Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Топ:
Процедура выполнения команд. Рабочий цикл процессора: Функционирование процессора в основном состоит из повторяющихся рабочих циклов, каждый из которых соответствует...
Проблема типологии научных революций: Глобальные научные революции и типы научной рациональности...
Техника безопасности при работе на пароконвектомате: К обслуживанию пароконвектомата допускаются лица, прошедшие технический минимум по эксплуатации оборудования...
Интересное:
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Дисциплины:
2019-10-25 | 235 |
5.00
из
|
Заказать работу |
(2.6)
Векторная величина, равная произведению силы и времени ее действия называется импульсом силы ( ). Импульс силы равен изменению импульса тела – второй закон Ньютона в импульсном виде.
III закон Ньютона: тела действуют друг на друга с силами, которые численно равны и направлены в противоположные стороны вдоль прямой соединяющей центры этих тел:
. (2.7)
Сила возникает как при непосредственном контакте (давление прижатых друг другу тел, трения), так и через посредство создаваемых телами полей (поле тяготения, электромагнитное поле).
Сила трения – сила сопротивления, направленная противоположно относительному перемещению данного тела и приложенная по касательной к соприкасающимся поверхностям:
(2.8)
где m – коэффициент трения скольжения, зависящий от свойств соприкасающихся поверхностей; N – сила нормального давления.
Сила, вызванная деформацией тел и препятствующая изменению объёма или формы тела, называется силой упругости.
При небольших деформациях растяжения или сжатие x сила упругости прямо пропорциональна деформации и направлена в сторону, противоположную ей (закон Гука):
(2.9)
где k – коэффициент упругости, зависит от свойств материала и геометрии деформируемого тела.
Закон Гука может быть записан в виде
(2.10)
где e = – относительная деформация; – длина тела до деформации (начальная длина); – длина тела после деформации;
s = – напряжение, возникающее в твердом теле, S – площадь сечения, на которую действует сила F; E – модуль Юнга.
Все тела притягиваются друг к другу. Для материальной точки (или шаров) закон всемирного тяготения имеет вид:
(2.11)
где и – массы тел, r – расстояние между материальными точками или центрами шаров; – гравитационная постоянная.
Закон всемирного тяготения для тела находящегося у поверхности Земли
Если тело массой m находится над поверхностью Земли на высоте h, то на него действует сила тяготения
(2.12)
где М – масса Земли, R = 6,37.106 м – радиус Земли.
Вес () – это сила, с которой тело вследствие тяготения к Земле действует на опору (или подвес), удерживающую тело от свободного падения.
Эта сила равна лишь в том случае если тело и опора (или подвес) неподвижны относительно Земли.
В случае их движения с некоторым ускорением вес не будет равен . Состояние тела, при котором оно движется только под действием силы тяжести, называется состояниемневесомости.
Законы механики Ньютона справедливы и для вращательного движения. Но поскольку вращательное движение тела относительно оси может вызвать не любая сила, а только та, которая не проходит через ось вращения или не параллельна ей, то вводится понятие момента силы.
Моментом силы () относительно оси называется векторное произведение радиуса вектора , проведенного из точки 0 в точку приложения силы , и силы .
.
Момент силы всегда перпендикулярен плоскости, в которой лежат и . Направление вектора определяется по правилу векторного произведения или по правилу правой руки: 4 согнутых пальца указывают направление, в котором сила вращает тело, а большой отогнутый направление – момента силы .
Модуль момента силы (из геометрии) численно равен площади параллелограмма построенного на векторах и .
Тогда модуль момента силы , где – плечо силы – длина перпендикуляра, опущенного из точки 0 на линию действия силы . . .
Если на вращающееся тело действует несколько сил, то результирующий, или главный момент всех внешних сил равен векторной сумме моментов сил, действующих на тело: Основным уравнением динамики вращательного движения является второй закон Ньютона.
Угловое ускорение, полученное вращающимся телом, прямо пропорционально суммарному (главному) моменту сил, действующих на это тело относительно оси вращения, и обратно пропорционально моменту инерции тела относительно этой же оси вращения:
где J – момент инерции тела относительно оси вращения; e – угловое ускорение.
Момент инерции твёрдого тела равен сумме моментов инерции материальных точек, составляющих это тело:
,
где mi – масса материальной точки; ri – радиус вращения материальной точки.
Момент инерции тела характеризует инертность тела к изменению им угловой скорости под действием вращающего момента; момент инерции зависит от массы тела и её распределения относительно данной оси вращения.
Моменты инерции некоторых однородных тел вращения относительно заданных осей вращения приведены в табл. 2.1.
Т а б л и ц а 2.1
Тело | Положение оси вращения | J |
Полый цилиндр (обруч) | Ось симметрии | J = mR2 |
Сплошной однородный цилиндр (диск) | Ось симметрии | J = |
Сплошной однородный шар | Ось проходит через центр | J = |
Сферическая оболочка | Ось проходит через центр | J = |
Однородный тонкий стержень | Ось проходит через центр тяжести | J = |
Однородный тонкий стержень | Ось проходит через конец | J = |
Момент инерции J тела относительно любой оси вращения и момент инерции J 0 тела относительно оси, параллельной данной, и проходящей через центр инерции тела, связаны соотношением (теорема Штейнера)
J = J 0 + m d 2,
где m – масса тела; d – расстояние между осями.
Поскольку угловое ускорение то
Произведение называется моментом импульса тела.
Тогда
Отсюда следует вторая формулировка основного закона динамики вращательного движения: скорость изменения момента импульса со временем равна суммарному моменту сил, действующих на тело.
Примеры решения задач
Задача 1. Груз массой т = 100 кг равномерно перемещают по горизонтальной поверхности, прилагая силу под углом a = 300 к горизонту. Коэффициент трения равен 0,3. Найти величину этой силы.
Дано: Решение
a = 300 Покажем все силы, действующие на тело на чертеже
т = 100 кг (рис. 2.5),
m = 0,3
g = 9,8 м/с2
F -?
Так как тело движется равномерно, то по первому закону Ньютона, записанному в векторном виде, имеем
.
Чтобы решить задачу, надо записать это уравнение в скалярной форме. Для этого введем координатные оси ox и oy. На эти оси спроецируем силы, действующие на тело:
ox: ; (1)
oy: . (2)
По определению, сила трения
.
Из уравнения (2) находим, что , поэтому
.
Подставляя последнее выражение в уравнение (1), получим
;
;
= 289 Н.
Ответ: F = 289 Н.
Задача 2. Груз массой 5 кг, связанный нерастяжимой нитью, перекинутой через неподвижный блок, с другим грузом массой 2 кг, движется вниз по наклонной плоскости. Найти натяжение нити и ускорение грузов, если коэффициент трения между первым грузом и плоскостью 0,1, угол наклона плоскости к горизонту 360. Массами нити и блока, а также трением в блоке можно пренебречь.
Дано:
m 1 = 5 кг
m 2 = 2 кг
m = 0,1
a = 360
g = 9,8 м/с2
а -? T -?
Решение
Сделаем рисунок и покажем все силы, действующие на тела и их ускорение, а также выберем системы координат, связанные с каждым телом в отдельности.
Запишем уравнение второго закона Ньютона для первого тела в векторной форме:
.
Проецируя это уравнение на выбранные направление осей x 1 и y 1, получим
х 1: ; (1)
y 1: ; (2)
; (3)
.
, подставим в выражение (3):
. (4)
Запишем уравнение второго закона Ньютона для второго тела в векторной форме:
.
Спроецировав это уравнение на ось y 2, получим
. (5)
Решим систему уравнений (4) и (5):
;
.
Сложив почленно, получим
а = ;
а = .
Cилу натяжения определим из уравнения (5):
Ответ: a = 1,88 м/с2; T = 23,4 Н.
Задача 3. К концам невесомой и нерастяжимой нити, перекинутой через невесомый неподвижный блок, подвешены два груза массой по 100 г каждый. На один из грузов положен перегрузок массой 10 г. Найти силу, с которой перегрузок давит на груз, силу давления на ось блока, ускорение грузов и силу натяжения нити.
Дано:
m 1 = m 2 = 0,1 кг
m =
g = 9,8 м/с2
F -?, F д -?,
a -?, T -?
4
Решение
Из условия невесомости и нерастяжимости нити следует, что сила натяжения нити на всех участках одинакова и грузы движутся с одним и тем же ускорением. Покажем силы, действующие на каждый груз и на блок.
Запишем уравнение второго закона Ньютона в векторной форме для каждого груза:
Спроецируем эти уравнения на ось y:
; (1)
; (2)
. (3)
По третьему закону Ньютона сила давления равна силе реакции опоры N:
F = N;
; (4)
; (5)
. (6)
Из четвертого равенства вычтем (5) и прибавим (6):
;
;
a = ; a = .
Из уравнения (3) N = mg – ma.
Так как N = F, следует, что :
.
Из уравнения (2)
;
;
.
Сила давления на ось блока F д = 2 T, следовательно,
.
Ответ: а = 0,47 м/с2; F = 9,3 . 10-2Н; T = 1,03 Н; F д = 2,06 Н.
Задача 4. На барабан радиусом R = 0,5 м намотан шнур, к концу которого привязан груз m = 10 кг. Определить момент инерции барабана, если груз опускается с ускорением а = 2,04 .
Дано:
R = 0,5 м
m = 10 кг
а = 2,04
J –?
Рис. 2.8
Решение
1) Определим все силы, действующие в системе. Изобразим их на рисунке (рис. 2.8). На груз действуют силы: тяжести - вниз; натяжения нити - вверх.
На барабан действует сила натяжение нити , приложенная к ободу барабана. Эта сила создаёт вращающий момент, т.к. она приложена в точке касания нити и барабана. Плечо этой силы равно R – радиусу барабана.
На барабан, кроме того, действует сила давления на ось барабана, уравновешенная силой реакции барабана.
2) Составим уравнение движения тел системы в векторном виде:
груз:
барабан:
3) Выберем систему координат. Ось X направим по направлению ускорения груза.
Определим направление углового ускорения и момента силы. Вращение барабана происходит против часовой стрелки, значит вектор момента силы направлен перпендикулярно плоскости чертежа вверх (т.е. к нам). Пусть ось Y для барабана совпадает с направлением вектора момента силы и .
4) Запишем проекции сил на оси координат, чтобы решить векторное уравнение:
(1)
Решим полученную систему:
М = Т R – численное значение момента силы, где R – плечо силы Т;
e = - связь углового и линейного ускорений барабана.
Тогда Т = m (g – a) из уравнения (1); М = m (g – a) R.
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!