Осталось доказать, что связь между моментами силы относительно точки и оси не зависит от выбора точки на оси.

Рис. 10

Возьмем вторую точку на оси О₁ (рис. 11) и единичный орт оси l, тогда

Здесь .

Рис. 11

Зависимость между моментами силы относительно оси и точки иногда принимается в качестве определения момента силы относительно оси, которое эквивалентно определению, данному в пункте 1.3.2.

Моменты силы относительно начала координат

Запишем выражение для момента силы относительно начала координат О в виде определителя (рис. 12):

Спроектировав выражение (1.5) на оси декартовой системы координат, с учетом связи между моментами силы относительно точки и оси, получим:

(1.6)

Рис. 12

 

8 Кинетическая энергия вращающегося тела

Определим кинетическую энергию твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Разобьем это тело на n материальных точек. Каждая точка движется с линейной скоростью υ_i=ωr_i, тогда кинетическая энергия точки

или

Полная кинетическая энергия вращающегося твердого тела равна сумме кинетических энергий всех его материальных точек:

(3.22)

(J - момент инерции тела относительно оси вращения)

Если траектории всех точек лежат в параллельных плоскостях (как у цилиндра, скатывающегося с наклонной плоскости, каждая точка перемещается в своей плоскости рис), это плоское движение. В соответствии с принципом Эйлера плоское движение всегда можно бесчисленным количеством способов разложить на поступательное и вращательное движение. Если шарик падает или скользит вдоль наклонной плоскости, он двигается только поступательно; когда же шарик катится – он ещё и вращается.

Если тело совершает поступательное и вращательное движения одновременно, то его полная кинетическая энергия равна

(3.23)

Из сопоставления формул кинетической энергии для поступательно­го и вращательного движений видно, что мерой инертности при враща­тельном движении служит момент инерции тела.

Работа внешних сил при вращении твёрдого тела

При вращении твёрдого тела его потенциальная энергия не изменяется, поэтому элементарная работа внешних сил равна приращению кинетической энергии тела:

dA = dE или

Учитывая, что Jβ = M, ωdr = dφ, имеем α тела на конечный угол φ равна

(3.25)

При вращении твёрдого тела вокруг неподвижной оси работа внешних сил определяется действием момента этих сил относительно данной оси. Если момент сил относительно оси равен нулю, то эти силы работы не производят.

Примеры решения задач

Пример 2.1. Маховик массой m =5кг и радиусом r = 0,2 м вращается вокруг горизонтальной оси с частотой ν ₀=720 мин^-1 и при торможении останавливается за t =20 с. Найти тормозящий момент и число оборотов до остановки.

Решение

Для определения тормозящего момента применим основное уравнение динамики вращательного движения

IΔω = MΔt

где I=mr²– момент инерции диска; Δω =ω - ω₀, причём ω =0 конечная угловая скорость, ω₀=2πν₀ - начальная. М –тормозящий момент сил, действующих на диск.

Зная все величины, можно определить тормозящий момент

-mr² 2πν₀ = МΔt (1)

откуда

(2)

Из кинематики вращательного движения угол поворота за время вращения диска до остановки может быть определён по формуле

(3)

где β–угловое ускорение.

По условию задачи: ω =ω₀ – βΔt, так как ω=0, ω₀ = βΔt

Тогда выражение (2) может быть записано в виде:

Пример 2.2. Два маховика в виде дисков одинаковых радиусов и масс были раскручены до скорости вращения n= 480 об/мин и предоставили самим себе. Под действием сил трения валов о подшипники первый остановился через t =80 с, а второй сделал N= 240 оборотов до остановки. У какого и маховика момент сил трения валов о подшипники был больше и во сколько раз.

Решение:

Момент сил терния М₁ первого маховика найдём, воспользовавшись основным уравнением динамики вращательного движения

M₁Δt = Iω₂- Iω₁

где Δt – время действия момента сил трения, I=mr² - момент инерции маховика, ω₁= 2πν и ω₂= 0– начальная и конечная угловые скорости маховиков

Тогда

Момент сил трения М₂ второго маховика выразим через связь между работой А сил трения и изменением его кинетической энергии ΔE_к:

где Δφ = 2πN – угол поворота, N -число оборотов маховика.

Тогда, откуда

О тношение будет равно

Момент сил трения второго маховика в 1.33 раза больше.

Пример 2.3. Масса однородного сплошного диска m, массы грузов m₁ и m₂ (рис.15). Скольжения и трения нити в оси цилиндра нет. Найти ускорение грузов и отношение натяжений нити в процессе движения.

Решение

Проскальзывания нити нет, поэтому, когда m₁ и m₂ будут совершать поступательное движение, цилиндр будет совершать вращение относительно оси, проходящей через точку О. Положим для определённости, что m₂ > m₁ .

Тогда груз m₂ опускается и цилиндр вращается по часовой стрелке. Запишем уравнения движения тел, входящих в систему

Первые два уравнения записаны для тел с массами m₁ и m₂, совершающих поступательное движение, а третье уравнение – для вращающегося цилиндра. В третьем уравнении слева стоит суммарный момент сил, действующих на цилиндр (момент силы T₁ взят со знаком минус, так как сила T₁ стремится повернуть цилиндр против часовой стрелки). Справа I - момент инерции цилиндра относительно оси О, который равен

где R - радиус цилиндра; β - угловое ускорение цилиндра.

Так как проскальзывания нити нет, то . С учётом выражений для I и β получим:

Складывая уравнения системы, приходим к уравнению

Отсюда находим ускорение a грузов

Далее легко найти T₁ и T₂ и их отношение

Из полученного уравнения видно, что натяжения нитей будут одинаковы, т.е. =1, если масса цилиндра будет гораздо меньше массы грузов.

Пример 2.4. Полый шар массой m = 0,5 кг имеет внешний радиус R = 0,08м и внутренний r = 0,06м. Шар вращается вокруг оси, проходящей через его центр. В определённый момент на шар начинает действовать сила, в результате чего угол поворота шара изменяется по закону . Определить момент приложенной силы.

Решение

Решаем задачу, используя основное уравнение динамики вращательного движения . Основная трудность – определить момент инерции полого шара, а угловое ускорение β находим как . Момент инерции I полого шара равен разности моментов инерции шара радиуса R и шара радиуса r:

где ρ - плотность материала шара. Находим плотность, зная массу полого шара

Отсюда определим плотность материала шара

Так как

Для момента силы M получаем следующее выражение:

Пример 2.5. Тонкий стержень массой 300г и длиной 50см вращается с угловой скоростью 10с^-1 в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей через середину стержня. Найдите угловую скорость, если в процессе вращения в той же плоскости стержень переместится так, что ось вращения пройдёт через конец стержня.

Решение

Используем закон сохранения момента импульса

(1)

(J_i-момент инерции стержня относительно оси вращения).

Для изолированной системы тел векторная сумма моментов импульса остаётся постоянной. Вследствие того, что распределение массы стержня относительно оси вращения изменяется момент инерции стержня также изменяется в соответствии с (1):

J₀ω₁ = J₂ω₂. (2)

Известно, что момент инерции стержня относительно оси, проходящей через центр масс и перпендикулярной стержню, равен

J₀ = mℓ²/12. (3)

По теореме Штейнера

J =J₀ +m а ²

(J-момент инерции стержня относительно произвольной оси вращения; J₀ – момент инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс; а - расстояние от центра масс до выбранной оси вращения).

Найдём момент инерции относительно оси, проходящей через его конец и перпендикулярной стержню:

J₂ =J₀ +m а ², J₂ = mℓ²/12 +m(ℓ/2)² = mℓ²/3. (4)

Подставим формулы (3) и (4) в (2):

mℓ² ω₁/12 = mℓ² ω₂/3

откуда

ω₂ = ω₁/4 ω₂ =10с-1/4=2,5с^-1

Пример 2.6. Человек массой m=60кг, стоящий на краю платформы массой М=120кг, вращающейся по инерции вокруг неподвижной вертикальной оси с частотой ν₁=12мин^-1, переходит к её центру. Считая платформу круглым однородным диском, а человека – точечной массой, определите, с какой частотой ν₂ будет тогда вращаться платформа.

Дано: m=60кг, М=120кг, ν₁=12мин^-1 = 0,2с^-1.

Найти: ν₁

Решение: Согласно условию задачи, платформа с человеком вращается по инерции, т.е. результирующий момент всех сил, приложенных к вращающейся системе, равен нулю. Поэтому для системы «платформа-человек» выполняется закон сохранения момента импульса

I₁ω₁= I₂ω₂

где - момент инерции системы, когда человек стоит на краю платформы (учли, что момент инерции платформы, равен (R – радиус п латформы), момент инерции человека на краю платформы равенmR²).

- момент инерции системы, когда человек стоит в центре платформы (учли, что момент человека, стоящего в центре платформы, равен нулю). Угловая скорость ω₁= 2π ν₁ и ω₁= 2π ν₂.

Подставив записанные выражения в формулу (1), получаем

откуда искомая частота вращения

Ответ: ν₂=24мин^-1.

 

9 Теорема Штейнера

Рис. 4.8

Понять то, как меняется момент инерции при параллельном переносе оси, помогает теорема Штейнера. Рассмотрим произвольное твердое тело массы т в проекции, перпендикулярной оси вращения О, проходящей через центр масс тела (рис. 4.8). Рассмотрим другую произвольную ось вращения O_v параллельную оси О и расположенную на расстоянии а от нее.

Момент инерции относительно оси О равен

Аналогично момент инерции относительно оси О,

Воспользовавшись тем, что квадрат вектора равен квадрату его модуля и R_u =R_{ + а, получим:

По определению центра масс последняя сумма равна нулю, откуда следует

Таким образом, доказана следующая теорема.

Теорема Штейнера: момент инерции тела относительно произвольной оси вращения равен сумме момента инерции этого тела, взятого относительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.

Из теоремы Штейнера следует, что момент инерции минимален относительно оси, проходящей через центр масс тела.

Теорема позволяет, например, из формулы (4.19) вычислить момент инерции для тонкого стержня длины L, если ось вращения перпендикулярна стержню и проходит через его конец:

 

10 Уравнение динамики вращательного движения твердого тела

Рассмотрим вначале материальную точку А массой m, движущуюся по окружности радиусом г (рис. 1.16). Пусть на нее действует постоянная сила F, направленная по касательной к окружности. Согласно второму закону Ньютона, эта сила вызывает тангенциальное ускорение илиF = m a _τ.

Используя соотношение a _τ = βr, получаем F = m βr.

Умножим обе части написанного выше равенства на r.

Fr = m βr ². (3.13)

Левая часть выражения (3.13) является моментом силы: М= Fr. Правая часть представляет собой произведение углового ускорения β на момент инерции материальной точки А: J= m r ².

Угловое ускорение точки при ее вращении вокруг неподвижной оси пропорционально вращающему моменту и обратно пропорционально моменту инерции (основное уравнение динамики вращательного движения материальной точки):

М = β J или (3.14)

При постоянном моменте вращающей силы угловое ускорение будет величиной постоянной и его можно выразить через разность угловых скоростей:

(3.15)

Тогда основное уравнение динамики вращательного движения можно записать в виде

или (3.16)

[ —момент импульса (или момент количества движения), МΔt — импульс момента сил (или импульс вращающего момента)].

Основное уравнение динамики вращательного движения можно записать в виде

(3.17)