Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Топ:
Марксистская теория происхождения государства: По мнению Маркса и Энгельса, в основе развития общества, происходящих в нем изменений лежит...
Интересное:
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Дисциплины:
2019-05-27 | 306 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Определение. Число b называется пределом функции f (x) на бесконечности, если для любого числа существует такое число N ( )>0, что , как только . В этом случае пишут .
Если в данном определении условие заменить на , то говорят, что b есть предел функции f (x) на плюс бесконечности (на минус бесконечности) и пишут: .
Следует отметить, что понятия БМФ и ББФ сохраняются и в этих случаях с поправкой на то, что аргумент функции становится бесконечно большим по абсолютной величине.
Примеры:
7.1. Не существует.
7.2. .
7.3.
В примере 7.3 при вычислении предела возникает ситуация вида , которая называется неопределенностью. Для устранения подобной ситуации следует числитель и знаменатель умножить на множитель, позволяющий свернуть числитель в разность определенных выражений.
7.4. Доказать, используя определение предела, что .
Доказательство. Возьмем произвольно число и рассмотрим абсолютную величину выражения . Из последнего неравенства находим: . Итак, если обозначить , то при будет выполняться неравенство , а это значит, согласно определению предела, число 3 является пределом заданной функции.
Асимптоты. Определение. Прямая y = kx + b называется асимптотой графика функции y= f (x) при , если ; иными словами, если отклонение графика функции y= f (x) от прямой y = kx + b неограниченно уменьшается при . Аналогично можно определить асимптоту при .
Из данного определения вытекает, что если , то y = b является горизонтальной асимптотой графика функции y = f (x). В том случае, когда , график функции не имеет горизонтальной асимптоты, но может иметь наклонную асимптоту y = kx + b, где . Так как в этом случае , то тем более или . Поэтому . Далее из равенства вытекает, что .
|
Таким образом, можно сформулировать следующий алгоритм поиска асимптот графика функции y = f (x):
1. Вычисляется . Если этот предел существует и равен b, то y = b – горизонтальная асимптота; если , то нужно перейти к следующему шагу.
2. Вычисляется . Если этот предел не существует, то асимптоты нет, если предел существует и равен k, то следует перейти к следующему шагу.
3. Вычисляется . Если этот предел не существует, то асимптоты нет, если предел существует и равен b, то перейти к четвертому шагу.
4. Записать уравнение наклонной асимптоты y = kx + b.
Пример 7.5. Найти асимптоты графика функции .
1. ;
2. . Значит k =1/2;
3. , следовательно, b =-3;
4. y=0.5x-3.
Теорема 7.1. Для того чтобы число b было пределом функции f(x) при необходимо и достаточно чтобы эта функция была представима в виде , где -БМФ при .
Доказательство. Пусть b является пределом функции f (x) при . Тогда для любого такое, что . Но , поэтому и следовательно – БМФ при
Достаточность. Обратно, пусть теперь имеет место равенство , где -БМФ при . Но тогда из определения БМФ следует, что b есть предел заданной функции при .
Теорема 7.2. Пусть функции f (x) и g (x) имеют в точке а пределы А и В соответственно. Тогда функции имеют в точке a пределы равные соответственно.
Доказательство. Пусть {xn} произвольная последовательность, сходящаяся к а. Тогда по определению предела функции по Гейне последовательности сходятся к A и B соответственно. Используя соответствующие теоремы о сходимости последовательностей заключаем об истинности утверждения данной теоремы.
Теорема 7.3. (Теорема о зажатой функции). Пусть функции определены в некоторой окрестности точки а, за исключением, быть может, самой точки а, и функции имеют, в точке а, предел равный A. Пусть, кроме того, выполняется неравенство в некоторой окрестности точки а. Тогда .
Доказательство. Доказательство основывается на определении предела по Гейне и на теореме о зажатой последовательности.
Замечание. Эти теоремы остаются верными и для случаев, когда
|
Теорема 7.1 обычно используется при доказательстве существования предела если можно предсказать чему равен этот предел, а теорема 7.2 применяется когда необходимо вычислить предел сложных функций. Рассмотрим полезные примеры применения теоремы 7.3.
Пример 7.6. Первый замечательный предел .
Докажем, что этот предел действительно равен 1. Рассмотрим числовую окружность единичного радиуса. В первой четверти выделим дугу AM, соответствующую центральному углу x (0< x < Pi /2). Из точки М опустим перпендикуляр на радиус ОА. Обозначим буквой К полученную точку на радиусе ОА. Из точки А проведем перпендикуляр к радиусу ОА до пересечения с прямой, полученной продолжением радиуса ОМ. Точку пересечения обозначим буквой N. Пусть – площадь треугольника OAM, – площадь сектора OAM и – площадь треугольника OAN. Очевидно неравенство . Вычисляя указанные площади и подставляя полученные значения в неравенство, находим
.
Поделим это неравенство на , так как В результате получаем . Используя теорему 7.3, находим .
Из последнего соотношения и теоремы 7.2 получаем . Найдем теперь левый предел, то есть (Так как функция четная). Так как предел справа и слева существуют и равны, то по теореме 6.2 ч.т.д.
Замечание. При доказательстве предполагалось, что .
Пример 7.7. Второй замечательный предел .
Доказательство. Пусть x >1. По принципу Архимеда существует такое натуральное n, что выполняется неравенство n < x < n +1. Поэтому можно записать 1+1/(n +1)<1+1/ x <1+1/ n. Учитывая это неравенство, нетрудно получить
.
Очевидно, что поэтому (Теорема 7.3).
Рассмотрим теперь Объединяя оба случая, окончательно имеем ч.т.д.
Лекция 8.
|
|
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!