: 3 и 4 - элементы побочной диагонали.

Для матрицы элементы 1, 2, -1 образуют главную диагональ; а элементы 3, 2, 2 - побочную.

Виды матриц

Определение

Матрица размера называется квадратной, число называется порядком матрицы.

Пример

- квадратная матрица порядка 2 или матрица второго порядка.

Определение

Матрица называется нулевой, если все её элементы равны нулю, т.е. .

Пример

Определение

Матрица, состоящая из одной строки, называется вектор-строкой, а матрица, состоящая из одного столбца, - вектор-столбцом.

Пример

- вектор-строка; - вектор-столбец.

Диагональные матрицы

Определение

Квадратная матрица называется диагональной, если все ее элементы, стоящие вне главной диагонали, равны нулю.

Замечание. Диагональные элементы матрицы (т.е. элементы, стоящие на главной диагонали) могут также равняться нулю.

Пример

Определение

Скалярной называется диагональная матрица , у которой все диагональные элементы равны между собой.

Замечание. Если нулевая матрица является квадратной, то она также является и скалярной.

Пример

Определение

Единичной матрицей называется скалярная матрица порядка , диагональные элементы которой равны 1.

Замечание. Для сокращения записи порядок единичной матрицы можно не писать, тогда единичная матрица обозначается просто .

Пример

- единичная матрица второго порядка.

Треугольные матрицы

Определение

Матрица называется верхней треугольной матрицей, если все элементы ниже главной диагонали равны нулю.

Матрица называется нижней треугольной матрицей, если все элементы выше главной диагонали равны нулю.

Замечание. Диагональная матрица - это пример матрицы, которая является одновременно верхне- и нижнетреугольной.

Пример

- верхнетреугольная матрица.

Операции над матрицами

Некоторые операции над матрицами, такие как сложение и вычитание, допускаются только для матриц одинакового размера.

Равные матрицы

Определение

Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковые размеры и их соответствующие элементы равны:

Пример

. Эти матрицы равны, т.к. равны их размеры: и , а также соответствующие элементы: ;

Пример

Задание. Пусть задана матрица . Найти все элементы матрицы , если известно, что она равна матрице

Решение. Так как матрицы и равны, то равны и их соответствующие элементы, т.е.

Ответ.

Сумма матриц

Определение

Суммой матриц и одного размера называется матрица такого же размера, получаемая из исходных путем сложения соответствующих элементов.

Пример

Задание. Найти , если ,

Решение.

Ответ.

Операции умножение матрицы на число и сумма матриц называются линейными.

 

Свойства линейных операций:

Везде далее матрицы , и - матрицы одного размера.

1. Ассоциативность

2. , где - нулевая матрица соответствующего размера.

3.

4. Коммутативность

5. Дистрибутивность

6.

7.

Произведение двух матриц

Определение

Произведением матрицы на матрицу называется матрица такая, что элемент матрицы , стоящий в -ой строке и -ом столбце, т.е. элемент , равен сумме произведений элементов -ой строки матрицы на соответствующие элементы -ого столбца матрицы .

Пример

Задание. Найти , если

Решение. Так как , а , то в результате получим матрицу размера , т.е. матрицу вида . Найдем элементы данной матрицы:

Таким образом, получаем, что:

Все вычисления можно было сделать в более компактном виде:

Ответ.

 

Свойства произведения матриц:

1. Ассоциативность

2. Ассоциативность по умножению

3. Дистрибутивность ,

4. Умножение на единичную матрицу

5. В общем случае умножение матриц не коммутативно, т.е.

6.

Транспонирование матриц

Определение

Транспонирование матрицы - это операция над матрицей, когда ее строки становятся столбцами с теми же номерами.

Пример

Задание. Найти транспонированную матрицу , если

Решение.

 

Свойства транспонирования матриц:

1.

2.

3.

4.

Правило треугольника

Схематически это правило можно изобразить следующим образом:

Произведение элементов в первом определителе, которые соединены прямыми, берется со знаком "плюс"; аналогично, для второго определителя - соответствующие произведения берутся со знаком "минус", т.е.

Пример

Задание. Вычислить определитель методом треугольников.

Решение.

Ответ.

 

Обратная матрица

На множестве матриц не определена операция деления, она заменена умножением на обратную матрицу.

Определение

Невырожденной называется квадратная матрица, определитель которой не равен нулю. Квадратная матрица называется вырожденной, если ее определитель равен нулю.

Квадратная матрица называется обратной к невырожденной матрице , если , где - это единичная матрица соответствующего порядка.

Замечание

Обратная матрица существует только для квадратных матриц с не равными нулю определителями.

Свойства обратной матрицы:

1°

2°

3°

4°

 

Нахождение обратной матрицы

Шаг 1. Находим определитель заданной матрицы, если он равен нулю, то делаем вывод, что обратной матрицы не существует, иначе переходим к следующему шагу.

Шаг 2. Элементы, стоящие на главной диагонали меняем местами, а у элементов побочной диагонали меняем знак на противоположный.

Шаг 3. Делим все элементы на и получаем обратную матрицу.

Пример

Задание. Найти обратную матрицу для

Решение. Шаг 1. , тогда обратной матрицы не существует.

Ответ. Так как определитель матрицы равен нулю, то она не имеет обратной.

Пример

Задание. Найти обратную матрицу для

Решение. Шаг 1. Находим определитель:

Шаг 2.

Шаг 3.

Ответ.

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

Историческая справка

Исторически комплексные числа впервые были введены в связи с выведением формулы вычисления корней кубического уравнения . Итальянский математик Никколо Фонтана Тартальей (1499 - 1557) в первой половине 16 века получил выражение для корня такого уравнения через некоторые параметры, для нахождения которых составляется система. Но было выяснено, что такая система не для всех кубических уравнений имела решение в действительных числах. Это непонятное на то время явление объяснил в 1572 году Рафаэль Бомбелли (1526 - 1572), что по сути было введением комплексных чисел и действий над ними. Но долгое время полученные результаты многими учеными считались сомнительными и лишь в 19 веке после появления трудов немецкого математика, механика, физика, астронома и геодезиста Карла Фридриха Гаусса (1777 - 1855) существование комплексных чисел стало общепризнанным.

Хотя согласно некоторым источникам, по-видимому, мнимые величины были впервые упомянуты в 1545 году в известном труде "Великое искусство, или об алгебраических правилах" итальянского математика, инженера, философа, медика и астролога Джероламо Кардано (1501 - 1576), в рамках формального решения задачи по вычислению двух чисел, которые в сумме дают 10, а при перемножении дают 40.

Выражения, представимые в виде , появляющиеся при решении квадратных и кубических уравнений, стали называть "мнимыми" в 16-17 вв. с подачи французского философа, математика, механика, физика и физиолога Рене Декарта (1596-1650), который называл их так, отвергая их реальность.

Одним из способов построения множества комплексных чисел состоит в том, что множество действительных чисел расширяют присоединением к этому множеству корня уравнения .

Продолжительное время стоял вопрос, является ли множество комплексных чисел замкнутым, то есть все ли операции над комплексными числами являются приводят к комплексным или вещественным результатам, или, например, извлечение корня может привести к открытию ещё какого-то нового типа чисел. Задача о выражении корней -ой степени из рассматриваемого комплексного числа была решена в работах английского математика Абрахама де Муавра (1667 - 1754) в 1707 году и английского математика и философа Роджера Котса (1682 - 1716) в 1722 году.

Символ для обозначения мнимой единицы предложил швейцарский, немецкий и российский математик и механик Леонардо Эйлер в 1777, взявший для этого первую букву латинского слова "imaginarius" - мнимый. Он же распространил все стандартные функции, включая логарифм, на комплексную область.

Понятие комплексного числа

Определение

Комплексным числом называется выражение вида

Например.

Мнимая единица

Величина называется мнимой единицей и удовлетворяет соотношению:

Равные комплексные числа

Два комплексных числа и называются равными, если равны их действительные и мнимые части соответственно:

Пример

Задание. Определить при каких значениях и числа и будут равными.

Решение. Согласно определению тогда и только тогда, когда

Ответ.

Число называется комплексно сопряженным числом к числу .

То есть комплексно сопряженные числа отличаются лишь знаком мнимой части.

Например. Для комплексного числа комплексно сопряженным есть число ; для комплексно сопряженное и для имеем, что .

Комплексное число называется противоположным к комплексному числу .

Например. Противоположным к числу есть число: .

Модуль комплексного числа

Комплексное число также можно изображать радиус-вектором (рис. 2). Длина радиус-вектора, изображающего комплексное число , называется модулем этого комплексного числа.

Модуль любого ненулевого комплексного числа есть положительное число. Модули комплексно сопряженных чисел равны. Модуль произведения/частного двух комплексных чисел равен произведению/частному модулей каждого из чисел.

Модуль вычисляется по формуле:

То есть модуль есть сумма квадратов действительной и мнимой частей заданного числа.

Пример

Задание. Найти модуль комплексного числа

Решение. Так как , , то искомое значение

Ответ.

Замечание

Иногда еще модуль комплексного числа обозначается как или .

Аргумент комплексного числа

Угол между положительным направлением действительной оси и радиус-вектора , соответствующим комплексному числу , называется аргументом этого числа и обозначается .

Аргумент комплексного числа связан с его действительной и мнимой частями соотношениями:

На практике для вычисления аргумента комплексного числа обычно пользуются формулой:

Пример

Задание. Найти аргумент комплексного числа

Решение. Так как , то в выше приведенной формуле будем рассматривать вторую строку, то есть

Ответ.

Аргумент действительного положительного числа равен , действительного отрицательного - или . Чисто мнимые числа с положительной мнимой частью имеют аргумент равный , с отрицательной мнимой частью - .

У комплексно сопряженных чисел аргументы отличаются знаком (рис. 3).

Сложение комплексных чисел

Определение

Суммой двух комплексных чисел и называется комплексное число , которое равно

То есть суммой двух комплексных чисел есть комплексное число, действительная и мнимая части которого есть суммой действительных и мнимых частей чисел-слагаемых соответственно.

Пример

Задание. Найти сумму , если , .

Решение. Искомая сумма равна

Ответ.

Вычитание комплексных чисел

Определение

Разностью двух комплексных чисел и называется комплексное число , действительная и мнимая части которого есть разностью действительных и мнимых частей чисел и соответственно:

Пример

Задание. Найти разность , если , .

Решение. Действительная часть искомого комплексного числа равна разности действительных частей чисел