Определение уравновешивающей силы с помощью рычага Н. Е. Жуковского

 

Силовой расчет плоского рычажного механизма в курсовой работе предлагается выполнять методом кинетостатики с использованием графоаналитического способа построения планов сил.

Кинетостатика – это раздел механики, изучающий движение посредством уравнений, записанных в форме уравнений статики с использованием принципа Даламбера.

Механизм работает под воздействием различных сил: движущих сил, сил сопротивления, тяжести, инерции. Активные силы, реакции связей и силы инерции в любой момент движения образуют равновесную систему сил.

Силы, действующие на механизм:

1) движущие силы  и моменты движущих сил

2) силы сопротивления и моменты сил сопротивления: полезного (технологического) –  и вредного –

3) силы тяжести подвижных звеньев

4) силы реакций связей в кинематических парах

5) силы инерции и моменты инерции:

- сила инерции при поступательном движении (рис. 3.2):

F _{и i} = – m _i × a _Si,                                     (3.6)

где m _i – масса i -го звена, кг; a _Si – значение модуля ускорения точки S_i, м/с²; знак «минус» означает, что вектор силы инерции направлен в противоположную вектору ускорения центра тяжести звена сторону;

- момент сил инерции при вращательном движении (рис. 3.3):

M _{и i} = – J_Si × e _i × sgne _i,                              (3.7)

где J_Si – заданный момент инерции i -го звена, кг×м²; e _i – угловое ускорение звена, 1/с².

Направление углового ускорения (sgne _i = ±1) определяется тем направлением, куда вектор касательного ускорения  стремится «повернуть» звено вокруг центра его вращения: sgne _i = 1 – при вращении против часовой стрелки; sgne _i = –1 – при вращении по часовой стрелке.

 

 

Рис. 3.2. Сила инерции при поступательном движении: S – центр тяжести звена; F _и – сила инерции

 

 

Рис. 3.3. Момент сил инерции при вращательном движении: ω – угловая скорость звена; S – центр масс звена

 

Для примера рассмотрим механизм, на который действуют силы, как показано на рис. 3.4.

 

 

Рис. 3.4. Схема силового нагружения механизма: F ₁– F ₃ – силы, действующие на звенья; F _ур – уравновешивающая сила; S ₁, S ₂ – центры масс звеньев

 

Определение уравновешивающей силы аналитическим методом выполняется следующим образом:

1) составим уравнение суммы элементарных работ всех сил:

2) разделим составляющие на dt:

3) так как  – скорость точки S_i, то:

Таким образом, получаем для уравновешивающей силы:

                            (3.8)

Так называемый рычаг Н. Е. Жуковского представляет собой графическую интерпретацию известного принципа Даламбера – Лагранжа об элементарной работе приложенных к механической системе сил: рычаг Н. Е. Жуковского для механизма с одной степенью свободы всегда находится в равновесии.

Для построения и использования рычага Н. Е. Жуковского необходимо:

1) повернуть план скоростей механизма вокруг полюса  в любую сторону (например, в сторону вращения кривошипа) на 90°;

2) приложить в соответствующих динамической схеме механизма точках повернутого плана скоростей все активные силы, силы инерции и неизвестную уравновешивающую силу;

3) составить уравнение моментного равновесия полученной схемы относительно полюса  повернутого плана скоростей.

Направления векторов сил на рычаге должны строго соответствовать их направлениям на динамической схеме механизма. Плечи сил относительно полюса  в миллиметрах снимаются непосредственно с чертежа рычага. Вектор  уравновешивающей силы прикладывается в точке а рычага перпендикулярно отрезку .

Этот метод дает возможность решать сложные задачи динамики с помощью уравнений равновесия статики.

Пример 5. Пусть на звенья механизма действуют силы, как указано на рис. 3.5.

 

 

Рис. 3.5. Схема силового нагружения кривошипно-ползунного механизма: F ₁– F ₃ – силы, действующие на звенья; F _ур – уравновешивающая сила; S ₁, S ₂ – центры масс звеньев; V_A – скорость точки А; V_B – скорость точки B; V_{S 1}, V_{S 2} – скорости точек центров масс

 

Решение. Принцип построения рычага Н. Е. Жуковского для кривошипно-ползунного механизма, изображенного на рис. 3.5, показан на рис. 3.6.

 

 

Рис. 3.6. Построение рычага Н. Е. Жуковского: h ₁– h ₃ – плечи сил F ₁– F ₃, приложенных к центрам масс звеньев S ₁– S ₃; h _ур (вектор скорости точки A) – плечо уравновешивающей силы F _ур

 

Из условия равновесия момент от уравновешивающей силы F _ур относительно полюса  равен сумме моментов всех сил, приложенных к механизму относительно полюса :

Таким образом, мы получили уравнение, аналогичное уравнению аналитического метода.

В курсовом проекте уравновешивающую силу F _ур необходимо определить в два этапа:

1) для шести положений механизма – только от действия сил тяжести и внешней силы (рис. 3.7);

2) для положения механизма с F _ур максимальной (с учетом сил инерции F _{и i} и моментов инерции M _{и i} ) (рис. 3.8).

Рис. 3.9 и 3.8 поменяны местами и номерами, чтобы ссылки шли по порядку

 

 

Рис. 3.7. Схема силового нагружения кривошипно-ползунного механизма: G ₁– G ₅ – силы тяжести звеньев; F _ур – уравновешивающая сила; F _п – внешняя сила полезного сопротивления; S ₁– S ₅ – центры масс звеньев

 

 

 

Рис. 3.8. Схема силового нагружения механизма: G ₁– G ₅ – силы тяжести звеньев; F _ур – уравновешивающая сила; F _п – внешняя сила; F _и1– F _и5 – силы инерции звеньев; М _и2– М _и4 – моменты инерции звеньев 2–4; S ₁– S ₅ – центры масс звеньев; ε₂–ε₄ – угловые ускорения звеньев

 

 

 

Рис. 3.9. Рычаг Н. Е. Жуковского: h ₁– h ₄ – плечи сил тяжести G ₁– G ₄,приложенных к центрам масс звеньев S ₁– S ₅; h _ур – плечо уравновешивающей силы F _ур; h ₅ – плечо внешней силы F _п

Этап 1. Определение уравновешивающей силы F _ур от действия сил тяжести и внешней силы.

Условие равновесия для вычисления F _ур можно записать следующим образом:

Примечания

1. Если F _ур получится со знаком «минус», то нужно изменить направление на плане нагрузки.

2. F _ур следует направлять:

- в машинах-орудиях – по ω₁;

- в машинах-двигателях – против ω₁.

3. Сила полезного сопротивления (внешняя сила) F _п определяется по заданной диаграмме.

Пример построения рычага Н. Е. Жуковского для определения F _ур для всего механизма только от действия сил тяжести и внешней силы показан на рис. 3.8.

Этап 2. Определение уравновешивающей силы F _ур от действия сил тяжести и внешней силы с учетом сил инерции F _{и i} и моментов сил инерции M _{и i} .

Силы инерции F _{и i} (Н) и моменты сил инерции M _{и i} (Н·м) звеньев можно вычислить по формулам (3.6) и (3.7):

где  – касательное ускорение точки звена i, м/с²;  – ускорение точки центра тяжести звена i, м/с²; ε _i – угловое ускорение звена i, 1/с²; p_i – радиус инерции звена i, м, p_i = 0,29 l_i; J_Si – момент инерции звена i, кг·м²; l_i – длина звена i, м; m_i – масса звена i, кг.

Пример построения рычага Н. Е. Жуковского для определения F _ур для всего механизма от действия сил тяжести, внешней силы и с учетом сил инерции F _{и i} и моментов инерции M _{и i} представлен на рис. 3.10.

 

 

Рис. 3.10. Построение рычага Н. Е. Жуковского: h ₁– h ₄ – плечи сил тяжести G ₁– G ₄,приложенных к центру масс звеньев; h _ур – плечо уравновешивающей силы Fʹ _ур; h ₅ – плечо внешней силы F _п; h ʹ ₂– h ʹ ₄ – плечи сил инерции F _и2– F _и4; Мʹ _и2– Мʹ _и4 – моменты сил инерции звеньев 2–4

 

План ускорений, использовавшийся для определения сил инерции и моментов сил инерции при построении рычага Н. Е. Жуковского, показан на рис. 3.11.

 

 

Рис. 3.11. План ускорений для механизма, изображенного на рис. 3.7: a – d – скорости точек A – D; S ₁– S ₅ – скорости центров тяжести звеньев

 

Уравновешивающая сила Fʹ _ур для этапа 2, где учитываются все силы, действующие на механизм, может быть вычислена из условия, что момент от Fʹ _ур относительно полюса  равен сумме моментов всех сил, приложенных к механизму относительно полюса :

где h _ур – плечо уравновешивающей силы; Ʃ M – сумма моментов всех сил, приложенных к механизму.

Предварительно сделаем приведение момента сил инерции к масштабу плана скоростей. Масштабный коэффициент плана скоростей μ_υ можно вычислить по формуле (2.7). Тогда приведенный момент силы инерции (Н·мм) каждого из звеньев рассчитывается по формуле

Решая уравнение равновесия, получим выражение для вычисления уравновешивающей силы: