Подставив это выражение в уравнение (2), найдём

 

кг^.м² =9,75 кг^.м².

 

Ответ: момент инерции барабана J = 9,75 кг^.м2.

 

Задача 5. К ободу однородного диска радиусом R = 0,2 м приложена постоянная касательная сила F = 100 Н. При вращении на диск действует момент сил трения М_тр = 5 Н^.м. Найти массу диска, если известно, что диск вращается с постоянным угловым ускорением e = 100  (рис. 2.9).

Дано:        

R = 0,2 м                                            

F  = 100 H          

M _тр = 5 Н^.м                       

e = 100

m -?                                     

                                                    

                                        

                                                                  Рис. 2.9         

Решение

 

Определим направление углового ускорения и момента силы , применяя правило правого винта. Если смотреть с конца вектора , вращение будет происходить против часовой стрелки. Момент сил трения будет тормозить вращение, значит, будет направлен против вращающего момента   вдоль оси вращения. Угловое ускорение будет направлено в сторону главного момента всех сил, т.е. в сторону алгебраической суммы моментов и . Тогда можно записать основной закон динамики вращательного движения так:

 

М - М_тр = J e,

где М = FR.

Момент инерции диска (сплошной цилиндр) J равен  Получаем  e = , откуда .

Подставляя численные значения, получаем

 

= 7,5 кг.

 

Ответ: масса диска m = 7,5 кг.

 

Задача 6. Две гири массой = 2 кг и = 1 кг связаны нитью, перекинутой через блок. Радиус блока R = 0,1 м, масса m = 1 кг. Найти ускорение, с которым движутся грузы и силы натяжения нитей Т ₁ и Т ₂. Нить нерастяжима и невесома. Блок – однородный цилиндр (рис. 2.10).

 

Дано:                            

= 2 кг                  

= 1кг

m =1 кг

R = 0,1 м     

                            

а -?, Т ₁ -?, Т ₂ -?

 

 

  

                                               

 

                                                             Рис. 2.10

 

Решение

 

1) На грузы действуют силы  и и

На блок действуют силы натяжения нити  и которые равны соответственно  и  по третьему закону Ньютона. Ускорения грузов одинаковы, т.к. нить невесома и нерастяжима.

 Силы  и создают момент силы и , направленные вдоль оси блока в противоположные стороны: .

2) Составим систему уравнений для грузов и блоков:

3) Силы и моменты сил для каждого тела коллинеарные, следовательно, можно переписать уравнение в скалярной форме:    

 

                                            

 

Решим полученную систему уравнений, учитывая, что

 

 

Подставим эти выражения в уравнение (3):

 

т.е.

Просуммируем первые два уравнения системы:

 

 

Тогда      

или        

откуда                       

 = 2,8 .

 

Из уравнения (1)

 

 Н.

 

Из уравнения (2)

 

 

Ответ: а = 2,8 ; Т ₁ = 14 Н; Т ₂ = 12,6 Н.

 

Задача 7. С наклонной плоскости без скольжения скатывается однородное тело. Найти ускорение тела и силу трения, если угол наклона плоскости к горизонту 30⁰. Масса тела 0,8 кг, тело – обруч (рис. 2.11).

 

Дано:

m = 0,8 кг

a = 30⁰

J = m

а -? F _тр -?   

                                                                                          

 

                                                             

                                                          Рис. 2.11

Решение

 

1)

Ускорение точки обода равно ускорению центра масс, т.к. движение происходит без скольжения.

2) В проекциях на оси координат:

 

                                  

 

Решаем систему уравнений. Из уравнения (2)

 

F _тр = m a.

Тогда           

mg sin a - m a = m a; mg sin a = 2 m a.

a = .

F _тр = m a; F _тр = 0,8 ^. 2,5 = 2 H.

 

Ответ: а = 2,5 ; F _тр = 2 H.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. Тело массой m = 0,5 кг движется по горизонтальной поверхности под действием силы F = 10 Н, направленной под углом a = 30°
к горизонту. Найти ускорение тела. При какой силе F ₀движение будет равномерным? Коэффициент трения между телом и плоскостью равен
m  = 0,01 (рис. 2.12).

Ответ: ; Н.

 

Задача 2. К одному концу веревки привязан груз массой 10 кг. Веревка перекинута через блок. С какой силой нужно тянуть вниз другой конец веревки, чтобы груз поднимался с ускорением ?

Ответ:  Н.

 

Задача 3. Две гири массами  = 3 кг и  = 6,8 кг висят на концах нити, перекинутой через блок. Первая гиря находится на 2 м ниже второй. Гири пришли в движение без начальной скорости. Через какое время они окажутся на одной высоте?

Ответ: t = 0,725 c.

 

Задача 4. Тело массой m движется вверх по вертикальной стене под действием силы F, направленной под углом a к вертикали. Найти ускорение тела. Коэффициент трения между телом и стеной равен m   (рис. 2.13).

Ответ:

 

 

                    

 

        

 

Рис. 2.12       Рис. 2.13        Рис. 2.14      Рис. 2.15            Рис. 2.16

                          

Задача 5. Два тела  = 1 кг и  = 2 кг связаны невесомой и нерастяжимой нитью подвешены на другой нити к потолку движущегося лифта. Найти силу натяжения верхней нити, если сила натяжения нити между телами T ₁ = 9,8 Н (рис. 2.14).

Ответ: T ₂ = 14,7 Н.

 

Задача 6. Два тела связаны невесомой и нерастяжимой нитью, перекинутой через блок. Масса первого тела   = 0,1 кг, масса второго тела
  = 0,2 кг. Определить ускорение тел и силу натяжения нити (рис. 2.15).

Ответ: ; T = 1,3 Н.

 

Задача 7. Два тела связаны нитью, перекинутой через блок, укрепленный на краю стола. Тело массой  = 2 кг скользит по поверхности стола. Коэффициент трения тела о стол равен m = 0,1. Второе тело имеет массу
 = 3 кг и спускается вниз (рис. 2.16). Определить ускорение тел и силу натяжения нити.

Ответ: ; T = 13,2 Н.

 

Задача 8. Найти ускорение тела, соскальзывающего с наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол a = 30°. Коэффициент трения между телом и плоскостью m  = 0,3.

Ответ: .

 

Задача 9. По склону горы, имеющей длину  м и высоту h = 10 м, на веревке спускают без начальной скорости санки массой 60 кг. Найти силу натяжения веревки, если санки у основания горы имеют скорость
  = 5 , а сила трения F _тр между санками и поверхностью горы составляет 10 % силы тяжести, действующей на санки.

Ответ: T = 45 Н.

 

Задача 10. На гладкой наклонной плоскости, образующей угол
a = 30° с горизонтом, находится тело массой m = 50 кг, на которое действует горизонтальная сила F = 294 Н (рис. 2.17). Найти ускорение тела и силу нормального давления тела на плоскость.

Ответ: ; N = 279 Н.

 

 

                Рис. 2.17                                         Рис. 2.18

Задача 11. Три груза массами  = 1 кг,  = 2 кг и  = 3 кг связаны нитью, перекинутой через блок (рис. 2.18). Плоскость образует с горизонтом угол a = 30°. Найти силу натяжения нити, связывающей грузы, находящихся на наклонной плоскости. Коэффициент трения m = 0,02.

Ответ: ; T = 26,1 Н.

 

Задача 12. Два груза связаны шнуром, перекинутым через блок. Масса первого груз  = 10 кг, масса второго  = 5 кг. В какую сторону будет двигаться система грузов (рис. 2.19)?  = 30°,  = 53°. Определить ускорение системы. Трением пренебречь. .

 

                                                      Рис. 2.19

Ответ: ; T = 43,3 Н.

 

Задача 13. К концам нити, перекинутой через блок, подвешены два груза. Масса одного из грузов равна 12 кг. Под второй груз подведена подставка, удерживающая его на высоте 2,4 м от пола. Когда подставку убрали, груз стал опускаться с ускорением 1,2 . Определить: а) массу второго груза; б) натяжение нити во время движения грузов; в) скорость второго груза в момент его падения на пол.

Ответ:  = 15,35 кг; T = 132 Н;  = 2,4 .

Задача 14. Два груза массами  = 0,8 кг и  = 1,6 кг связаны шнуром и скользят по наклонной плоскости с углом наклона a = 30°. Коэффициент трения скольжения первого груза по плоскости  = 0,25, второго груза  = 0,5. Определить: а) ускорения грузов; б) натяжение шнура (принять g = 10 ).

Ответ: ; T = 1,14 Н.

 

Задача 15. Мяч массой 100 г, летящий со скоростью 1,5 , пойман на лету. Какова сила удара мяча об руку, если он остановлен за 0,03 с?

Ответ: F = 5 Н.

Задача 16. Сила 40 Н действовала на тело в течение 5 с. Определить массу тела, если скорость за время действия силы изменилась на 8 .

Ответ: m = 25 кг.

 

Задача 17. На тележке массой  = 20 кг, которая может свободно перемещаться вдоль рельс, лежит доска массой  = 4 кг. Коэффициент трения между доской и тележкой m = 0,2. Доску тянут с силой F, направленной горизонтально. Найти ускорение доски и силу трения между доской и тележкой в двух случаях, если: 1) F = 5,9 Н;

2) F = 19,6 Н.

Ответ: 1) F _тр = 5 Н, ; 2) F _тр = 7,8 Н, .

 

Задача 18. Автомобиль массой 2000 кг стоит на участке шоссе с наклоном 10° к горизонтальной поверхности. Максимальное значение коэффициента трения покоя 0,5. Определить силу трения покоя, действующую на автомобиль.

Ответ: 10000 Н.

Задача 19. Во сколько раз надо увеличить силу тяги двигателей самолета для увеличения скорости его движения в 2 раза, если сила сопротивления при движении в воздухе возрастает пропорционально квадрату скорости?

Ответ: в 4 раза.

 

Задача 20. Два груза массами  = 0,2 кг и  = 4 кг связаны нитью и лежат на гладком столе (трением пренебречь). К первому грузу приложена сила F ₁ = 0,2 Н, ко второму в противополжном направлении сила F ₂ = 0,5 Н. С каким ускорением будут двигаться грузы и какова сила натяжения соединяющей их нити? Сделать вывод о силе натяжения, если  << _.

Ответ: ; T = 0,22 Н; T» F ₁ (  << ).

 

Задача 21. Доска массой  может двигаться без трения по наклонной плоскости с углом a к горизонту. В каком направлении и с каким ускорением должна бежать по доске собака массой , чтобы доска не соскальзывала с наклонной плоскости?

Ответ: .

 

Задача 22*. Два бруска, связанные нерастяжимой и невесомой нитью, находятся на горизонтальной плоскости. Массы брусков  = 4 кг и  
 = 1 кг. К ним приложены силы F ₁ = 10 Н и F ₂ = 20 Н, составляющие с горизонтом углы = 30° и  = 45°. Коэффициенты трения брусков о плоскость одинаковы, равны m = 0,1.Найти ускорение системы и натяжение нити (рис. 2.21).

 

 

Ответ:  (вправо); T = 8,72 Н.

 

Задача 23*. За какое время тело соскользнет с наклонной плоскости под углом a  горизонту высотой h, если по наклонной плоскости с углом наклона b оно движется равномерно.

Ответ: .

  Задача 24. Через неподвижный блок перекинута веревка, к одному концу которой привязан груз массой = 60 кг. На другом конце повис человек массой  = 65 кг, который, выбирая веревку, поднимает груз, оставаясь при этом на одном и том же расстоянии от пола. Через сколько времени груз будет поднят на высоту h = 12 м? Массой веревки и блока пренебречь.

Ответ: t» 5,42 с.

Задача 25. Тело массой m = 10 кг движется прямолинейно с ускорением  по горизонтальной плоскости под действием некоторой силы F, образующей с горизонтом угол a = 30°. Определить величину этой силы, если коэффициент трения между передвигаемым телом и плоскостью равен m = 0,1 (рис. 2.22).

 

 

 

                                        а)                       б)

                                                Рис. 2.22

Ответ: а)  Н; б) .

 

Задача 26. Материальная точка массой m = 2 кг двигается под действием некоторой силы согласно уравнению   м. Найти значение этой силы в момент времени  = 2 с и  = 5 с. В какой момент времени сила равна нулю?

Ответ: F ₁ = - 0,8 H; F ₂ = - 8 H; F = 0 при t = 1,67 с.

 

Задача 27. Шайба, пущенная по поверхности льда с начальной скоростью  = 20 , остановилась через t = 40 с. Найти коэффициент трения шайбы о лёд.

Ответ: m = 0,051.

 

Задача 28. Тело массой m = 0,5 кг брошено под углом a = 30° к горизонту с начальной скоростью  = 20 . Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти: а) импульс силы F, действующей на тело, за время полета тела; б) изменение импульса тела за время полета. Сравнить найденные величины между собой.

Ответ: F D t = 100 ; D р = 100 .

Задача 29. Наклонная плоскость, образующая угол a = 25° с плоскостью горизонта, имеет длину 2 м. Тело, двигаясь равноускоренно, соскользнуло с этой плоскости за t = 2 с. Определить коэффициент трения тела о плоскость.

Ответ: .

 

Задача 30*. Груз массой m = 200 г, привязанный к нити длиной
l = 40 см, вращают в горизонтальной плоскости с постоянной скоростью так, что нить описывает коническую поверхность. При этом угол отклонения нити от вертикали a = 30°. Найти угловую скорость вращения груза и силу натяжения нити.

Ответ: w  = 5,36 c^-1, F _н = 2,26 Н.

 

Задача 31. Железнодорожный вагон тормозится и его скорость равномерно изменяется за время D t = 3,33 с от  = 47,5  до  = 30 . При каком предельном значении коэффициента трения между чемоданом и полкой чемодан при торможении начнет скользить по полке?

Ответ: m = 0,15.

 

Задача 32. Автомобиль весит 10³ Н. Во время движения на автомобиль действует сила трения, равная 0,1 его веса. Найти силу тяги, развиваемую двигателем автомобиля, если автомобиль движется с постоянной скоростью: а) в гору с уклоном в 1 м на каждые 25 м пути; б) под гору с тем же уклоном.

Ответ: а) F = 1400 Н; б) F = 600 Н.

 

Задача 33. Молекула массой m =  кг, летящая со скоростью
  = 600 , ударяется о стенку сосуда под углом 60° к нормали и под таким же углом упруго отскакивает от неё без потери скорости. Найти импульс силы, полученный стенкой за время удара.

Ответ: F D t = 2,8 .

 

Задача 34. По наклонной плоскости с углом наклона a = 30° к горизонту тянут с постоянной скоростью ящик массой 20 кг. Коэффициент трения ящика о плоскость m = 1. Под каким углом b к наклонной плоскости сила тяги будет наименьшей? Чему равна сила тяги?

Ответ: b = 45°; F_min = F; F = 272 Н.

Задача 35. Маховик радиусом R = 0,2 м и массой 10 кг соединён с мотором с помощью приводного ремня. Натяжение ремня, идущего без скольжения, постоянно и равно Т = 14,7 Н. Какое число оборотов в секунду будет делать маховик через 10 с после начала движения? Маховик – однородный диск. Трением пренебречь.

Ответ: n = 23,5 .

 

Задача 36. Однородный стержень длиной = 1 м и массой m = 0,5 кг вращается в вертикальной плоскости вокруг горизонтальной оси, проходящей через середину стержня. С каким угловым ускорением вращается стержень, если вращающий момент равен 0,1 Н^.м?

Ответ: e = 2,4 .

 

Задача 37. Диск радиусом R = 0,2 м и массой 5 кг вращается с угловой скоростью, заданной уравнением w = c + 4 t, . Найти величину момента силы, если сила приложена к ободу диска.

Ответ: М = 0,4 .

 

Задача 38. На сплошной однородный цилиндр намотан трос. К свободному концу троса привязан груз массой = 10 кг. С каким ускорением будет опускаться груз, если его предоставить самому себе? Масса цилиндра = 20 кг.

Ответ: а = 4,95 .

 

Задача 39. Какую постоянную силу нужно приложить по касательной к сечению вала радиусом R ₁ = 6 см, на котором укреплён маховик в форме диска радиусом R ₂ = 60 см, чтобы увеличить частоту вращения системы за 1 мин от 2 до 4 с^-1? Масса маховика = 150 кг, масса вала = 5 кг.

Ответ: F = 94,3 Н.

 

Задача 40. К ободу однородного диска радиусом R = 0,2 м приложена касательная сила F = 98,1 Н. При вращении на диск действует момент сил трения М_тр = 4,9 . Найти массу диска, если известно, что диск вращается с угловым ускорением e = 100 ?

Ответ: m = 7,36 кг.

 

Задача 41. Вал радиусом R = 5 см и массой m = 100 кг вращается с частотой n = 8 с^-1. К цилиндрической поверхности вала прижали тормозную колодку с силой F = 40 Н, под действием которой вал остановился через 10 с. Определить коэффициент трения m.

Ответ: m = 0,31.

 

Задача 42. Масса диска m = 0,5 кг, его диаметр d = 40 см. Диск вращается с частотой n = 25 с^-1. При торможении он останавливается через
t = 20 с. Определить тормозящий момент, считая его постоянным.

Ответ: М = 0,0785 .

 

Задача 43. Гребной вал диаметром d = 0,2 м и массой m = 400 кг вращается в подшипниках, делая 4 . Будучи предоставленным самому себе, он остановился через t = 4 с. Определить силу трения в подшипниках.

Ответ: F _тр = 125,6 Н.

 

Задача 44. Маховик в виде диска массой m = 50 кг и радиусом
R = 20 см был раскручен до частоты = 480  и затем предоставлен самому себе. Под влиянием трения, маховик остановился. Найти момент сил трения, считая его постоянным и принимая, что: а) маховик остановился через t = 50 с, б) маховик до полной остановки сделал N = 200 об.

Ответ: а) М_тр = -1 ; б) М_тр = -1 .

 

Задача 45. На горизонтальную ось насажены маховик и лёгкий шкив радиусом R = 5 см. На шкив намотан шнур, к которому привязан груз массой m = 0,4 кг. Опускаясь равноускоренно, груз прошёл путь S = 1,8 м за время t = 3 с. Определить момент инерции маховика, считая массу шкива пренебрежимо малой.

Ответ:

 

Задача 46. Через блок, имеющий форму диска, перекинут шнур. К концам шнура привязали грузы массой  = 100 кг и = 110 кг. С каким ускорением будут двигаться грузы, если масса блока m = 400 г? Трение при вращении блока ничтожно мало.

Ответ: а = 0,467 .

 

Задача 47. Через неподвижный блок массой m = 0,2 кг перекинут шнур, к концам которого подвесили грузы  = 0,3 кг и  = 0,5 кг. Определить силы Т ₁ и Т ₂ натяжения шнура по обе стороны блока во время движения грузов, если массу блока можно считать равномерно распределённой по ободу.  

Ответ: Т ₁ = 3,53 Н; Т ₂ = 3,92 Н.

 

Задача 48. Шар массой m = 10 кг и радиусом R = 20 см вращается вокруг оси, проходящей через его центр. Уравнение вращения шара имеет вид j = 5 + 4 t ² – t ³ рад. По какому закону меняется момент сил, действующих на шар? Какова величина момента сил М в момент времени t = 2 с? 

Ответ: М = 1,28 – 0,96 t ; М = 100 .

 

Задача 49. Маховик, момент инерции которого равен J = 63,6 , вращается с постоянной угловой скоростью w = 31,4 . Найти тормозящий момент М, под действием которого маховик останавливается через
t = 20 с.

Ответ: М = 100 .

 

Задача 50. Маховое колесо, имеющее момент инерции 245 , вращается, делая 20 . Через минуту после того, как на него перестал действовать вращающий момент, колесо остановилось. Найти: 1) момент сил трения; 2) число оборотов, которое сделал маховик до полной остановки после прекращения действия сил.

Ответ: 1) М = 513 Н^.м; 2) N = 600 об.

 

Задача 51. На барабан массой 9 кг намотан шнур, к концу которого привязан груз массой 2 кг. Найти ускорение груза. Барабан считать однородным цилиндром. Трением пренебречь.

Ответ: а = 3 .

 

Задача 52. Две гири разного веса соединены нитью, перекинутой через блок. Момент инерции блока J = 50 кг^.м², радиус R = 20 см. Блок вращается с трением, момент силы трения М_тр = 98,1 . Найти разность натяжения нити Т ₁ и Т ₂ по обе стороны блока, если блок вращается с постоянным угловым ускорением e = 2,36 .

Ответ: Т ₁ – Т ₂ = 1080 Н.

 

Задача 53. На барабан радиусом R = 20 см, момент инерции которого J = 0,1 , намотан шнур с привязанным к его концу грузом  = 0,5 кг. До начала вращения высота груза над полом h = 1 м. Найти: 1) через сколько времени груз опустится до пола; 2) скорость груза в момент удара о пол; 3) натяжение нити.

Ответ: 1) D t = 1,1 с; 2) ; 3) Т = 4,1 Н.

 

Задача 54. Блок массой m = 1 кг укреплён на конце стола. Гири А и Б равной массы =   = 1 кг соединены нитью, перекинутой через блок. Коэффициент трения гири Б о стол m = 0,1. Блок считать однородным диском. Трением в блоке пренебречь (рис.2.23). Найти: 1) ускорение, с которым движутся гири; 2) натяжение нитей Т ₁ и Т ₂.

Ответ: 1) а = 3,53 ; 2) Т ₁ = 6,3 Н; Т ₂ = 4,5 Н.

 

 

 

                                                                

 

                                           

Задача 55. С наклонной плоскости скатывается без скольжения однородный диск. Найти ускорение диска и силу трения, если угол наклона плоскости к горизонту a = 36⁰, масса диска 500 г.

Ответ: а = 3,9 ; F _тр = 0,98 Н.

 

Задача 56*. С наклонной плоскости скатывается без скольжения сплошной цилиндр и тележка, поставленная на лёгкие колёса. Масса цилиндра и тележки одинаковы. Какое из тел скатится быстрее и во сколько раз?

Ответ:

 

Задача 57*. На полый тонкостенный цилиндр намотана нить, свободный конец которой прикреплён к потолку. Цилиндр сматывается с нити под действием собственного веса. Найти ускорение цилиндра и силу натяжения нити, если массой и толщиной нити можно пренебречь. Начальная длина нити много больше радиуса цилиндра.

Ответ: ;  

Задача 58*. На полый тонкостенный цилиндр массой m намотана нить (тонкая и невесомая). Свободный конец её прикреплён к потолку лифта, движущегося с ускорением вниз. Цилиндр предоставлен сам себе. Найти ускорение цилиндра относительно лифта и силу натяжения нити. Нить считать вертикальной.

Ответ:

Указание: ускорение цилиндра относительно Земли  Угловое ускорение вращательного движения цилиндра  где - ускорение центра масс цилиндра относительно лифта.

 

Задача 59*. Найти линейное ускорение центра масс шара, скатывающегося без скольжения с наклонной плоскости, если угол наклона плоскости к горизонту равен 30⁰, начальная скорость шара равна нулю.

Ответ: .

 

Задача 60. Определить линейное ускорение центра масс обруча, скатывающегося без скольжения с наклонной плоскости с углом наклона к горизонту 30⁰. Сравнить найденное ускорение с ускорением тела, соскальзывающего с этой наклонной плоскости при отсутствии трения.

Ответ: ; а = 4,9 .

 

Задача 61. Определить линейное ускорение центра масс сплошного цилиндра, скатывающегося без скольжения с наклонной плоскости, составляющей угол 30⁰ с горизонтом. Сравнить найденное ускорение с ускорением тела, соскальзывающего с этой плоскости при отсутствии трения.

Ответ: ;

 

Задача 62*. По горизонтальному столу может катиться без скольжения цилиндр массой m, на который намотана нить. Ко второму концу нити привязан груз той же массой m. Нить перекинута через блок, укреплённый на краю стола. Блок невесом. Найти ускорение груза и силу трения между цилиндром и столом (рис. 2.24). Решить задачу:

1) для полого цилиндра; 2) для сплошного  цилиндра.

Ответ: 1)   F _тр = 0; 2)