Законы теплового излучения абсолютно черного тела

После установления закона Кирхгофа перед теорией возникла задача найти явный вид зависимости излучательной способности абсолютно черного тела от частоты и температуры. Сначала удалось решить более скромную задачу.

     Больцман (1884), применив термодинамический метод показал, что установленный Стефаном (1879) эмпирический закон справедлив только для абсолютно черного тела

                                       (37)

 

где σ – постоянная Стефана-Больцмана (σ =5,77·10^-8 Вт/м²К⁴). Эта формула носит название закона Стефана-Больцмана.

    Эксперименты показали, что зависимость излучательной способности абсолютно черного тела от частоты при разных температурах имеет вид, показанный на рис.41.

Рис.41

 

Существование максимума на кривых спектральной плотности свидетельствует. что энергия излучения по спектру распределена неравномерно, черное тело излучает мало энергии в области малых и больших частот. Площадь, охватываемая кривой распределения энергии дает энергетическую светимость абсолютно черного тела R ⁰ и эта площадь возрастает пропорционально Т ⁴.

    Значительно трудной оказалось решение задачи по установлению явного вида функции Кирхгофа , описывающего кривые, представленные на рис.. Важный шаг в этом направлении сделал Вин (1893), рассмотревший излучение абсолютно черного тела с термодинамической точки зрения. Для функции Кирхгофа он получил выражение вида

.                                       (38)

Ему не удалось выразить явный вид функции, зависящей от отношения частоты к абсолютной температуре . Тем не менее, из такой зависимости были получены важные выводы. Из (38) можно вывести закон Стефана-Больцмана

,

где  – постоянный коэффициент, .

Из формулы Вина следует, что частота, соответствующая максимуму кривой спектральной плотности ν_m, выражается формулой

,                                                   (38)

где b ₁ – постоянная величина. Эту формулу называют законом смещения Вина: частота, соответствующая максимуму спектральной плотности абсолютно черного тела, прямо пропорционально его абсолютной температуре. Из этой формулы легко получить более известную формулу

,                                                (39)

где b – постоянная Вина (b =2,898·10^-3м·К). Длина волны, соответствующая максимуму спектральной плотности абсолютно черного тела, обратно пропорционально его абсолютной температуре. Из формулы Вина можно получить выражение для максимальной спектральной плотности

,

которая показывает, что она пропорциональна пятой степени абсолютной температуры. Максимум кривой  с температурой растет пропорционально Т⁵.

    Дальнейший поиск функции Кирхгофа  осуществили Релей и Джинс. В отличие от остальных исследователей для этого они применили методы классической статистической физики. Они рассчитывали распределение энергии электромагнитных волн по частотам в закрытой полости, в которой в результате интерференции падающих на стенки полости и отраженных волн образуются стоячие волны. Определяли число независимых пучностей волн и затем применяли к ним закон о равномерном распределении энергии по степеням свободы. В результате они получили формулу

.                                           (40)

Кривая Релея и Джинса изображена на рис.42 линией 1.

 

Рис. 42

Видно, что кривая Релея-Джинса 1 согласуется с данными опыта лишь в области малых частот (длинных волн). В области больших частот она сильно расходится с экспериментальной кривой 2, показывая свою непригодность для описания излучательной способности абсолютно черного тела. Формула Релея и Джинса расходилась с законами смещения Вина и Стефана-Больцмана. Она приводила к абсурдному результату, что при любой температуре энергетическая светимость обращается в бесконечность.

.

Все эти затруднения, которые образно были названы «ультрафиолетовой катастрофой» указывали на непригодность принципов классической физики для описания процесса излучения атомов и на необходимость их пересмотра. Этот пересмотр был выполнен М. Планком в 1900 г. Планк рассматривал атомы как осциллирующие диполи. Он показал, что правильное выражение для  можно получить лишь предположив, что излучение испускается атомами не непрерывно, как полагает классическая физика, а в виде отдельных порций энергии ε₁, ε_2, ε_3,…. Энергия каждой такой рции пропорциональна частоте

,

где   h – универсальная постоянная по всему спектру, получившая название постоянной Планка, в системе «СИ» она равна h = 6,62·10^-27 Дж·с.

    Полученная на этом основании формула Планка

                                       (41)

очень точно описывала экспериментальную кривую, изображенную на рис.41. Заметим, что в области малых частот формула Планка переходит в формулу Релея и Джинса. Интегрирование формулы Планка по частоте приводит к выражению

.

Найденное из этой формулы значение σ = =5,77·10^-8 Вт/м²К⁴ хорошо согласуется с экспериментальным значением.

Решение задачи на экстремум функции распределения Планка приводит к закону Вина

T·l_max = hc /4,965 k = b.

Найденная из этого выражения постоянная Вина равна b=2,90·10^-3м·К и хорошо согласуется с результатом эксперимента.

     Таким образом, формула Планка дает исчерпывающее описание равновесного излучения абсолютно черного тела. С этой формулы началось дальнейшее развитие квантовой физики.

Явления, подтверждающие квантовый характер излучени я

Фотоэлектрический эффект

    Квантовая гипотеза Планка привела к представлению о том, что свет атомами испускается и поглощается отдельными порциями энергии – квантами, нуждалась в опытных подтверждениях. Такими опытами явились фотоэлектрический эффект, химическое действие света, тормозное рентгеновское излучение, эффект Комптона, флуктуация светового потока и т д. Из этих эффектов наибольшее внимание будем уделять фотоэффекту и эффекту Комптона.

    Явление фотоэлектрического эффекта открыто нем уч. Г. Герцем (1887). Он установил, что при освещении отрицательного электрода искрового разрядника ультрафиолетовым светом разряд наступает при меньшем напряжении между электродами. В опытах, проведенных далее В. Гальваксом и А. Г. Столетовым, было установлено, что это явление обусловлено выбиванием под действием света зарядов из металлического катода разрядника.

    Мы рассмотрим внешний фотоэффект – вырывание электронов из твердых и жидких веществ под действием света. Исследования фотоэффекта на металлах показало, что этот эффект зависит не только химической природы металла, но и от состояния его поверхности. Поэтому изучение фотоэффекта проводят в вакуумной трубке (рис.43).

Рис.43

 Освещение катода выполняется через кварцевое окно, напряжение между катодом и анодом изменяется с помощью потенциометра, фототок измеряется гальванометром. На рис.44 изображены кривые зависимости фототока I от напряжения U, соответствующие двум энергетическим освещенностям.

Рис.44

Частота света в обоих экспериментах одинакова. Существование фототока в области отрицательных напряжений от 0 до – U ₀ свидетельствует о том, что вырванные светом электроны обладают кинетической энергией, за счет которой они совершают работу по преодолению задерживающего электрического поля и достигают анода. Максимальная начальная скорость фотоэлектронов определяется соотношением

,                                             (42)

где e и m – заряд и масса электрона. 

Максимальное значение силы тока I _н называется током насыщения и он равен

I _н = е n,

где n – число электронов, вырываемых из катода за 1 с. Опыт показывает, что фотоэффект практически безынерционен.

Законы  внешнего фотоэффекта

1. Максимальная начальная скорость фотоэлектронов определяется частотой света и не зависит от его интенсивности.

2. Для каждого вещества существует красная граница фотоэффекта – минимальная частота ν ₀ света, при которой фотоэффект перестает наблюдаться.

3. Число фотоэлектронов, вырванных из катода за единицу времени пропорционально интенсивности падающего света.

Явление фотоэффекта в течение значительного времени не находило объяснения, потому, что его законы противоречили принципам классической физики. Например, согласно первому закону начальная скорость вырванных светом электронов, т. е. их кинетическая энергия, зависит от частоты, а не от амплитуды световой волны и связанной с ней интенсивности света. Это относится в равной мере и к второму закону.

В 1905 г. Эйнштейн показал, что основные закономерности фотоэффекта могут быть легко объяснены, если считать, что свет поглощается такими же порциями , какими по предположению Планка, излучаются. Тогда энергия кванта света передаваемая электрону идет на работу вырывания электрона из металла и сообщение электрону кинетической энергии. Тогда из закона сохранения энергии следует

.                                              (43)

Это равенство называется формулой Эйнштейна. На основе соотношения (42) оно может быть переписано в виде

,

где hν ₀ – квант световой энергии, соответствующий красной границе фотоэффекта. В таком виде формула Эйнштейна многократно подверглась экспериментальной проверке. Эта формула содержит пропорциональность между кинетической энергией вырванных фотоэлектронов и частотой падающего света. Она указывает наличие красной границы фотоэффекта и позволяет оценить работу выхода электронов из металла.

    В развитие взглядов о квантовом характере излучения и его взаимодействия с веществом ввели свой вклад и российские ученые. А.Ф. Иоффе и Н.И Добронравов (1922) изучали изменение заряда небольшой пылинки, взвешенной в электрическом поле под действием слабого потока света, Опыт показал, что пылинка в электрическом поле «вздрагивала» в среднем через каждые 30 минут, показывая попадание отдельного фотона на пылинку.

    С.И. Вавилов с сотрудниками визуально наблюдал флуктуации интенсивности слабого светового потока в виде вспышек. Наблюдение велось на пороге светового восприятия человеческого глаза. Наблюдатель часть вспышек видел, часть из них не видел. Опыт свидетельствовал о том, что в разные промежутки времени источник света испускает разное число фотонов.

    Внешний фотоэффект не является единственным видом фотоэффекта, существует также внутренний фотоэффект, наблюдаемый в диэлектриках и полупроводниках, Он заключается в возбуждении переходов электронов, поглотивших квант света, из валентной зоны в зону проводимости. В результате этого появляется пара носителей тока и увеличивается проводимость вещества.

    В области р - n -перехода и на границе металла с полупроводником наблюдается вентильный фотоэффект. Он заключается в возникновении под действием света электродвижущей силы в области р - n -перехода.

    На основе фотоэффекта построены различные устройства, широко применяемые в технике. Это фотоэлементы, фотоумножители, фотосопротивления и т. д.

Фотон и его свойства

Стало очевидным, что свет испускается, поглощается и распространяется в виде отдельных квантов, что позволило Эйнштейну рассматривать квант света как частицу, а именно, световую частицу, которую он назвал фотоном. Энергия фотона равна . Из соотношения связи массы и энергии следует, что фотон обладает массой

.                                         (44)

Фотон в любой среде движется, как и в вакууме со скоростью с. Это утверждение не противоречит опытному факту, что скорость света в среде  всегда меньше, чем в вакууме, потому что движение фотона в среде связано с переизлучением. В отличие от других элементарных частиц,  масса покоя фотона равна нулю. Этот вывод следует из соотношения  (скорость фотона = с). Импульс фотона р_ф и энергия фотона ε, в соответствии с общей формулой специальной теории относительности связаны соотношением

для фотона m = 0 и

р_ф = ,

где  - приведенная постоянная Планка. Направление импульса совпадает с направлением распространения света, характеризуемому волновым вектором , численно равнымволновому вектору . Таким образом, фотон подобно любой частице обладает массой, импульсом и энергией, эти корпускулярные свойства света связаны с его волновой характеристикой – его частотой ν.

Давление света

Экспериментальным доказательством импульса фотона является существование давления света. С квантовой точки зрения давление света вызвано передачей фотоном импульса поверхности, с которой фотон соударяется. Пусть на единицу поверхности падает за единицу времени N фотонов. Если все фотоны поглощаются поверхностью, то давление оказываемое на поверхность равно . Если все фотоны отражаются от поверхности, давление удвоится за счет отдачи фотонов .Если отражается только доля ρ фотонов, то давление выразится в виде

,                                       (45)

где ρ – коэффициент отражения. – интенсивность света тогда

.                                               (46)

Эта формула совпадает с формулой для давления электромагнитной волны. Формула (46) была подтверждена опытами П. Н. Лебедева.

Эффект Комптона

Квантовые свойства света наиболее отчетливо проявляются в эффекте обнаруженном (1923) А. Комптоном (1892-1962) при наблюдении рассеяния монохроматического рентгеновского излучения веществами из легких атомов (графит, парафин, бор и т.д.). Схема его опыта изображена на рис.45.

Рис.45

Узкий диафрагмированный пучок падает на рассеивающее вещество РВ и после рассеяния на угол q попадает на рентгеновский спектрограф, состоящий из кристалла Кр и приемника Пр. Комптон установил, что в рассеянных лучах наряду с излучением первоначальной длины волны l присутствует также излучение большей длины волны l'. Разность Δl = l'-l оказалась независящей от l и природы рассеивающего вещества. Экспериментально была установлена следующая зависимость

                               (47)

где q - угол, образуемый направлением рассеянного пучка с направлением первичного пучка, l_С – постоянная, равная 2,42 пм, называется комптонов-ской длиной волны.

Все особенности эффекта Комптона можно объяснить, рассматривая рассеяние как процесс упругого соударения фотонов с практически свободными электронами. Свободными можно считать наиболее слабо связанные с атомом валентные электроны, энергия связи которых много меньше энергии, передаваемой рентгеновским фотоном при соударении. При соударении с фотоном электрон приобретает импульс и энергию и его называют электроном отдачи.

Пусть на покоящийся свободный электрон падает фотон с энергией  и импульсом . Энергия электрона  и его импульс равны нулю. После соударения электрон будет обладать кинетической энергией  и импульсом , импульс фотона и его энергия тоже изменятся и станут равными  и . В векторной форме закон сохранения импульса выражается в виде .

Исходя из рис.46, это соотношение перепишем в скалярной форме

 

 

Рис.46

 

или                                                                       (48)

и напишем закон сохранения энергии

 ,                                            (49)

откуда                                  .                                         (50)

Приравнивая выражения (48) и (50), получаем

 

,

приведя выражение в скобке в левой части равенства к общему знаменателю, получим

.

Теперь учтем, что l' мало отличается от l и, переписав это выражение в виде

 

и, сократив на l², получим выражение

по форме совпадающее с эмпирической формулой Комптона. Приобретает физический смысл и комптоновская длина волны . Ее значение, вычисленное по этой формуле очень хорошо согласуется с эксперименталь-ным значением 2,42 пм. Понятно, что эффект Комптона подтверждает квантовую природу излучения.