Основы расчета строительных конструкций с применением ЭВМ. Численные методы. Матричная форма расчета строительных конструкций

Расчеты конструкций и связанные с ними задачи проектирования, оптимизации и управления – наиболее естественная сфера применения ЭВМ. Действительно, математические модели конструкций (статика, динамика, устойчивость, пластичность и ползучесть и др.) относятся к наиболее сложным и трудоемким в реализации. Деформирование тел характеризуется векторным полем перемещений (три компонента в каждой точке) и тензорными полями деформаций и напряжений (по шесть и девять компонентов в каждой точке), описывается пятнадцатью дифференциальными уравнениями. Исключая заранее часть неизвестных, приходят к трем уравнениям равновесия с тремя неизвестными перемещениями – тоже немало по сравнению с другими физическими задачами. Уже первые серийные ЭВМ привлекали внимание проектировщиков, и в 60 – 70-е годы сформировался общий подход к разработке расчетных программ. Одним из основных компонентов такой программы на компьютерах 1 – 3 поколений стал ее входной язык – набор элементов расчетной схемы и команд для ее формирования, составляющих файл исходных данных. Фактически – язык программирования для программ формирования расчетных схем. Широко использовались программные комплексы Экспресс, ЛИРА, МИРАЖ; из зарубежных – SAP-80. Они содержали и графическую часть – изображение расчетной схемы и результатов расчета, но разделение графического и текстового режимов работы дисплея в операционной системе DOS не позволяло совместить подготовку данных с их визуализацией. Сейчас наиболее популярны расчетные комплексы, работающие под операционной системой WINDOWS или UNIX: SCAD – наследник ЛИРЫ, американские COSMOS, ANSYS, NASTRAN. 

Численные методы

Метод конечных элементов (МКЭ) - основной численный метод современной строительной механики, лежащий в основе подавляющего большинства современных программных комплексов, предназначенных для выполнения расчетов строительных конструкций на ЭВМ.

Суть метода заключается в том, что область (одно-, двух- или трехмерная), занимаемая конструкцией, разбивается на некоторое число малых, но конечных по размерам подобластей (рис. 9.3). Последние носят название конечных элементов (КЭ), а сам процесс разбивки – дискретизацией. В отличие от реального сооружения в дискретной модели конечные элементы связываются между собой только в отдельных точках (узлах) определенным конечным числом узловых параметров.

1.1. Общие положения

Напряженно-деформированное состояние конструкций или их

отдельных элементов описывается дифференциальными уравнения-

ми. Вид этих уравнений для каждого конкретного случая зависит от

физических и геометрических гипотез, принимаемых при моделиро-

вании поведения системы.

Напряженно-деформированное состояние балки достаточно точ-

но описывается уравнением

EJ ⋅Z′′(x) = −M(x) (1.1)

или

 EJ ⋅Z x = q (1.1′)

      Вид дифференциального уравнения для описания напряженно-

деформированного состояния однотипных конструкций также может

быть различным. Если для простой балки достаточно уравнения (1),

то для балки на упругом основании необходимо воспользоваться бо-

лее сложным уравнением

EJZ x + k ⋅Z x = q (1.3)

Решение дифференциальных уравнений напряженно-деформи-

рованного состояния в виде функции Z(x) можно получить лишь для

весьма ограниченного числа задач. В подавляющем большинстве слу-

чаев для решения подобных дифференциальных уравнений исполь-

зуются различные численные методы, результатом применения кото-

рых является не сама функция, представляющая собой решение урав-

нения, а ее приближенные значения, вычисленные в предварительно

намеченных точках, или некоторая аппроксимирующая функция в виде математического ряда.

Методы численного решения дифференциальных

уравнений

Рассматриваются основные часто применяющиеся методы чис-

ленного решения уравнений. На примерах простых дифференциаль-

ных уравнений типа (1.1) показано, как можно использовать некото-

рые из известных методов.

 

Матричная форма расчета строительных конструкций

Пpи пpоведении pаcчетов с иcпользованием вычиcлительной техники шиpоко пpименяютcя матpицы влияния, т.е. матрицы, элементами которой являются ординаты линий влияния. Задача pаcчета конcтpyкции фоpмyлиpyетcя cледyющим обpазом.

Пусть требуется произвести расчет какой-либо статически оп­ределимой системы на действие заданной нагрузки (рис.2.9, а).

Заданную систему заменим ее дискретной схемой, для чего на­метим сечения i = 1, 2, 3,..., n, в которых требу­ется вычислить усилия S_i (i = 1, 2, 3,..., n).

Заменяя распреде­ленную нагрузку сосре­доточенными силами, а момент, в виде пары сил, система внешних сил представляется в виде системы сосредоточенных сил (рис.2.9, б) P ^T = (P ₁, P ₂, P ₃,..., P_n), где Р_i - значение внешней си­лы, приложенной в i -ом сечении.

Рис.2.9

 

Далее cтpоятcя линии влияния искомого усилия для cечений i = 1, 2, 3,..., n заданной балки. Cоглаcно пpинципа незавиcимоcти дейcтвия cил для каждого i -ого cечения можно cоcтавить выpа­жение иcкомого ycилия в cледyющем виде:

, (2.10)

где y_ik - значение иcкомого ycилия в i -ом cечении от единичной cилы P_k = 1, пpиложенной в k -ой точке (pиc.2.9, б).

Вводят вектоpы S ^т = (S ₁, S ₂, S ₃,..., S_n); P ^т =(P ₁, P ₂, P ₃,..., P_n) и матpицy L_s, элементами котоpой являютcя ординаты линий влия­ния:

. (2.11)

Эта матpица называетcя матpицей влияния ycилия S. Пpи помощи введенных обозначений cоотношения (2.11) можно запи­cать в виде:

. (2.12)

На практике строится матрица влияния изгибающих моментов L_M. Далее, используя эту матрицу, можно воспользоваться форму­лой , и осуществить переход от матрицы влияния изгиба­ющих моментов к матрице влияния перерезывающих сил. Для определения поперечной силы, действующей на произвольном i -ом участке балки, ограниченной сечениями i и i -1, пользуясь диск­ретным аналогом последней формулы в виде

, (2.13)

она численно равна тангенсу угла наклона эпюры моментов.

Преобразованная матрица моментов может быть получена путем перемножения двух матриц:

, (2.14)

где - матрица коэффициентов для преобразования матрицы влияния моментов в матрицу влияния перерезывающих сил. Она имеет двухдиагональную структуру: на диагонали стоят едини­цы, а под диагональю